《经济数学》413-5（雷安平）教案 第8课 隐函数的导数与高阶导数

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课题隐函数的导数与高阶导数课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：（1）掌握隐函数求导的一般方法（2）掌握隐函数的对数求导法（3）掌握高阶导数的概念和求法思政育人目标：通过隐函数的导数和高阶导数的学习，锻炼学生的逻辑思维能力，培养严谨的科学态度和作风，提高自身科学素养。教学重难点教学重点：隐函数求导的一般方法教学难点：高阶导数的求法教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：课堂测验（10min）第2节课：课堂测验（15min）课堂小结（3min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤

（2min）【教师】使用文旌课堂APP进行签到【学生】按照老师要求签到培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解

（33min）【教师】讲解隐函数的导数一、一般方法对隐函数求导的一般方法是：方程的两边分别对求导数，同时将y看作是x的函数；若遇到y，利用复合函数的求导法则，先对y求导，再乘以y对x的导数，得到一个含有的方程，然后从方程里面解出．例1求由方程所确定的隐函数的导数．解把方程的两端对x求导得．由上式解出，便得隐函数的导数为．例2求由方程所确定的隐函数的导数．解方程两边同时对求导，得，因此隐函数的导数为．例3求曲线在点处的切线方程．解先求由所确定的隐函数的导数．因为是的函数，所以是的复合函数，方程两边同时对求导，得，即，解出，在点处，，故在处的切线方程为，即．二、对数求导法根据隐函数求导的一般方法，我们还可以得到一个简化求导运算的方法．它适用于由几个因子通过乘、除、乘方、开方所构成的比较复杂的函数（包括幂指函数）的求导．这个方法是先通过取对数，化乘除为加、减，化乘方、开方为乘积，然后利用隐函数求导的一般方法求导，因此称为对数求导法．例4求的导数．解等式两边取对数，得．两边求导，得，所以．例5求的导数．解两边取对数得．上式两边对x求导，得，所以．【学生】掌握隐函数的导数学习隐函数的导数，实现教学做一体化课堂测验

（10min）【教师】教师在文旌课堂APP或其他学习平台中发布测试的题目，并让学生进行测试【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题步骤【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课知识讲解

（25min）【教师】讲解高阶导数的概念和求法一、高阶导数的概念如果函数的导数仍是的可导函数，那么就称的导数为函数的二阶导数，记作或或，即或．相应地，把的导数称为函数的一阶导数．类似地，二阶导数的导数称为三阶导数，三阶导数的导数称为四阶导数，…，即函数的阶导数的导数称为阶导数，分别记作或或，二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数．二阶导数的物理意义：若某物体做变速直线运动，其运动方程为，则物体运动的速度是路程对时间的导数，即．若此时速度仍是时间的函数，那么可以求速度对时间的导数，用表示，即．在物理学中，称为加速度，也即物体运动的加速度是路程对时间的二阶导数．二、高阶导数的求法由于n阶导数是阶导数的导数，所以求高阶导数并不需要增加新的方法，只要逐阶求导，直到所要求的阶数即可，所以仍可用前面学过的求导方法来计算高阶导数．例1求函数的二阶导数．解，．例2求函数的二阶导数．解，．例3求下列函数的阶导数．（1）； （2）．解（1）因为，所以．（2）因为，所以．【学生】掌握高阶导数的概念和求法学习高阶导数的概念和求法，边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验

（15min）【教师】教师在文旌课堂APP或其他学习平台中发布测试的题目，并让学生进行测试【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题步骤【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象课堂小结

（3min）【教师】简要总结本节课的要点本节课上大家掌握了隐函数的求导方法和高阶导数的求法，难度较高，课后要多加练习，巩固知识。【学生】总结回顾知识点总结知识点，巩固印象作业布置（2min）【教师】布置课后作业：完成课后习题3-2【学生】完成课后作业通过完成作业巩固课上所