文科数学全国通用版一轮复习课时跟踪检测第5章第2节平面向量基本定理及坐标表示

第五章平面向量第二节平面向量基本定理及坐标表示A级·基础过关|固根基|a＝(－1，0)，b＝(0，2)，则2a－3bA．(6，3) B．(－2，－6)C．(2，1) D．(7，2)解析：选B2a－3b2．若向量a＝(2，1)，b＝(－1，2)，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))，则c可用向量a，b表示为()A．c＝eq\f(1,2)a＋b B．c＝－eq\f(1,2)a－bC．c＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b D．c＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b解析：选A设向量c＝xa＋yb，易知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＝2x－y，,\f(5,2)＝x＋2y，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝1，))∴c＝eq\f(1,2)a＋b.故选A.3.已知向量eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))和eq\o(AB,\s\up6(→))在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))，则λ＋μ等于()A．2B．－2C．3D．－3解析：选A如图所示，建立平面直角坐标系xAy，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝(1，0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2，－2)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，2)．因为eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))，所以(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1，0)＝(λ＋μ，2λ)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＝λ＋μ，,－2＝2λ，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－1，,μ＝3，))所以λ＋μA.4．已知向量a＝(1，1)，b＝(－1，2)，若(a－b)∥(2a＋tb)，则tA．0 B.eq\f(1,2)C．－2 D．－3解析：选C由题意得a－b＝(2，－1)，2a＋tb＝(2－t，2＋2t)．因为(a－b)∥(2a＋tb)，所以2×(2＋2t)＝(－1)×(2－t)，解得t5．已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，O为坐标原点，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，4)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(1，3)，若点E满足eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(EC,\s\up6(→))，则点E的坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，－\f(2,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，－\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))解析：选A易知eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－1，－1)，则C(－1，－1)，设E(x，y)，则3eq\o(EC,\s\up6(→))＝3(－1－x，－1－y)＝(－3－3x，－3－3y)，由eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(EC,\s\up6(→))，知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3－3x＝－1，,－3－3y＝－1，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(2,3)，,y＝－\f(2,3)，))所以Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，－\f(2,3))).6．(一题多解)(2019届合肥市第一次质检)设平面向量a＝(－3，4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，\f(8,5))) B．(－6，8)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，－\f(8,5))) D．(6，－8)解析：选D解法一：因为a与b的方向相反，所以可设b＝(3t，－4t)(t＞0)．又|b|＝10，则9t2＋16t2＝100，解得t＝2，或t＝－2(舍去)，所以b＝(6，－8)，故选D.解法二：与a方向相反的单位向量为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5)))，令b＝teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5)))(t＞0)，由|b|＝10，得t＝10，所以b＝(6，－8)，故选D.7．(2019届唐山模拟)一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB，AD分别交于点E，F，且交其对角线AC于点M，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝3eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))－μeq\o(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则eq\f(5,2)μ－λ＝()A．－eq\f(1,2) B．1C.eq\f(3,2) D．－3解析：选Aeq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))－μeq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))－μ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝(λ－μ)eq\o(AB,\s\up6(→))－μeq\o(AD,\s\up6(→))＝2(λ－μ)eq\o(AE,\s\up6(→))－3μeq\o(AF,\s\up6(→))，因为E，M，F三点共线，所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，即2λ－5μ＝1，所以eq\f(5,2)μ－λ＝－eq\f(1,2)，故选A.8．(2019届厦门模拟)已知|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，点C在∠AOB内，且eq\o(OC,\s\up6(→))与eq\o(OA,\s\up6(→))的夹角为30°，设eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)，则eq\f(m,n)的值为()A．2 B.eq\f(5,2)C．3 D．4解析：选C∵eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→)).以eq\o(OA,\s\up6(→))所在直线为x轴，eq\o(OB,\s\up6(→))所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，0)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(0，eq\r(3))，∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))＝(m，eq\r(3)n)．∵tan30°＝eq\f(\r(3)n,m)＝eq\f(\r(3),3)，∴m＝3n，即eq\f(m,n)＝3，故选C.9．在▱ABCD中，AC为一条对角线，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，3)，则向量eq\o(BD,\s\up6(→))的坐标为________．解析：∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，－1)，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－5)．答案：(－3，－5)10．已知点A(2，3)，B(4，5)，C(7，10)，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))(λ∈R)，且点P在直线x－2y＝0上，则实数λ的值为________．解析：设P(x，y)，则由eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))，得(x－2，y－3)＝(2，2)＋λ(5，7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2＝2＋5λ，,y－3＝2＋7λ，))即x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.又点P在直线x－2y＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－eq\f(2,3).答案：－eq\f(2,3)11．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，给出下列命题：①eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－b；②eq\o(BE,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b；③eq\o(CF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b；④eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0.其中正确命题的个数为________．解析：由eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，得eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a－b，故①错；eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b，故②正确；eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(－a＋b)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，故③正确；所以eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝－b－eq\f(1,2)a＋a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a＝0，故④正确．所以正确命题个数为3.答案：312．(一题多解)如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(BN,\s\up6(→))，则λ＋μ＝________．解析：解法一：以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系xAy，如图所示，设正方形的边长为1，易得A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，M1，eq\f(1,2)，Neq\f(1,2)，1，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，1)．因为eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(\a\vs4\al(μ),2)，\f(λ,2)＋μ))＝(1，1)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ－\f(\a\vs4\al(μ),2)＝1，,\f(λ,2)＋μ＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(6,5)，,μ＝\f(2,5)，))所以λ＋μ＝eq\f(8,5).解法二：由eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，得eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(\a\vs4\al(μ),2)))eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ,2)＋μ))eq\o(AD,\s\up6(→))，又eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ－\f(\a\vs4\al(μ),2)＝1，,\f(λ,2)＋μ＝1，))解得eq\b\lc\((\a\vs4\al\co1(λ＝\f(6,5)，,μ＝\f(2,5)，))所以λ＋μ＝eq\f(8,5).答案：eq\f(8,5)B级·素养提升|练能力|α，β是平面内的一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为()A．(2，0) B．(0，－2)C．(－2，0) D．(0，2)解析：选D因为a在基底p，q下的坐标为(－2，2)，即a＝－2p＋2q＝(2，4)，令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝2，,x＋2y＝4，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2.))所以a在基底m，n下的坐标为(0，2)．14．(2019届南充模拟)如图，原点O是△ABC内一点，顶点A在x轴上，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝3，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，则eq\f(\a\vs4\al(μ),λ)＝()A．－eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(3),3)C．－eq\r(3) D.eq\r(3)解析：选D由题可得A(2，0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\f(3\r(3),2))).因为eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，所以由向量相等的坐标表示可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2λ－\f(\r(3),2)μ＝－\f(3,2)，,\f(\a\vs4\al(μ),2)＝－\f(3\r(3),2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－3，,μ＝－3\r(3)，))所以eq\f(\a\vs4\al(μ),λ)＝eq\r(3)，故选D.15．(一题多解)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))，则x的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))解析：选D解法一：依题意，设eq\o(BO,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，其中1＜λ＜eq\f(4,3)，则有eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→)).又eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))不共线，于是有x＝1－λ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))，即x的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))，故选D.解法二：∵eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))