第15讲四年级数学还原问题教案

精锐教育学科教师辅导讲义学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科教师：授课类型T(还原问题)C（还原问题）T（还原问题）授课日期及时段教学内容1、解决方案问题的方法有哪些？方阵不论在哪一层，每边上的人(或物)数量都相同.每向里一层，每边上的人数就少2，每层总数就少8.每边人(或物)数和每层总数的关系：每层总数=[每边人(或物)数-1]×4;每边人(或物)数=每层总数÷4+1.实心方阵：总人(或物)数=每边人(或物)数×每边人(或物)数.空心方阵：总人（或物）数=外边人数×外边人数-内边人数×内边人数2、240人围成一个三层空心方阵，最内层每边有多少人？中层：240÷3＝80，每边：80÷4+1＝21；内层每边：21-1=19（人）一、同步知识梳理有些题目只给出对未知数量经过某些运算而得到的最后结果，要想求出未知量，可以从这最后结果出发，运用加与减，乘与除之间的互逆关系，从后往前一步一步地推算，这种方法叫做逆推法。如7大于5，也可以说成5小于7。这种思维方法我们称作逆向思维，在处理一些问题时经常要用到。有些应用题按顺向处理比较困难，或者会出现繁杂的运算，如果根据题目的条件，运用逆推法去解则方便得多。二、同步题型分析例1、某数乘以3，再加2，减去5，差是12，这个数是多少？分析：差是12，是减去5之后得到的，那么被减数就是12+5=17，这个被减数是加2之后得到的，另一个加数就是17-2=15，这一个加数是有某数乘3得到的，那么这个数就是15÷3解：（12+5-2）÷3

=15÷3

=5；

答：这个数是5．例2、一个数减去5，乘以5，加上5，除以5，最后的结果还是5，那么这个数是多少？分析：从后向前来推算，①“除以5，结果还是5”，则前一个数是5×5=25；

②“加上5等于25”，则前一个数是25-5=20；

③“乘以5等于20”，则前一个数是20÷5=4；④“减去5，等于4”，则原来的数是4+5=9．解：（5×5-5）÷5+5，

=（25-5）÷5+5，

=20÷5+5，

=4+5，

=9，

答：这个数是9．例3、一桶油，每次倒掉油的一半，倒了三次后连桶重10千克，已知桶重2.5千克，原来桶里有油多少千克？分析：由题意，倒了三次后连桶重10千克，已知桶重2.5千克，则油重（10-2.5）千克，每次倒掉油的一半，则第三次没倒前油重（10-2.5）×2，以此类推。解：（10-2.5）×2×2×2=7.5×2×2×2=15×2×2=60(千克)例4、甲、乙两人有若干本书，如果甲拿出和乙同样多的书给乙，乙再拿出同样多的书给甲，这时两人都是48本，那么甲、乙两人原来有图书多少本？方法一【搭架子，倒推还原】：

甲-乙+（甲-乙）=48，

48-（甲-乙）+乙=甲

即：甲=乙+24①

乙+乙-(甲-乙)=48

48+（甲-乙）-乙=乙

即：甲=3乙-48②

综合①，②

甲=60

乙=36方法二【列表比较】：原来甲乙第一次甲-乙2乙第二次2（甲-乙）=482乙-（甲-乙）=48所以，甲-乙=24，乙=36甲=60.三、课堂达标检测1、一个数除以3后再加6，减7，再乘以5，积是10，这个数是多少？解：（10÷5+7-6）×3

=（2+7-6）×3

=3×3

=9

答：这个数是9。2、篮子里原有苹果若干个，拿出一半送给奶奶，又拿出剩下的一半送给妈妈，这时还剩5个，原来这篮苹果有多少个？解：5×2×2

=10×2

=20（个）

答：原来这篮苹果有20个。3、有一种昆虫，由幼虫长到成虫，体长每天增长一倍，20天后正好长到20厘米，请问长到5厘米时用了几天？解：第19天：20÷2=10（厘米），

第18天：10÷2=5（厘米）

答：它长到5厘米用了18天。一、专题精讲例1、农机店出售一批新型的农用拖拉机，上午售出总数的一半多20台，下午售出剩下的一半多15台，这时只剩75台．这批农用拖拉机共有多少台？分析：此题抓住剩下的75台，往前推算，75台再加上15台就是上午卖完剩下的一半，据此乘2，即可得出上午卖完剩下的是90×2=180台，180台，再加上20台，就是这批拖拉机的一半，据此乘2，就是拖拉机的总台数．解：[（75+15）×2+20]×2，

=[90×2+20]×2，

=200×2，

=400（台），

答：这批拖拉机共有400台。例2、小红看一本故事书，第一天看了这本书的一半又10页，第二天看了余下的一半又10页，第三天看了10页正好看完，这本书有多少页？分析：此题抓住最后第三天看的页数是10页正好看完，向前逆推。解：[（10+10）×2+10]×2，

=[40+10]×2，

=50×2，

=100（页），

答：这本书有100页．例3、粮库里存一批大米，第一次运出库存大米的一半多20包，第二次运出剩下大米的一半少10包，这时还剩28包，求粮库原有大米多少包？分析：本题需要从问题出发，一步步向前推，最后剩下了28包，它是运出剩下的一半少10包后剩下的，那么剩下的一半就是28-10包，就可以求出剩下的一共多少包；同样的方法就可以求出原来有多少包．解：[（28-10）×2+20]×2

=（18×2+20）×2

=56×2

=112（包）

答：粮库原有大米112包．例4、四个小朋友共有课外读物120本，甲给乙3本，乙给丙4本，丙给丁5本，丁给甲6本，这时四个人的课外读物的本数相等，他们原来各有几本课外读物？解：120÷4=30（本）

甲-3+6=30甲：30-6+3=27（本）

乙-4+3=30乙：30-3+4=31（本）

丙-5+4=30丙：30-4+5=31（本）

丁-6+5=30丁：30-5+6=31（本）

答：甲原来有27本，乙、丙、丁原来各有31本．例5、袋里有若干个球，小明每次拿出其中的一半再放回一个球，这样共操作了5次，袋中还有3个球。问：袋中原有多少个球？分析与解：利用逆推法从第5次操作后向前逆推。第5次操作后有3个，第4次操作后有（3—1）×2＝4（个），第3次……为了简洁清楚，可以列表逆推如下：所以原来袋中有34个球。例6、三堆苹果共48个。先从第一堆中拿出与第二堆个数相等的苹果并入第二堆；再从第二堆中拿出与第三堆个数相等的苹果并入第三堆；最后又从第三堆中拿出与这时第一堆个数相等的苹果并入第一堆。这时，三堆苹果数恰好相等。问：三堆苹果原来各有多少个？分析与解：由题意知，最后每堆苹果都是48÷3＝16（个），由此向前逆推如下表：原来第一、二、三堆依次有22，14，12个苹果。例7、兄弟三人分24个桔子，每人所得个数分别等于他们三年前各自的岁数。如果老三先把所得的桔子的一半平分给老大与老二，接着老二把现有的桔子的一半平分给老三与老大，最后老大把现有的桔子的一半平分给老二与老三，这时每人的桔子数恰好相同。问：兄弟三人的年龄各多少岁？分析与解：由于总共有24个桔子，最后三人所得到的桔子数相等，因此每人最后都有24÷3＝8（个）桔子。由此列表逆推如下表：由上表看出，老大、老二、老三原来分别有桔子13，7，4个，现在的年龄依次为16，10，7岁。二、专题过关1、某数加上6，乘以6，减去6，除以6，最后结果等于6，求某数。解答：(6×6+6)÷6-6=12、一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩7米，这捆电线原有多少米?解答：[(7+15-10)×2+3]=54(米)3、小明在计算一道加法计算时，把一个加数个位上的1看作7，把一个加数十位上的8看作3，这样所得的和是1955，原来两数相加的正确答案是多少?解答：1995+50-6=19994、袋子里装着若干个乒乓球，小明每次拿出其中的一半再放回一个球，这样共拿了5次，袋子里还有5个球。袋中原有多少个乒乓球?解答：操作次数，袋中球个数初始第一步：(50-1)×2=98;第二步：(26-1)×2=50;第三步：(14-1)×2=26;第四步：(8-1)×2=14;第五步：(5-1)×2=85、甲、乙、丙三人各有小球若干个，甲先拿出自己的小球的一部分给乙和丙，使乙、丙每人的小球数增加一倍;然后乙也把自己的小球的一部分分给甲丙，使甲和丙每人的小球数增加一倍;最后丙也把自己小球的一部分分给甲和乙，使甲和乙每人的小球数增加一倍。这时甲乙丙都有48个小球。原来甲乙丙各有小球多少个?解答：变动情况甲初始状态：12+42+24=78→24÷2=12→48÷2=24→48乙初始状态：84÷2=42→24+12+48=84→48÷2=24→48丙初始状态：48÷2=24→96÷2=48→48+24+24=96→48三、学法提炼1、专题特点：还原问题的解法。2、解题方法：1、运用倒推法(还原法)解题的相应的“逆运算”是指：加法用减法还原，减法用加法还原，乘法用除法还原，除法用乘法还原，并且原来是加(减)几，还原时应为减(加)几，原来是乘(除)以几，还原时应为除(乘)以几。对于一些比较复杂的还原问题，要学会列表，借助表格倒推，既能理清数量关系，又便于验算。2、列表法解还原问题，一步一步从后面往前推。3、注意事项：逆推时注意，每次变化中，有一堆未动；有一堆增加了一倍，逆推时应除以2；另一堆减少了增加一倍那堆增加的数，逆推时应使用加法。能力培养综合题1：某校初一有A，B，C三个班，A班比B班多4个女生，B班比C班多1个女生，如果将A班的第一组同学调入B班，同时将B班第一组调入C班，同时将C班的第一组同学调入A班，则三个班的女同学人数恰好相等．已知C班第一组有2名女生，问A、B两个班第一组各有多少女生？分析：由“A班比B班多4个女生，B班比C班多1个女生”，可知A班比C班多5个女同学，即A、B、C三个班是C班开始人数的3倍，也就是A多5个女生，B多1个，C一个也不多为0．想让三者平衡，就是A2人，B2人，C2人．即C给了A2人，A够了，所以A第一组5女全送出，B得到5个人加上原来的一个为6个，所以B第一组4人送出，并正好是4-2=2（人）．解：三个班的女同学人数恰好相等时，各有女生：

（5+1）÷3=2（人）；

B班第一组有女生人数为：

2+2=4（人）；

A班第一组有女生人数为：

4+1=5（人）；

答：A班第一组有女生5人，B班第一组有女生4人．综合题2：有一个财迷总想使自己的钱成倍增长，一天他在一座桥上碰见一个老人，老人对他说：“你只要走过这座桥再回来，你身上的钱就会增加一倍，但作为报酬，你每走一个来回要给我32个铜板．”财迷算了算挺合算，就同意了．他走过桥去又走回来，身上的钱果然增加了一倍，他很高兴地给了老人32个铜板．这样走完第五个来回，身上的最后32个铜板都给了老人，一个铜板也没剩下．问：财迷身上原有多少个铜板？解：第五次后有：32÷2=16（个）；

第四次后有：（32+16）÷2=24（个）；

第三次后有：（32+24）÷2=28（个）；

第二次后有：（32+28）÷2=30（个）；

第一次原有：（32+30）÷2=31（个）；

答：财迷身上原有31个铜板．二、能力点评在分析应用题的过程中，倒推法是一种常用的思考方法.这种方法是从所叙述应用题或文字题的结果出发，利用已知条件一步一步倒着分析、推理，直到解决问题.学法升华知识收获1、计算类的还原问题2、还原问题的应用二、方法总结用倒推法解题时要注意：①从结果出发，逐步向前一步一步推理.②在向前推理的过程中，每一步运算都是原来运算的逆运算.③列式时注意运算顺序，正确使用括号.三、技巧提炼解决还原问题的关键是抓住最后得到的数量，从后先前进行推理，根据加减乘除的逆运算思维进行解答课后作业1、美红商店出售洗衣机，上午出售总数的一半多20台，下午售出剩下的一半少20台，结果还剩105台，美红商店原有多少台洗衣机？解：[（105-20）×2+20]×2，

=[85×2+20]×2，

=190×2，

=380（台），

答：这批洗衣机共有380台．2、一次数学考试后，李军问于昆数学考试得多少分.于昆说：“用我得的分数减去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.”小朋友，你知道于昆得多少分吗?【分析】这道题如果顺推思考，比较麻烦，很难理出头绪来.如果用倒推法进行分析，就像剥卷心菜一样层层深入，直到解决问题.如果把于昆的叙述过程编成一道文字题：一个数减去8，加上10，再除以7，乘以4，结果是56.求这个数是多少?把一个数用□来表示，根据题目已知条件可得到这样的等式：解：{[(□-8)+10]÷7｝×4=56[(□-8)+10〕÷7=56÷4答：于昆这次数学考试成绩是96分.3、马小虎做一道整数减法题时，把减数个位上的1看成7，把减数十位上的7看成1，结果得出差是111.问正确答案应是几?解：111-(70—10)+(7—1)=57答：正确的答案是57.4、树林中的三棵树上共落着48只鸟.如果从第一棵树上飞走8只落到第二棵树上;从第二棵树上飞走6只落到第三棵树上，这时三棵树上鸟的只数相等.问：原来每棵树上各落多少只鸟?【分析】倒推时以“三棵树上鸟的只数相等”入手分析，可得出现在每棵树上鸟的只数48÷3=16(只).第三棵树上现有的鸟16只是从第二棵树上飞来的6只后得到的，所以第三棵树上原落鸟16—6=10(只).同理，第二棵树上原有鸟16+6—8=14(只).第一棵树上原落鸟16+8=24(只)。5、三筐苹果共重120斤，如果从第一筐中取出15斤放入第二筐，从第二中取出8斤放入第三筐，从第三筐中取出2斤放入第一筐，这时三筐苹果的重量相等，问原来第二筐中有苹果多少斤？解