实验报告数据滤波和数据压缩实验

实验题目：使用Haar小波和傅里叶变换方法滤涉及数据压缩实验目的1）掌握失散数据的Haar小波变换和傅里叶变换的定义，基来源理和方法2）使用C++实现数据的Haar小波变换和失散傅里叶变换3）掌握数据滤波的基来源理和方法（4）掌握使用Haar小波变换和失散傅里叶变换应用于数据压缩的基来源理和方法，并且对两种数据压缩进行评论实验步骤2.1算法原理小波变换（1）均匀，细节及压缩原理设{x1，x2}是一组两个元素构成的信号，定义均匀与细节为a(x1x2)/2，d(x1x2)/2。则能够将{a，d}作为原信号的一种表示，且信号可由{a，d}恢复，x1ad，x2ad。由上述能够看出，当x1，x2特别靠近时，d会很小。此时，{x1，x2}能够近似的用{a}来表示，由此实现了信号的压缩。重构的信号为{a，a}，偏差信号为{|x1a|,|x2a|}{|d|,|d|}。所以，均匀值a能够看做是原信号的整体信息，而d能够当作是原信号的细节信息。用{a}近似的表示原信号，能够实现对原信号的压缩，并且丢掉的细节关于最后信号的重构不会有重要影响。关于多元素的信号，能够当作是关于二元信号的一种推行。（2）尺度函数和小波方程在小波剖析中，引入记号(t)X[1,0)(t)，此中，X[1,0)(t)表示区间[1，0]上的特色函数。定义称(t)为Haar尺度函数。由上式可知，j,k(t)都能够由0,0(t)伸缩和平移获得。小波剖析中，关于信号有不一样分辨率的表示，当用较低分辨率来表示原始信号时，会丢掉细节信息，需要找到一个函数来描绘这类信息，该函数称之为小波函数。基本的小波函数定义以下：则(t)(2t)(2t1)。(t)称为Haar小波。(t)1,0(t)1,1(t)称为两尺度方程，(t)1,0(t)1,1(t)称为小波方程。（3）Haar小波变换计算方法设{x1,x2...x2n}是一个长度为2n(n>1)的失散信号序列，记为{an,0,an,1...an,2n1}，该序列能够用以下的带有尺度函数来表示：一次小波分解的结果：f(t)an1,0n1,0(t)...an1,2n11n1,2n11(t)dn1,0n1,0(t)...dn1,2n11n1,2n11(t)1f(t)n1,k(t)dtan1,k。令k=0，获得对上式积分，由尺度函数的正交性，可得0an1,0(an,0an,1)/2。一般的，有同理傅里叶变换（1）一维连续函数的傅里叶变换定义F(u)f(t)ej2utdt为f(t)的傅里叶变换，其反变换为设f(t)为连续的时间信号，则定义f(t)F(u)ej2utdu。（2）一维失散傅里叶变换对连续的时间信号f(t)等间隔采样，获得失散序列f(n)。假定采样N次，则序列表示为{f(0),f(1),...,f(N1)}。令n为失散变量，u为失散频次变量，则一维失散傅里叶变换及其反变换定义：傅里叶变换的数学性质中，最重要的一点是：一个在时域或空域上看起来很复杂的信号（比方声音或图像）往常在频域上只集中在很小一块地区内，而很大一部分数值都靠近于零。即一个在空域中看起来占满全空间的信号，从频域中很可能只占用了极小一块地区，而大多数频次是被为零的。这就获得一个极为适用的结论：一个看起来信息量很大的信号，其实能够只用很少的数据便可加以描绘。只需对它先做傅里叶变换，而后只记录那些不靠近零的频域信息就能够达到数据压缩的目的。（3）迅速傅里叶变换FFT原理FFT的基本思想：将大点数的DFT分解为若干个小点数DFT的组合，进而减少运算量。WNn,kej2nk/NF(k)1令N，则F(u)可改写为

N1f(n)WNn,kn0。令N=2M，此中M为一正整数。带入式中，获得Fe(k)1M1n,k1M1f(2nn,kMnf(2n)WMFo(k)1)WM令0，Mn0则有F(k)1Fe(k)Fo(k)W2kMF(kM)1Fe(k)Fo(k)W2kM2，2上述推导说明：对一个长度为N的序列进行傅里叶变换能够经过将其区分为2个N/2的序列进行傅里叶变换，关于N/2的傅里叶变换，可区分为两个N/4的变换，这一过程不停迭代，知道两点的序列为止，可计算出该序列的傅里叶变换。（4）时间抽取的基2FFT蝶形算法关于（3）中的计算方法，能够采纳蝶形运算符号来表示。本实验中采纳的算法是时间抽取的基2FFT算法实现迅速傅里叶变换。数据压缩的评论准则（1）数据压缩比设原始信号f(n)的数据量大小为S，经过数据压缩后，信号的数据量变成M，一般状况下M<S。则数据压缩比率

的定义为：由上式可知，数据压缩得越小，其数据压缩比越大。（2）数据失真度关于压缩后的数据，能够采纳反变换等方式复原信号。设原信号为f(n)，复原信号为f1(n)，则我们定义复原信号与原始信号的差别为数据失真度。明显，数据恢复越靠近原始信号，数据失真度越小。2.2算法步骤1）Haar小波方法步骤读入原始数据f(n)对原始数据f(n)进行小波变换。对原始数据进行不一样层级（分辨率）下的小波变换，获得不一样的小波变换结果[An,Dn]c)关于上步中的小波变换结果，把细节重量Dn置为0，即滤波获得压缩数据[An]关于滤波结果[An]，经过小波逆变换，恢复数据计算恢复数据与原始数据的差别，进行压缩评论2）失散傅里叶变换步骤读入原始数据f(n)b)对原始数据f(n)进行失散傅里叶变换。使用蝶形算法计算傅里叶变换结果F(u)对F(u)进行滤波，保存低频成分，舍弃高频成分，即获得原始数据的近似表示对滤波结果的低频数据，高频重量恢复为零值，使用傅里叶反变换，恢复数据计算恢复数据和原始数据的差别，进行压缩评论2.3程序流程图开始读取原始数据小波变换DWT变换结果滤波数据写入文件结束图1Haar小波变换流程图在图1中，原始数据寄存在文本文件eggs.txt中，由程序运转时读入。对结果的滤波是舍弃小波分解的细节部分。计算结果写入dwt.txt文件中。开始读取原始数据数据f(n),变换后A(n)对A(n)小波逆变换IDWT，得f1(n)计算f(n)和f1(n)差别结束图2Haar小波压缩数据差别计算流程图图2是计算使用Haar小波进行数据压缩后，与原始数据差别。图中的f(n)表示原始数据，A(n)是小波变化结果，f1(n)表示逆变换结果。开始读取原始数据f(n)傅里叶变换FFT,获得F(u)变换结果F(u)滤波F(u)数据写入文件结束图3失散傅里叶变换流程图图3是傅里叶变换流程图。原始数据是eggs.txt。对F(u)滤波时，舍弃高频信息。计算结果写入fft.txt文件中。开始读取原始数据数据f(n),变换后F1(u)对F1(u)傅里叶逆变换IFFT，获得f1(n)计算f(n)和f1(n)的差别结束图4失散傅里叶变换压缩数据差别计算流程图图4是傅里叶变化压缩数据后的差别计算。傅里叶逆变换时，关于高频重量补零，与低频重量来恢复数据f1(n)。3实验结果剖析（1）傅里叶变换图

5

测试数据集的

FFT

变换及

IFFT

变换结果在上图中，获得测试数据集的傅里叶变换结果。图中带括号的是数据变换的复数结果，小数是变换后的幅值。能够看出，在傅里叶变换的结果中，有1/2的数据经过变换以后变成

后边的0值。这部分为0值的数据能够采纳压缩方式储存，进而压缩原始数据。并且，经过傅里叶反变换后，原始数据能够获得优秀的恢复。图6eggs.txt数据傅里叶变换结果使用eggs.txt中的数据时，因为数据量较大，此处不过部分数据截图。数据不足2n的部分用零补齐。能够看出，变换后的数据幅值较大，且基本没有为0数据。此时，采纳阈值进行滤波办理，取阈值30，马上阈值小于30的值置为0。（2）小波变换图7测试数据集的小波变换DWT由上图的实验结果能够看出，数据经过小波变换后，其能量集中于数据的靠前的小波系数。对于同样的数据集，能够采纳不一样级其他小波变换数据。图8eggs.txt数据小波变换结果由上图，关于实验数据，经过小波变换后，大多数的数据都为0。正式小波变换的这一特色，使得小波变换能够用于数据的压缩。实验结论在文章的上两节中，分别介绍了使用傅里叶变换和小波变换办理数据的方法。由实验中，能够获得以下两点：第一，傅里叶变换时数据的整体变换方法，数据经过傅里叶变化后，其能量主要集中在变换结果的靠前的数据部分，关于后边的能量较小的部分，关于原始数据的差别描绘，在储存时能够忽视，进而进行数据压缩。第二，小波变换的方法是既考虑数据整体性，又考虑数据的局部性。数据小波变换后，小波变换的前半部分系数表示数据的整体，后半部分表示数据的细节特色，关于一个连续的信号，其细节部分是细小的，能够忽视，进而使得小波变换的后半部分系数为0，进而实现了数据的压缩。小波变换能够在不一样的层级长进行。关于一个连续的信号，采纳傅里叶变换或是小波变换，数据能够获得较好的恢复，比照实验中的测试样本数据。关于给定的eggs.txt数据集，因为其颠簸较大，细节差别超出了原始信号，对其进行压缩，恢复获得的数据跟原始数据的差别很大。5实验心得领会（1）傅里叶变换和小波变换的原始数据迅速傅里叶变换和小波变换办理的数据都是

N2n

个。关于不足

N的数据，用零补齐后进行相应的变换，原始数据实质上改变。（2）数据恢复数据压缩后，为了获得数据，数据恢复是一定的。关于傅里叶变换，采纳傅里叶反变换的方法，能够获得压缩数据的答复数据；关于小波变换，则采纳小波重构的方式。因为采纳的压缩方式是有损的，所以恢复获得数据并不是原始数据。3）小波变换能够获得数据的不一样分辨率的表示，关于数据的滤波和压缩也能够在不一样的分辨率长进行。原始数据是最高分辨率。采纳的分辨率越高，则关于数据的压缩比越小。