数值分析实验报告07158

实验多项式插值的振荡现象实验目的：在一个固定的区间上用插值迫近一个函数，明显Lagrange插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。我们自然关怀插值多项式的次数增添时，Ln(x)能否也更为凑近被迫近的函数。Runge给出的一个例子是极有名并富裕启迪性的。实验内容：设区间[-1，1]上函数f(x)=1/(1+25x2)。考虑区间[-1,1]的一个等距区分，分点为xi=-1+2i/n，i=0，1，2，，n，则拉格朗日插值多项式为n1Ln(x)li(x).i01225xi此中，li(x)，i=0，1，2，，n是n次Lagrange插值基函数。实验步骤与结果剖析：实验源程序functionChap2Interpolation数值实验二：“实验：多项式插值的震荡现象”输入：函数式选择，插值结点数输出：拟合函数及原函数的图形promps={'请选择实验函数，若选g:'};titles='charpt_2';

f(x),

请输入

f,

若选

h(x),

请输入

h,若选

g(x),

请输入result=inputdlg(promps,'charpt2',1,{'f'});Nb_f=char(result);if(Nb_f~='f'&Nb_f~='h'&Nb_f~='g')errordlg('实验函数选择错误！');return;endresult=inputdlg({'请输入插值结点数N:'},'charpt_2',1,{'10'});Nd=str2num(char(result));if(Nd<1)errordlg('结点输入错误！');return;endswitchNb_fcase'f'f=inline('1./(1+25*x.^2)');a=-1;b=1;case'h'f=inline('x./(1+x.^4)');a=-5;b=5;case'g'f=inline('atan(x)');a=-5;b=5;endx0=linspace(a,b,Nd+1);y0=feval(f,x0);x=a::b;y=Lagrange(x0,y0,x);fplot(f,[ab],'co');holdon;plot(x,y,'b--');xlabel('x');ylabel('y=f(x)oandy=Ln(x)--');%--------------------------------------------------------------------functiony=Lagrange(x0,y0,x);n=length(x0);m=length(x);fori=1:mz=x(i);s=;fork=1:np=;forj=1:nif(j~=k)p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=s+p*y0(k);endy(i)=s;end实验结果剖析增大分点n=2，3，时，拉格朗日插值函数曲线以下图。n=6n=7n=8n=9n=10从图中能够看出，跟着n的增大，拉格朗日插值函数在x=0邻近较好地迫近了本来的函数f(x)，可是却在两头x=-1和x=1处出现了很大的振荡现象。并且，认真剖析图形，能够看出，当n为奇数时，固然有振荡，但振荡的幅度不算太大，n为偶数时，其振荡幅度变得很大。经过思虑剖析，我以为，可能的原由是f(x)自己是偶函数，假如n为奇数，那么nn-1是偶次幂，比较切合f(x)Lagrange插值函数L(x)的最高次项x自己是偶函数的性质；假如n为偶数，那么Lagrange插值函数nxn-1是奇次L(x)的最高次项幂，与f(x)自己是偶函数的性质相反，所以振荡可能更强烈。将本来的f(x)换为其余函数如h(x)、g(x)，结果以下图。此中h(x),g(x)均定义在[-5，5]区间上，h(x)=x/(1+x4)，g(x)=arctanx。h(x),n=7h(x),n=8h(x),n=9h(x),n=10g(x),n=7g(x),n=8g(x),n=9g(x),n=10剖析两个函数的插值图形，能够看出：跟着n的增大，拉格朗日插值函数在x=0邻近较好地迫近了本来的函数f(x)，可是却在两头x=-5和x=5处出现了很大的振荡现象。并且，认真剖析图形，能够看出，当n为偶数时，固然有振荡，但振荡的幅度不算太大，n为奇数时，其振荡幅度变得很大。原由和上边f(x)的插值近似，h(x)、g(x)自己是奇函数，假如n为偶数，那么Lagrange插值函数Ln(x)的最高次项xn-1是奇次幂，比较切合h(x)、g(x)自己是奇函数的性质；假如n为奇数，那么Lagrange插值函数Ln(x)的最高次项xn-1是偶次幂，与h(x)、g(x)自己是奇函数的性质相反，所以振荡可能更强烈。实验多项式最小二乘拟合实验目的：编制以函数{xk}k=0,,n；为基的多项式最小二乘拟合程序。实验内容：对表中的数据作三次多项式最小二乘拟合。xiyin取权函数wi≡1，求拟合曲线*k*xk中的参数{αk}、平方偏差δ2，并作失散据k0{xi,yi}的拟合函数的图形。实验源程序functionChap3CurveFitting%数值实验三:“实验3.1”%输出:原函数及求得的相应插值多项式的函数的图像以及参数alph和偏差rx0=-1::2;y0=[];n=3;%n为拟合阶次alph=polyfit(x0,y0,n);y=polyval(alph,x0);r=(y0-y)*(y0-y)';%平方偏差x=-1::2;y=polyval(alph,x);plot(x,y,'k--');xlabel('x');ylabel('y0*and');holdonplot(x0,y0,'*')gridon;disp(['平方偏差:',num2str(r)])disp(['参数alph:',num2str(alph)])实验结果平方偏差:参数alph:实验实验目的：复化求积公式计算定积分.实验题目：数值计算以下各式右端定积分的近似值.实验要求：（1）若用复化梯形公式、复化Simpson公式和复化Gauss-LegendreI型公式做计算，要1*107求绝对偏差限为2，分别利用它们的余项对每种算法做出步长的事先预计.（2）分别用复化梯形公式，复化Simpson公式和复化Gauss-LegendreI型公式作计算.（3）将计算结果与精准解做比较，并比较各样算法的计算量.实验程序：事先预计的Matlab程序以下：（1）．用复化梯形公式进行事先预计的Matlab程序formatlonggx=2::3;f=-4*(3*x.^2+1)./(x.^2-1).^3;%二阶导函数%plot(x,f)%画出二阶导函数图像x=;%计算导函数最大值f=-4*(3*x^2+1)/(x^2-1)^3;h2=*10^(-7)*12/f;h=sqrt(abs(h2))%步长n=1/h;n=ceil(1/h)+1%选用的点数formatlonggx=0::1;f=8.*(3*x.^2-1)./(x.^2+1).^3;%二阶导函数%plot(x,f)%画出二阶导函数图像x=1;%计算导函数最大值f=8.*(3*x.^2-1)./(x.^2+1).^3;h2=*10^(-7)*12/f;h=sqrt(abs(h2))%步长n=1/hn=ceil(1/h)+1%选用的点数formatlonggx=0::1;f=log(3).*log(3).*3.^x;%二阶导函数%plot(x,f);%画出二阶导函数图像x=1;%计算导函数最大值f=log(3)*log(3)*3^x;h2=*10^(-7)*12/f;h=sqrt(abs(h2))%步长n=1/hn=ceil(1/h)+1%选用的点数formatlonggx=1::2;f=2.*exp(x)+x.*exp(x);%二阶导函数%plot(x,f)%画出二阶导函数图像x=2;%计算导函数最大值f=2.*exp(x)+x.*exp(x);h2=*10^(-7)*12/f;h=sqrt(abs(h2))%步长n=1/hn=ceil(1/h)+1%选用的点数预计结果步长h及结点数n分别为h=n=1793h=n=1827h=n=2458h=n=7020（2）．用复化simpson公式进行事先预计的Matlab程序formatlonggx=2::3;f=-2*((-72*x.^2-24).*(x.^2-1)-192*x.^2.*(x.^2+1))./(x.^2-1).^5;%四阶导函数x=;f=-2*((-72*x^2-24)*(x^2-1)-192*x^2*(x^2+1))/(x^2-1)^5;%计算导函数最大值h4=*10^(-7)*180*16/f;h=sqrt(sqrt(abs(h4)))%步长n=1/h;%求分段区间个数n=2*ceil(1/h)+1%选用的点数formatlonggx=0::1;f=4*((-72*x.^2+24).*(x.^2+1)-192*x.^2.*(-x.^2+1))./(x.^2+1).^5;%四阶导函数x=1;f=4*((-72*x^2+24)*(x^2+1)-192*x^2*(-x^2+1))/(x^2+1)^5;%计算导函数最大值h4=*10^(-7)*180*16/f;h=sqrt(sqrt(abs(h4)))%步长n=1/h;%求分段区间个数n=2*ceil(1/h)+1%选用的点数formatlonggx=0::1;f=log(3)^4*3.^x;%四阶导函数x=1;f=log(3)^4*3.^x;%计算导函数最大值h4=*10^(-7)*180*16/f;h=sqrt(sqrt(abs(h4)))%步长n=1/h;%求分段区间个数n=2*ceil(1/h)+1%选用的点数formatlonggx=1::2;f=4*exp(x)+x.*exp(x);%四阶导函数plot(x,f)%画出原函数x=2;f=4*exp(x)+x.*exp(x);%计算导函数最大值h4=*10^(-7)*180*16/f;h=sqrt(sqrt(abs(h4)))n=1/h;%求分段区间个数n=2*ceil(1/h)+1%选用的点数预计结果步长h及结点数n分别为=n=47h=n=35h=n=29=n=49积分计算的Matlab程序：formatlonggpromps={'

请选择积分公式，若用复化梯形，请输入

T，用复化

simpson，输入

S，用复化

Gauss_Legendre，输入

GL：'};result=inputdlg(promps,'charpt4',1,{'T'});Nb=char(result);if(Nb~='T'&Nb~='S'&Nb~='GL')errordlg('

积分公式选择错误

');return;endresult=inputdlg({'请输入积分式题号

1-4：'},'

实验',1,{'1'});Nb_f=str2num(char(result));if(Nb_f<1|Nb_f>4)errordlg('

没有该积分式

');return;endswitchNb_fcase1fun=inline('-2./(x.^2-1)');a=2;b=3;case2fun=inline('4./(x.^2+1)');a=0;b=1;case3fun=inline('3.^x');a=0;b=1;case4fun=inline('x.*exp(x)');a=1;b=2;endif(Nb=='T')%用复化梯形公式promps={'请输入用复化梯形公式应取的步长：'};result=inputdlg(promps,'h=str2num(char(result));if(h<=0)

实验',1,{''});errordlg('请输入正确的步长！');return;endtic;N=floor((b-a)/h);detsum=0;fori=1:N-1xk=a+i*h;detsum=detsum+fun(xk);endt=h*(fun(a)+fun(b)+2*detsum)/2;time=toc;tendif(Nb=='S')%

用复化

Simpson公式promps={'

请输入用复化

Simpson公式应取的步长：

'};result=inputdlg(promps,'h=str2num(char(result));if(h<=0)

实验',1,{''});errordlg('

请输入正确的步长！

');return;endtic;N=floor((b-a)/h);detsum_1=0;detsum_2=0;fori=1:N-1xk_1=a+i*h;detsum_1=detsum_1+fun(xk_1);endfori=1:Nxk_2=a+h*(2*i-1)/2;detsum_2=detsum_2+fun(xk_2);endt=h*(fun(a)+fun(b)+2*detsum_1+4*detsum_2)/6;time=toc;tendif(Nb=='GL')%用复化Gauss_LegendreI%先依据复化Gauss_LegendreI公式的余项预计步长promps={'请输入用复化Gauss_LegendreI公式应取的步长：'};result=inputdlg(promps,'实验',1,{''});h=str2num(char(result));if(h<=0)errordlg('请输入正确的步长!');return;endtic;N=floor((b-a)/h);t=0;fork=0:N-1xk=a+k*h+h/2;t=t+fun(xk-h/(2*sqrt(3)))+fun(xk+h/(2*sqrt(3)));endt=t*h/2;time=toc;tendswitchNb_fcase1disp('精准解：ln2-ln3=')disp(['绝对偏差：',num2str(abs(t+)]);disp(['运转时间：',num2str(time)]);case2disp('精准解：pi=')disp(['绝对偏差：',num2str(abs(t-pi))]);disp(['运转时间：',num2str(time)]);case3disp('精准解：2/ln3=')disp(['绝对偏差：',num2str(abs)]);disp(['运转时间：',num2str(time)]);case4disp('精准解：e^2=')disp(['绝对偏差：',num2str(abs)]);disp(['运转时间：',num2str(time)]);end入采用复化梯形公式时：（1）式运转结果为：t=精准解：ln2-ln3=绝对偏差：运转时间：（2）式运转结果为：t=精准解：pi=绝对偏差：运转时间：（3）式运转结果为：t=精准解：2/ln3=绝对偏差：运转时间：（4）式运转结果为：t=精准解：e^2=绝对偏差：运转时间：入采用复化Simpson公式进行计算时：（1）式运转结果为：t=精准解：ln2-ln3=绝对偏差：运转时间：（2）式运转结果为：t=精准解：pi=绝对偏差：0运转时间：（3）式运转结果为：t=精准解：2/ln3=绝对偏差：运转时间：（4）式运转结果为：t=精准解：e^2=绝对偏差：运转时间：入采用复化Gauss-LegendreI型公式进行计算时：（1）式运转结果为：t=精准解：ln2-ln3=绝对偏差：运转时间：（2）式运转结果为：t=精准解：pi=绝对偏差：运转时间：（3）式运转结果为：t=精准解：2/ln3=绝对偏差：运转时间：（4）式运转结果为：t=精准解：e^2=绝对偏差：运转时间：结果剖析：入采用复化梯形公式时，对步长的事先预计所要求的步长很小，选用的节点好多，偏差绝对1*107限要达到2时，对不一样的函数n的取值需达到1000-10000之间，计算量是很大。用复化simpson公式对步长的事先预计所要求的步长相对大些，选用的节点较少，偏差绝对1*107限要达到2时，对不一样的函数n的取值只要在10-100之间，计算量相对小了好多，可知足用较少的节点达到较高的精度，比复化梯形公式的计算量小了好多。用复化simpson公式计算所得的结果比用复化梯形公式计算所得的结果精度高好多，并且计算量小。入采用Gauss-LagrangeI型公式进行计算时，采用较少的节点就能够达到很高的精度。实验常微分方程性态和R-K法稳固性试验实验目的：观察下边微分方程右端项中函数y前面的参数对方程性态的影响（它可使方程为好条件的或坏条件的）和研究计算步长对R-K法计算稳固性的影响。实验内容及要求：实验题目：常微分方程初值问题'yayax1,0x1,此中，50a50。其精准解为y(x)eaxx。实验要求：本实验题都用4阶经典R-K法计算。（1）对参数a分别取4个不一样的数值：一个大的正当，一个小的正当，一个绝对值小的负值和一个绝对值大的负值。取步长h=，分别用经典的R-K法计算，将四组计算结果画在同一张图上，进行比较并说明相应初值问题的性态。（2）取参数a为一个绝对值不大的负值和两个计算步长，一个步长使参数ah在经典R-K法的稳固域内，另一个步长在经典R-K法的稳固域外。分别用经典R-K法计算并比较计算结果。取全域等距的10个点上的计算值，列表说明。实验程序：Matlab程序以下：functioncharp5RK%数值试验：常微分方程性态和R-K法稳固性试验%输入：参数a，步长h%输出：精准解和数值解图形对照%clf;result=inputdlg({'请输入

[-50

，50]间的参数

a:'},'

实验',1,{'-40'});a=str2num(char(result));if(a<-50|a>50)errordlg('

请输入正确的参数