高等代数(北大第三)习题答案II

高等代数(北大版第三版)习题答案II高等代数(北大版第三版)习题答案II/高等代数(北大版第三版)习题答案II高等代数（北大第三版）答案目录第一章多项式第二章行列式第三章线性方程组第四章矩阵第五章二次型第六章线性空间第七章线性变换第八章—矩阵第九章欧氏空间第十章双线性函数与辛空间注：答案分三部分，该为第二部分，其他请找寻，谢谢！12．设A为一个n级实对称矩阵，且A0，证明：必存在实n维向量X0，使XAX0。证因为A0，于是A0，所以rankAn，且A不是正定矩阵。故必存在非退化线性替换XC1Y使XAXYC1ACYYBYy12y22yp2yp21y2p2yn2，且在规范形中必含带负号的平方项。于是只要在ZC1Y中，令yy2yp10,yp1yp2yn1,则可得一线性方程组c11x1c12x2c1nxn0cp1x1cp2x2cpnxn0，cp1,1x1cp1,2x2cp1,nxn1cn1x1cn2x2cnnxn1由于C0，故可得唯一组非零解Xsx1s,x2s,,xns使XsAXs000111np0，即证存在X0，使XAX0。13．如果A,B都是n阶正定矩阵，证明：AB也是正定矩阵。证因为A,B为正定矩阵，所以XAX,XBX为正定二次型，且XAX0，XBX0，因此XABXXAXXBX0，于是XABX必为正定二次型，进而AB为正定矩阵。14．证明：二次型fx1,x2,,xn是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。证必要性。采用反证法。若正惯性指数p秩r，则pr。即fx1,x2,,xny2y2y2y21y2，12ppr若令y1y2yp0，yp1yr1，则可得非零解x1,x2,,xn使fx1,x2,,xn0。这与所给条件fx1,x2,,xn0矛盾，故pr。充分性。由pr，知fx1,x2,,xny12y22yp2，故有fx1,x2,,xn0，即证二次型半正定。nn2xi215．证明：nxi是半正定的。i1i1nn2证nxi2xii1i1nx12x22xn2x12x22xn22x1x22x1xn2x2x32x2xn2xn1xnn1x12x22xn2（2x1x22x1xn2x2x32x2xn2xn1xn）x122x1x2x22x122x1x3x32xn212xn1xnxn2xixj2。1ijn可见：1）当x1,x2,,xn不全相等时fx1,x2,,xnxixj20。1ijn2）当x1x2xn时fx1,x2,,xnxixj20。1ijn故原二次型fx1,x2,,xn是半正定的。16．设fx1,x2,,xnXAX是一实二次型，若有实n维向量X1,X2使X1AX0，X2AX20。证明：必存在实n维向量X00使X0AX00。设A的秩为r，作非退化线性替换XCY将原二次型化为标准型XAXd1y12d2y22dryr2，其中dr为1或-1。由已知，必存在两个向量X1,X2使X1AX10和X2AX20，故标准型中的系数d1,,dr不可能全为1，也不可能全为-1。不妨设有p个1，q个-1，且pqr，即XAXy12y2py2p1yp2q，这时p与q存在三种可能：pq，pq，pq下面仅议论pq的情形，其他近似可证。令y1yq1，yq1yp0，yp1ypq1，则由ZCY可求得非零向量X0使X0AX0y12y2pyp21yp2q0，即证。17．A是一个实矩阵，证明：rankAArankA。证由于rankArankAA的充分条件是AX0与AAX0为同解方程组，故只要证明AX0与AAX0同解即可。事实上AX0AAX0XAAX0AXAX0AX0，即证AX0与AAX0同解，故rankAArankA。注该结论的另一证法详见本章第三部分（补充题精解）第2题的证明，此处略。一、补充题参照解答1．用非退化线性替换化下列二次型为标准型，并用矩阵验算所得结果：1）x1x2nx2x2n1x2x2n1xnxn1；2）x1x2x2x3xn1xn；n3）xi2xixj；i11ijnn2x1x2xn。4）xix，其中xi1n解1）作非退化线性替换x1y1y2nx2y2y2n1xnynyn1，xnynyn11x2n1y2y2n1x2ny1y2n即XTY，则原二次型的标准形为fy2y2y2y2y2y2，12nn12n12n且替换矩阵10010110T11，1101101001使11TAT，11其中1212A。12122）若y1x1x2x3，y2x1x2x3，22则y12y22y1y2y1y2x1x2x2x3，于是当n为奇数时，作变换yixixi1xi22yixixi1xi2i1,3,5,,n2，12ynxn则xx2xxxn1xny2y2y2y2y2y2，1231234n2n1且当n4k1时，得非退化替换矩阵为1111111110000011111T11000，1101当n4k3时，得非退化替换矩阵为1111111110000011111T11000，1101故当n为奇数时，都有111TAT1。110当n为偶数时，作非退化线性替换yixixi1xi22yixixi1xi212i1,3,5,,n3，xn1xnyn12ynxn1xn2则xx2xxxn1xny2y2y2y2y2y2，1231234n1n于是当n4k时，得非退化替换矩阵为1111111100001111T1100，1111于是当n4k2时，得非退化替换矩阵为1111111100001111T1100，1111故当n为偶数时，都有111TAT1。113）由配方法可得1n21n2fx1xj3x2xj2j243j3n1xn2n1xn2，1xn12nn2n于是可令y1x11n2jxj2y2x21n3jxj3，yn1xn11xnnynxn则非退化的线性替换为x1y11y21y31yn11yn23n1nx2y21y31yn11yn3n1n，xn1yn11ynnxnyn且原二次型的标准形为fy123y22nyn21n1yn2，42n12n相应的替换矩阵为1111123n1n011113n1nT001111，nn00011n00001又因为11112221111222A，11112221111222所以10000030004400006TAT。000n02n10000n1n4）令y1x1xy2x2x，yn1xn1xynxn则nx12y1i2yinx2y12y2yii3。n2xn1yi2yn1yn1nyn由于nnyixin1xx，i1i1则n1n2n1n12原式yi2ynyiyi2yii1i1i1i1n12yi2yiyji11ijn12z123z22nzn2142n12z123z22nzn21，2n1其中所作非退化的线性替换为y1z11z21z31zn123n1y2z21z31z41zn134n1，yn1zn1ynzn故非退化的替换矩阵为111102111123n112111011103n1121111T001011121n1000010001000001200011300124110123。011n123n101000又2x1xnx2xxixx1x,x2x,,xnxi1xnxn111n111x1nnnnnnx1,x2,,xx1n111n11x2nnnnnn11n111n1xnnnnnnnn111x1nnnx1,x2,,xx1n11x2nnn11n1xnnnnZAZ，所以200000300024TAT00003。000n0n0001002．设实二次型s2fx1,x2,,xni1ai1x1ai2x2ainxn，证明：fx1,x2,,xn的秩等于矩阵a11a12a1nAa21a22a2nas1as2asn的秩。证设rankAr，因fx1,x2,,xnXAAX，下面只要证明rankAr即可。由于rankArankA，故存在非退化矩阵P,Q使PAQEr0或PAEr01，000Q0进而PAAPEr0Q1Q1Er0，0000令Q1Q1BrC，DM则PAAPEr0BrCEr0Br000DM000。0由于Q1Q1是正定的，因此它的r级序次主子式Br0，进而AA的秩为r。即证rankArankAA。3．设fx1,x2,,xnl12l22lp2lp21lp2q。其中lii1,2,,pq是x1,x2,,xn的一次齐次式，证明：fx1,x2,,xn的正惯性指数p，负惯性指数q。证设libi1x1bi2x2binxni1,2,,pq，12,,xn的正惯性指数为s，秩为r，则存在非退化线性替换fx,xyici1x1ci2x2cinxni1,2,,n，使得fx1,x2,,xnl12l22lp2lp21lp2qy12ys2ys21yr2。下面证明sp。采用反证法。设sp，考虑线性方程组b11x1b1nxn0bp1x1

bpnxn

0，cs1,1x1

cs1,nxn

0cn1x1cnnxn0该方程组含pns个方程，小于未知量的个数n，故它必有非零解a1,a2,,an，于是fa1,a2,,anlp21lp2qy12ys2，上式要成立，必有lp1lpq0，y1ys0，这就是说，对于x1a1,x2a2,,xnan这组非零数，有y10，y20,,yn0，这与线性替换YCX的系数矩阵非退化的条件矛盾。所以sp。同理可证负惯性指数rsp，即证。4．设AA11A12A21A22是一对称矩阵，且A110，证明：存在TEXA110表示一0E使TAT，其中0个级数与A22相同的矩阵。E0E1A12，证只要令T，则TA11A21A111E0E注意到A12A21，A111A111，则有TATE0A11A12EA111A12A21A111EA21A220EA11A12EA111A120A21A111A12A220EA110。0即证。5．设A是反对称矩阵，证明：A合同于矩阵11001。1000证采用归纳法。当n1时，A0合同于0，结论成立。下面设A为非零反对称矩阵。当n2时0a12第2行乘a12101A0第2列乘a121，a121001故A与合同，结论成立。10假设nk时结论成立，今考察nk1的情形。这时0a1ka1,k1A0，a1kak,k1a1,k1ak,k10如果最后一行（列）元素全为零，则由归纳假设，结论已证。若不然，经过行列的同时对换，不妨设ak,k10，并将最后一行和最后一列都乘以1，则A可化成ak,k10a1kb1，a1k01b110再将最后两行两列的其他非零元bi,aiki1,2,,k化成零，则有0b1,k100b1,k1000，00010010由归纳假设知0b1,k01110与b1,k10合同，进而A合同于矩阵1100110，00110再对上面矩阵作行交换和列交换，便知结论对k1级矩阵也成立，即证。6．设A是n阶实对称矩阵，证明：存在一正实数c，使对任一个实n维向量X都有XAXcXX。证因为XAXaijxixjaijxixj，i,ji,j令amaxaij，则i,jXAXaxixj。i,jxi2x2j利用xixj可得2XAXxi2x2jan2cXX，a2xii,ji其中can，即证。7．主对角线上全是1的上三角矩阵称为特殊上三角矩阵。1）设A是一对称矩阵，T为特殊上三角矩阵，而BTAT，证明：A与B的对应序次主子式有相同的值；2）证明：如果对称矩阵A的序次主子式全不为零，那么一定有一特殊上三角矩阵T使AT成对角形；3）利用以上结果证明：如果矩阵A的序次主子式全大于零，则XAX是正定二次型。证1）采用归纳法。当n2时，设Aa11a12，T1b，a21a2201则10a11a121ba11BTAT1a21a2201。b考虑

B的两个序次主子式：

B的一阶序次主子式为

a11，而二阶序次主子式为BTAT

1?A?1

A，与A的各阶序次主子式相同，故此时结论成立。归纳假设结论对n1阶矩阵成立，今考察n阶矩阵，将A,T写成分块矩阵Tn1，AAn1，T10ann其中Tn1为特殊上三角矩阵。于是Tn10An1Tn1B1ann01Tn1An1Tn1Bn1。由归纳假设，B的一切n1阶的序次主子式，即Bn1Tn1An1Tn1的序次主子式与An1的序次主子式有相同的值，而B的n阶序次主子式就是B，由BTAT1?A?1A，知B的n阶序次主子式也与A的n阶序次主子式相等，即证。2）设n阶对称矩阵Aaij，因a110，同时对A的第一行和第一列进行相同的第三种初等变换，可以化成对称矩阵a1100A0b22b2na1100，Bn10bn2bnna1100，进而b220，再对Bn1进行近似的初等变换，使矩阵A1的于是由1）知b220第二行和第二列中除b22外其余都化成零；如此持续下去，经过若干次行列同时进行的第三种初等变换，便可以将A化成对角形12B。n由于每进行一次行、列的第三种初等变换，相当于右乘一个上三角形阵Ti，左乘一个下三角形阵Ti，而上三角形阵之积仍为上三角形阵，故存在TT1,T2,,Ts，使TATB，命题得证。3）由2）知，存在T使1TAT2B。n又由1）知B的所有序次主子式与A的所有序次主子式有相同的值，故1a11a1201a110，a12a22，2所以20。1a11a1i20，ai1aiii所以0i1,2,,n，因XTY是非退化线性替换，且XAXYTATY1y122y22nyn2，由于1,2,,n都大于零，故XAX是正定的。8。证明：1）如果nnaijxixjaijajii1j1是正定二次型，那么a11a12a1ny1a21a22a2ny2fy1,y2,,ynan1

an2

ann

yny1

y2

yn

0是负定二次型；2）如果A是正定矩阵，那么annPn1，这里Pn1是A的n1阶序次主子式；3）如果A是正定矩阵，那么Aa11a22ann。4）如果Ttij是n阶实可逆矩阵，那么2nTt12it22itni2。i1证1）作变换YAZ，即y1a11a12a1nz1y2a21a22a2nz2，ynan1an2annzn则a11a1n0fy1,y2,,ynan1ann0y1yny1z1ynznAy1z1ynznAYZAZAZAZAZ。因为A是正定矩阵，所以fy1,y2,,yn是负定二次型。2）A为正定矩阵，故Pn1对应的n1阶矩阵也是正定矩阵，由1）知a11a1,n1y1fn1y1,,yn1anan1,n1yn11,1y1yn10是负定二次型。注意到a11a1,n1a1nAan1,nan1,nan1,11an1an,n1anna11a1,n1a1na11a1,n10an1,1an1,n1an1,nan1,1an1,n10an1an,n10an1an,n1annfn1a1n,a2n,,an1,nannPn1，又因fn1a1n,a2n,,an1,n0ain中最少有一个不为0时，所以AannPn1，当a1na2nan1,n0时，有AannPn1，综上有AannPn1，即证。3）由2）得AannPn1annan1,n1Pn2annan1,n1a11。4）作非退化的线性替换XTY，则XXYTTY为正定二次型，所以TT是正定矩阵，且t11tn1t11t1nTTt1ntnntn1tnnt112t212tn21t122t222tn22，t12nt22ntnn2再由3）便得nT2TTt12it22itni2。i19.证明：实对称矩阵A是半正定的充分必要条件是A的一切主子式全大于或等于零（所谓k阶主子式，是指形为ai1i1ai2i2ai1ikai2i1ai2i2ai2ikaiki1aiki2aikik的k级子式，其中1i1ikn）。证必要性。取A的任一个m阶主子式相应的矩阵ai1i1ai1imAm，aimi1aimimAm对应的二次型为aiixixikX1AmX1，sksn令xi0ii1i2,,im，代入aijxixj0，得i,j1aisikxisxikX1AmX10，故存在非退化矩阵Tm使d1TmAmTmd2，dm其中di0i1,,m。故Am0m1,2,,n。充分性。设A的主子式全大于或等于零，任取A的第m个序次主子式相应的矩阵a11a12a1mAmm1,2,,n，am1am2amm作a11a12a1mEmAma21a22a2m，am1am2amm由行列式性质，得EmAmmP1m1Pm1Pm，其中Pi是Am中一切i阶主子式的和，由题设，A的一切i阶主子式Ai0，所以Pi0。故当0时，有EmAm0，即当0时，EmAm是正定矩阵。若是A不是半正定矩阵，则存在一非零向量X0，使X0AXcc0。于是令cc0，X0X0x102x202xn20则X0EAX0X0EX0X0AX0cc0，这与0时EA为正定矩阵矛盾，故A为半正定矩阵。第六章线性空间.设MN,证明：MINM,MUNN。1证任取M,由MN,得N,所以MN,即证MNIM。又因MNM,故MINM。再证第二式，任取M或N,但MN,因此无论哪一种情形，都有N,此即。但NMN,所以MUNN。2.证明M(NL)(MN)(ML)，M(NL)(MN)(ML)。证xM(NL),则xM且xNL.在后一情形，于是xMN或xML.所以x(MN)(ML)，由此得M(NL)(MN)(ML)。反之，若x(MN)(ML)，则xMN或xML.在前一情形，xM,xN,因此xNL.故得xM(NL),在后一情形，因而xM,xL,xNUL，得xM(NL),故(MN)(ML)M(NL),于是M(NL)(MN)(ML)。若xMU（NIL），则xM，xNIL。在前一情形XxMUN，且XMUL，因而x（MUN）。I（MUL）在后一情形，xN,x因而xMUN,且，即X（MN）（ML）所以L,XMULUIUMUN）I（MUL）MU（NUL）故

MU（NIL）=（MUN）I（MUL）即证。3、查验以下会集对于所指的线性运算是否组成实数域上的线性空间：1）次数等于n（n1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2）设A是一个n×n实数矩阵，A的实系数多项式f（A）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；3）全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；4）平面上不平行于某一向量所成的会集，对于向量的加法和数量乘法；5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：（a1，b1）（ab（a1a2，b1b2a1a2）（kk1）2k。（a，b1）=（ka1，kb1+a1126）平面上全体向量，对于平时的加法和如下定义的数量乘法：koa0；7）会集与加法同6），数量乘法定义为：koaa；8）全体正实数r，加法与数量乘法定义为：ab

ab，

koa

ak；解1）否。因两个

n次多项式相加不一定是

n次多项式，比方xn5）（xn2）3。2）令V={f（A）|f（x）为实数多项式，A是n×n实矩阵}因为f（x）+g（x）=h（x），kf（x）=d（x）所以f（A）+g（A）=h（A），kf（A）=d（A）由于矩阵对加法和数量乘法知足线性空间定义的

1~8条，故

v组成线性空间。3）矩阵的加法和和数量乘法知足线性空间定义的

1~8

条性质，只要证明对称矩阵（上三角矩阵，反对称矩阵）对加法与数量乘法是否封闭即可。下面仅对反对称矩阵证明：当A，B为反对称矩阵，

k为任意一实数时，有（A+B）=A+B=-A-B=-（A+B），A+B仍是反对称矩阵。（KA）KAK（A）（KA），所以kA是反对称矩阵。故反对称矩阵的全体组成线性空间。4）否。比方以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个会集。5）不难考据，对于加法，交换律，结合律知足，（0，0）是零元，任意（a，b）的负元是2（-a，a-b）。对于数乘：。（，）（。，。1(11)a2)(a,b),1ab1a1b2k.(l.(a,b)k.(la,lbl(l1)a2)(kla,k[lbl(l1)a2]k(k1)(la)2)222(kla,k[lbl(l1)a2]k(k1)(la)2)(kla,kl(kl1)a2k(k1)(la)2)2222(kla,kl(kl1)a2klb)(kl).(a,b),2(kl).(a,b)[(kl)a,(kl)(kl1)a2(kl)b]2k.(a,b)l.(a,b)(ka,kbk(k1)a2)(la,lbl(l1)a222(kala,kbk(k1)a2k(k1)a2kla2)22[(kl)a,(k1)(kl1)a2(kl)b].2即(kl)(a,b)k(a,b)l(a,b)。k[(a1,b1)(a2,b2)]k(a1a2,b1b2a1a2)＝[k(a1a2),k(b1b2a1a2k(k1)(a1a2)2)]，2k(a1,b1)k(a2,b2)k(k＝(ka1,kb12(ka1ka2,kb1＝(k(a1a2),k(b1＝(k(a1a2),k(b1

1)a12)(ka2,kb2k(k1)a22)2k(k1)a12kb2k(k1)a22k2a1a2)22b2a1a2)k(k1)a12k(k1)a22k2a1a2ka1a2)22b2a1a2)k(k1)(a12a22)2)，2即k(a1,b1)(a2,b2)k(a1,b1)k(a2,b2)，所以，所给会集组成线性空间。6）否，因为7）否，因为

10.。(kl),kl2,所以(kl)(k)(l)，所给会集不知足线性空间的定义。8）显然所给会集对定义的加法和数量乘法都是封闭的，知足i)ababbaba;ii)(ab)c(ab)cabca(bc)a(bc);iii)1是零元：a1a1a;iv)a的负元是1:a1a11,且1a1;aaaav)1aa1a;vi)(ko(loa))ko(al)(al)kalkakl(kl)oa;vii)(kl)oklkl(la);aaaa(ka)viii)kob)ko(ab)(ab)kakbk(koa)(kob).(a所以，所给会集R组成线性空间。4在线性空间中，证明：1）k002）k( )kk。证1）k0k(( ))kk( )kk(1)(k(k))00。2）因为k( )kk( )k,所以k( )kk。证明：在实函数空间中，1，cos2t,cos2t式线性相关的。证因为cos2t2cos2t1，所以1，cos2t,cos2t式线性相关的。6如果f1(x),f2(x),f3(x)是线性空间P[x]中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互素，那么他们线性无关。证若有不全为零的数k1,k2,k3使k1f1(x)k2f2(x)k3f3(x)0，不妨设k10,则f1(x)k2f2(x)k3f3(x)，这说明f2(x),f3(x)的公因式也是f1(x)k1k1的因式，即f1(x),f2(x),f3(x)有特别数的公因式，这与三者互素矛盾，所以f1(x),f2(x),f3(x)线性无关。7在P4中，求向量在基1,2,3,4下的坐标。设1）1(1,1,1,1),2(1,1,1,1),3(1,1,11),4(1,1,1,1),(1,2,1,1)；2）1(1,1,0,1),2(2,1,3,1),3(1,1,0,0),4(0,1,1,1),(0,0,0,1)。abcd1解1）设有线性关系a1b2c3d4abcd2，则bcd，a1abcd1在基1,2,5111可得3,4下的坐标为a,b,c,d。4444a2bc0a1b2c3dabcd02）设有线性关系4，则d0，3babd1可得在基1,2,3,4下的坐标为a1,b0,c1,d0。8求下列线性空间的维数于一组基：1）数域P上的空间Pnn；2）Pnn中全体对称（反对称，上三角）矩阵作成的数域P上的空间；3)第3题8)中的空间;4)实数域上由矩阵A的全10013i体实系数多项式组成的空间,其中A=00,。0022解1)Pnn的基是Eij}(i,j1,2,...,n),且dim(Pnn)n2。1...2)i)令Fij，即aijaji1,其余元素均为零,则...1F11,...,F1n,F22,...,F2n,...,Fnn是对称矩阵所成线性空间Mn的一组基,所以Mn是n(n1)维的。21...ii)令Gij，即aijaji1,(ij),其余元素均为零,则...1G12,...,G1n,G23,...,G2n,...,Gn1,n是反对称矩阵所成线性空间Sn的一组基,所以它是n(n1)维的。2,所以它是n(n1)iii)E11,...,E1n,E22,...,E2n,...,Enn是上三角阵所成线性空间的一组基2维的。3)任一不等于1的正实数都是线性无关的向量,比方取2，且对于任一正实数a,可经2线性表出，即.a(log2a)2,所以此线性空间是一维的，且2是它的一组基。13i1,n3q4)因为31,所以n,n3q1，2,2,n3q211E,n3q于是A22,A31E，而AnA,n3q1。1A2,n3q29.在P4中,求由基1,，2,3,4,到基1,2,3,4的过渡矩阵,并求向量在所指基下的坐标。设12134

1,0,0,010,1,0,0，20,0,1,030,0,0,14

2,1,1,10,3,1,0，5,3,2,16,6,1,3x1,x2,x3,x4在1,2,3,4下的坐标；1

1,2,101

2,1,0,12

2

1,1,1,1，2

0,1,2,2，34

1,2,1,131,1,0,14

2,1,1,21,3,1,21,0,0,0在1,2,3,4,下的坐标；11,1,1,11321,1,1,1，21,1,1,13341,1,1,14

1,1,0,12,1,3,1，1,1,0,00,1,1,11,0,0,1在1,2,3,4下的坐标；20561（1,2,3,4）=（1,2,3,13361,2,3,4）A解4,）12=（111013这里A即为所求由基1,2,3,4,到1,2,3,4的过渡矩阵，将上式两边右乘得1，得（1,2,3,4）=（1,2,3,4）1，于是x1x1（1,2,3,4x2=（1,2,3,1x2，）4）x3x3x4x4所以在基下的坐标为x11x2，x3x44111193911423这里1=279327。100233117262793272令e1(1,0,0,0),e2(0,1,0,0),e3(0,0,1,0),e4(0,0,0,1)则1111（1,2,3,4）=(e12121,e2,e3,e4)11=(e1,e2,e3,e4)A，1001112021（1,2,3,4）=(e1,e2,e3,e41113=(e1,e2,e3,e4)B，)21101222将(e1,e2,e3,e4)=（1,2,3,4）A1代入上式,得（1,2,3,4）=（1,2,3,4）A1B，这里336513131313100151341101113131313,A1=B=，23410111131313130010327813131313且A1B即为所求由基1,2,3,4,到基1,2,3,4的过渡矩阵，进而有111,0,0,0=(e1,e2,e3,e4)0=（1,2,3,4）A1000003135=（1,2,3,4）13，213313所以在1,2,3,4下的坐标为3,5,2,3。131313133e1,e2,e3,e4同2，同理可得111112101111,B=1111A=111030111111110111111=11111,411111111则所求由1,2,3,4到1,2,3,4的过渡矩阵为3711442411131B=4424。13104441101444再令a1+b2+c3+d4，即111011,0,0,0a,b,c,d22131a,b,c,d10，31040111由上式可解得在下的坐标为1,2,3,4下的坐标为a,b,c,d13a1。2,4,2210．继第9题1）求一非零向量，它在基1,2,3,4与1,2,3,4下有相同的坐标。解设在两基下的坐标为x1,x2,x3,x4，则x1x1=（1,,3,4x2=（1,2,3,4）x2。2）x3x3x4x4又因为（1,2,3,4）=（1,2,3,4）所以x1x1x1x2x2（A-E）x2x3=A=0。x3x3x4x4x4又

205613362,3,4）A，112=（1,1101310562312316110，AE110,且1110110112于是只要令x4c,就有x12x23x36cx1x2x3c，x1x32c解此方程组得x1,x2,x3,x4=c,c,c,c(c为任意非零常数)，取c为某个非零常数c0，则所求为c01c02c03c04。11.证明：实数域作为它自己的线性空间与第3题8）中的空间同构。证因为它们都是实数域上的一维线性空间，故同构。12.设V1,V2都是线性空间V的子空间，且V1V2，证明：如果V1的维数与V2的维数相等，那么V1V2。证设dim(V1)=r，则由基的扩大定理，可找到V1的一组基a1,a2,ar,，因V1V2，且它们的唯数相等，故a1,a2,ar,，也是V2的一组基，所以V1=V2。13．APnn。1）证明：全体与可交换的矩阵组成的一个子空间，记做C（A）；2）当A=E时，求C（A）；123）当A=时，求C（A）的维数和一组基。n证1）设与A可交换的矩阵的会集记为C(A)。若B,D属于C(A)，可得A(B+D)=AB+AD=BA+DA=(B+D)A，故B+DC(A)。若k是一数，BC(A)，可得A（kB）=k(AB)=k(BA)=(kB)A，所以kBC(A)。故C(A)组成Pnn子空间。2）当A=E时，C（A）=Pnn。3）设与A可交换的矩阵为B=（bij），则B只能是对角矩阵，故维数为n,E11,E22,...Enn即为它的一组基。14.设求中全体与可交换的矩阵所成的子空间的维数和一组基。解若记100000A=010000ES，001311abc并设B=a1b1c1与A可交换，即AB=BA，则SB=BS。且由a2b2c2000abc000SB=000a1b1c1000，311a2b2c23aa1a23bb1b23cc1c2abc0003cccBS=a1b1c1000=3c1c1c1，a2b2c23113c2c2c2但是c1c0，又3aa1a23c2，3bb1b2c2即3c23aa1a2，c23bb1b2该方程组的系数矩阵的秩为2，所以解空间的维数为5。取自由未知量a,c2，并令b=1，其余为0，得c2=3,a=3;1令a1=1，其余为0，得c2=3,a=3令b1=1，其余为0，得c2=1,a=1;1令a2=1，其余为0，得c2=0,a=3令b2=1，其余为0，得c2=1,a=1;

;;则与A可交换的矩阵为ab0B=a1b10，a2b2c2其中,a,c2可经b,a1,a2,b1,b2表示,所求子空间的一组基为310000,003且维数为5。

1001001001003003001,010,0,000，00000110001115．如果c1ac2c30,且c1c30，证明：La,=L,。证由c1c30，知c10,所以a可,经线性表出，即,可经,线性表出，同理，,也可经,线性表出。故La,=L,。16．在P4中，求由下面向量组生成的子空间的基与维数。设a12,1,3,1a12,1,3,1a2(1,2,0,1)a2(1,1,3,1)1），a3(4,5,3,。a3(1,1,3,0)1)a4(1,1,1,1)a4(1,5,3,1)解1）a1,a2,a3,a4的一个极大线性无关组a1,a2,a4，因此a1,a2,a4为a1,a2,a3,a4的一组基，且的维数是3。2）a1,a2,a3,a4的一个极大线性无关组为a1,a2，故a1,a2是La1,a2,a3,a4的一组基，且维数为2。17．在P4中，由齐次方程组3x12x25x34x403x1x23x33x403x15x213x311x40确定的解空间的基与维数。解对系数矩阵作行初等变换，有32543254325431330387038735131103870000所以解空间的维数是2，它的一组基为a11,8,1,0，a22,7,0,1。939318.求由向量1,2生成的子空间与由向量1,2生成的子空间的交的基与维数，设a11,2,1,011）1,1,1,1a22a11,1,0,012）1,0,1,1a22a11,2,1,23）a21(3,1,1,1)a3(1,0,1,21)

2,1,0,11,；1,3,70,0,1,1；0,1,1,02,5,6,51,2,。7,3解1）设所求交向量k11k22l11l22，则有k11k22l11l220，k1k22l1l20即2k1k2l1l20，k1k23l20k2l17l2011211122111可算得D0，且2110，11031100117因此方程组的解空间维数为1，故友的维数也为1。任取一非零解(k1,k2,l1,l2)＝(1,4,.3,1)，得一组基142(5,2,3,4)，所以它们的交L)是一维的，就是其一组基。(2）设所求交向量k11k22l11l22，k1k20k1l20，则有k2l1l20k2l10因方程组的系数行列式不等于0，故方程组只有零解，即k1k2l1l20,进而交的维数为

0。3）设所求交向量为

k1

1

k2

2

l1

1

l2

2，k13k2k32l1l20即2k1k25l12l20，k1k2k36l17l202k1k2k35l13l201311由21020知解空间是一维的，因此交的维数是1。令l11,，可11172113得l20，因此交向量l11l221就是一组基。19．设V1与V2分别是齐次方程组x1x2...xn0,x1x2...xn1xn的解空间，证明：PnV1V2.证由于x1x2...xn0的解空间是你n－1维的，其基为1(1,1,0,...,0),2(1,0,1,...,0),...,n1(1,0,0,...,1)而由x1x2...xn1xn知其解空间是1维的，令xn1,则其基为(1,1,...,1).且1,2,...,n1,即为Pn的一组基，进而PnV1V2.又dim(Pn)dim(V1)dim(V2)，故PnVV2.。120．证明：如果VV1V2,V1V11V12,那么VV11V12V2。证由题设知VV11V12V2,因为VV1V2,所以dim(V)dim(V1)dim(V2)，又因为V1V11V12,所以dim(V1)dim(V11)dim(V12),故dim(V)dim(V11)dim(V12)dim(V2)，即证VV11V12V2。21.证明：每一个n维线性空间都可以表示成n个一维子空间的直和。证设1,2,...,n是n维线性空间V的一组基。显然L(1),L(2),...,L(n)都是V的一维子空间，且L(1)L(2)...L(n)L(1,2,...,n)＝V，又因为dim(L(1))dim(L(2))...dim(L(n))dim(V)，故VL(1)L(2)...L(n)。si122．证明：和Vi是直和的充分必要条件是ViVj{0}(i2,...,s)。i1j1i1证必要性是显然的。这是因为ViVjViVj{0}，所以j1j1i1ViVj{0}。j1s充分性设Vi不是直和，那么0向量还有一个分解012...s，i1其中jVj(j1,2,...,s)。在零分解式中，设最后一个不为0的向量是k(ks),则012...k1k，即12...k1k，k1k1因此kVj,kVk,，这与VkVj{0}矛盾，充分性得证。j1j1再给定了空间直角坐标系的三维空间中，所有自原点引出的向量天添上零向量组成一个三维线性空间R3。1）问所有终点都在一个平面上的向量是否为子空间2）设有过原点的三条直线，这三条直线上的全部向量分别成为三个子空间

L1,L2,L3,问L1

L2

,L1

L2

L3能组成哪些种类的子空间，试全部列举出来

;3）就用该三维空间的例子来说明，若

U,V,X,Y是子空间，知足

U+V＝X，X

Y，是否一定有

Y

YIU

YIV。解1）终点所在的平面是过原点的平面，那么所有这些向量组成二维子空间；但终点在但是原点的平面上的向量不组成子空间，因为对加法不封闭。L1L2；（1）直线l1与l2重合时，是L1L2一维子空间；（2）l1与l2不重合时，时L1L2二维子空间。L1L2L3：（1）l1,l2,l3重合时，L1L2L3组成一维子空间；（2）l1,l2,l3在同一平面上时，L1L2L3组成二维子空间；（3）l1,l2,l3不在同一平面上时，L1L2L3组成三维子空间。3）令过原点的两条不同直线

l1，l2分别组成一维子空间

U和

V，X＝U＋V是二维子空间，在

l1，l2决定的平面上，过原点的另一条不与

l1，l2相同的直线

l3组成一维子空间

Y，显然

Y

X,Y

U

{0},Y

V

{0},

因此

(Y

U)

(Y

V)

{0}

，故Y

(Y

U)

(Y

V)

并不成立。二．补充题参照解答1．1）证明：在P[x]n中，多项式fi(x1)...(xi1)(xi1)...(xn)（i＝1，2，，n）是一组基，其中1,2,...,n是互不相同的数；2)在1）中，取1,2,...,n是全体n次单位根，求由基1，x,...,xn1到基f1,f2,...,fn的过渡矩阵。证1）设k1f1k2f2...knfn0，将x1代入上式，得f2(1)f3(1)...fn(1)0,f1(1)0，于是k1＝0。同理，将x2,...,xn分别代入，可得k2k3...kn0，所以f1,f2,...,fn线性无关。而P[x]n是n维的，故f1,f2,...,fn是P[x]n的一组基。2）取1,2,...,n为全体单位根1,.2,...,n1,则f1xn11xx2...xn1，x1f2xn1n1n2xn3x2...xn2xn1，xxn12x...n1xn2xn1fnn1，x1n1n2...1n2n4...2故所求过渡矩阵为。1n2...n1111...12．设1,2,...,n是n维线性空间V的一组基，A是一个n×s矩阵，且(1,2,...,s)(1,2,...,n)A，证明：L(1,2,...,s)的维数等于A的秩。证只要证1,2,...,s的极大线性无关组所含向量的个数等于A的秩。设a11...a1r...a1sA，an1...anr...ans且rank(A)r,rmin(n,s)。不失一般性，可设A的前r列是极大线性无关组，由条件1a111a212...an1n得ra1r1a2r2...anrsa1s1a2s2...ans

，nn可证1,2,...,r组成1,2,...,r，r1,...,s的一个极大线性方程组。事实上，设k11k22...krr0，于是得(k1a11...kra1r)1(k1a21...kra2r)2...(k1an1...kra1r)n0，a11k1a12k2...a1rkr0因为1,2,...,n线性无关，所以，an1k1an2k2...anrkr0该方程组的系数矩阵秩为r,故方程组只有零解k1k2...kr0，于是1,2,...,r线性无关。其次可证：任意添一个向量j后，向量组1,2,...,r，j一定线性相关。事实上，a11k1a12k2...a1rkra1jkj0设k11k22...krrkjj0，于是，an1k1an2k2...anrkranjkj0其系数矩阵的秩为r<r+1，所以方程组有非零解k1,k2,...,kr,k,即1,2,...,r，j线性相关。因此，1,2,...,r是1,2,...,s的极大线性无关组。进而L(1,2,...,s)的维数等于A的秩，即等于rank(A)。3.设f(x1,x2,...,xn)是一秩为n的二次型，证明：有Rn的一个1(ns)维子空间V12（其中为符号差），使对任一(x1,x2,...,xn)V1，有f(x1,x2,...,xn)＝0。证设f(x1,x2,...,xn)的正惯性指数为p，负惯性指数为q，则p+q=n。于是存在可逆矩阵，C，Y＝CX，使f(x1,x2,...,xn)＝y12...yp2yp21...yp2q，p,当p时由1(ns)＝1(npq)＝qq,当p时。22q下面仅对p<q证明（pq时近似可证）。c11x1...c1nxny1将Y=CX展开，有方程组cp1x1...cpnxnyp，1,1x1...cp1,nxnypcp1cpq,1x1...cpq,nxnypq1(1,0,...,0,1,0,...,0)'2(0,1,...,0,0,1,...,0)'，任取(0,...,0,1,0,...,1,0,...,0)'则1,2,...,p线性无关，将1,2,...,p分别代入方程组，可解得1,2,...,p，使得C11,C22,...,Cpp，且1,2,...,p线性无关。下面证明p维子空间L（1,2,...,p）即为所要求得V1。事实上，对任意X0L（1,2,...,p），设X0k11k22...kpp，代入YCX得YCX0kC1kC2...kCpkk22...kpp(k1,k,...kp,k,k,...,k,0,...,0)'012p11212p故fX0AX0'k12...kp2k12...kp20即证V1=L（1,2,...,p）。4.设V1，V2是线性空间V的两个非平凡的子空间，证明：在V中存在，使V1,V2同时成立。证因为V1，V2非平凡的子空间，故存在V1，如果V2，则命题已证。设V2则一定存在V2，若V1，则命题也得证。下设V1，于是有V1,V2及1，V2，因而必有V1,V2。事实上，若1，又VVV1，则由V1是子空间，必有V1，这与假设矛盾，即证V1，同理可证V2，证毕。5．设V1,V2,...,Vs是线性空间V的s个非平凡的子空间，证明V中最少有一向量不属于V1,V2,...,Vs中的任何一个。证采用数学归纳法。当n=2时，由上题已证命题成立。现归纳假设命题对s-1个非平凡的子空间也成立，即在V中最少存在一个向量不属于V1,V2,...,Vs1中任意一个，如果Vs，则命题已证。若Vs，对P,向量kVs，且对P中s不同的数k1,k2,...,ks,对应的s个向量k(i1.2s)中不可能有两个向量同时属于某个非平凡的子空间Vi(i1.2s1).换句话说，上述S个向量k(i1.2s)中最少有一个向量不属于任意一个非平凡子空间Vi(i1.2s1)，记为0ki0，易见0也不属于Vs。即证命题对s个非平凡的子空间也成立。即证。第七章线性变换1．鉴识下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1）在线性空间V中，A,其中V是一固定的向量；2）在线性空间V中，A其中V是一固定的向量；3）在P3中，A(x1,x2,x3)(x12,x2x3,x32)；4）在P3中，A(x1,x2,x3)(2x1x2,x2x3,x1)；5）在P[x]中，Af(x)f(x1)；6）在P[x]中，Af(x)f(x0),其中x0P是一固定的数；7）把复数域上看作复数域上的线性空间，A。8）在Pnn中，AX=BXC其中B,CPnn是两个固定的矩阵.解1)当0时,是;当0时,不是。2)当0时,是;当0时,不是。3)不是.比方当(1,0,0),k2时,kA( )(2,0,0),A(k)(4,0,0),A(k)kA( )。4)是.因取(x1,x2,x3),(y1,y2,y3),有A()=A(x1y1,x2y2,x3y3)=(2x12y1x2y2,x2y2x3y3,x1y1)=(2x1x2,x2x3,x1)(2y1y2,y2y3,y1)=A+A，A(k)A(kx1,kx2,kx3)(2kx1kx2,kx2kx3,kx1)(2kx1kx2,kx2kx3,kx1)kA( )，故A是P3上的线性变换。5)是.因任取f(x)P[x],g(x)P[x],并令u(x)f(x)g(x)则A(f(x)g(x))=Au(x)=u(x1)=f(x1)g(x1)=Af(x)+A(g(x))，再令v(x)kf(x)则A(kf(x))A(v(x))v(x1)kf(x1)kA(f(x))，故A为P[x]上的线性变换。6)是.因任取f(x)P[x],g(x)P[x]则.A(f(x)g(x))=f(x0)g(x0)A(f(x))A(g(x))，A(kf(x))kf(x0)kA(f(x))。7)不是，比方取a=1,k=I，则A(ka)=-i,k(Aa)=i,A(ka)kA(a)。8)是，因任取二矩阵X,YPnn，则A(XY)B(XY)CBXCBYCAX+AY，A(kX)=B(kX)k(BXC)kAX，故A是Pnn上的线性变换。2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转90度的变换,以B表示绕oy轴向ox方向旋转90度的变换,以C表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90度的变换，证明：A4=B4=C4=E,ABBA,A2B2=B2A2，并查验(AB)2=A2B2是否成立。解任取一向量a=(x,y,z)，则有1)因为Aa=(x,-z,y),A2a=(x,-y,-z)，A3a=(x,z,-y),A4a=(x,y,z)，Ba=(z,y,-x),B2a=(-x,y,-z)，B3a=(-z,y,x),B4a=(x,y,z)，Ca=(-y,x,z),C2a=(-x,-y,z)，C3a=(y,-x,z),C4a=(x,y,z)，所以A4=B4=C4=E。因为AB(a)=A(z,y,-x)=(z,x,y)，BA(a)=B(x,-z,y)=(y,-z,-x)，所以ABBA。3)因为A2B2(a)=A2(-x,y,-z)=(-x,-y,z)，B2A2(a)=B2(x,-y,-z)=(-x,-y,z)，所以A2B2=B2A2。因为(AB)(a)=(AB)(AB(a))_=AB(z,x,y)=(y,z,x)，A2B2(a)=(-x,-y,z)，2所以(AB)2A2B2。3.在P[x]中，Af(x)f'(x),Bf(x)xf(x)，。证明:AB-BA=E证任取f(x)P[x]，则有(AB-BA)f(x)=ABf(x)-BAf(x)=A(xf(x))-B(f'(x))=f(x)xf;(x)-xf'(x)=f(x)所以AB-BA=E。4.设A,B是线性变换，如果AB-BA=E，证明：AkB-BAk=kAk1(k>1)。证采用数学归纳法。当k=2时2222，结论成立。AB-BA=(AB-ABA)+(ABA-BA)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2a归纳假设km时结论成立，即AmB-BAm=mAm1。则当km1时，有Am1B-BAm1=(Am1B-AmBA)+(AmBA-BAm1)=Am(AB-BA)+(AmB-BAm)A=AmE+mAm1A=(m1)Am。即km1时结论成立.故对一切k1结论成立。5.证明：可逆变换是双射。证设A是可逆变换，它的逆变换为A1。若ab，则必有AaAb，不然设Aa=Ab，两边左乘A1，有a=b，这与条件矛盾。其次，对任一向量b，必有a使Aa=b，事实上,令A1b=a即可。因此,A是一个双射。6.设1,2,,n是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换。证明：A是可逆变换当且仅当A1,A2,,An线性无关。证因A(1,2,,n)=(A1,A2,,An)=(1,2,,n)A，故A可逆的充要条件是矩阵A可逆，而矩阵A可逆的充要条件是A1,A2,,An线性无关，故A可逆的充要条件是A1,A2,,An线性无关.。7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵:1)第1题4)中变换A在基1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩阵；2)[o;1,2]是平面上一直角坐标系,A是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂直投影,B是平面上的向量对2的垂直投影，求A,B,AB在基1,2下的矩阵；3)在空间P[x]n中，设变换A为f(x)f(x1)f(x)，试求A在基i=x(x1)(x1(I=1,2,,n-1)下的矩阵A；i1)i!4)六个函数1=eaxcosbx,2=eaxsinbx，3=xeaxcosbx,4=xeaxsinbx，1=1x2eaxcosbx,1=1eaxx2sinbx，的所有实数线性组合组成实数域上一个六维线性空22间，求微分变换D在基i(i=1,2,,6)下的矩阵；1015)已知P3中线性变换A在基1=(-1,1,1),2=(1,0,-1),3=(0,1,1)下的矩阵是110，121求A在基1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩阵；6)在P3中，A定义如下：A1A2A3其中

(5,0,3)(0,1,6)，(5,1,9)123

(1,0,2)(0,1,1)，(3,1,0)求在基1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩阵；同上，求A在1,2,3下的矩阵。解1)A1=(2,0,1)=21+3，A2=(-1,1,0)=-1+2，A3=(0,1,0)=2，210故在基1,2，3下的矩阵为011。1002）取1=（1，0），2=（0，1），则A112，A111=1+2=1+2，112222故A在基1，2下的矩阵为A=22。1122又因为B1=0，B=2，所以B在基0021，2下的矩阵为B=，别的，（AB）2=A01（B2）=A211+12，=2201所以AB在基下的矩阵为AB=2。1，20123）因为1,x,x(x1),,x(x1)[x(n2)]0122!n1(n1)!，所以A