高考数学三轮冲刺卷：双曲线的基本量与方程（含答案）

高考数学三轮冲刺卷：双曲线的基本量与方程一、选择题（共20小题；）1.设P是双曲线x2a2−y29=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x−2y=0，F A.1 或 5 B.6 C.72.已知定点A，B且∣AB∣=4，动点P满足∣PA∣−∣PB∣=3，则∣PA∣的最小值是   A.12 B.32 C.73.设圆锥曲线T的两个焦点分别为F1,F2，若曲线T上存在点P满足P A.12或32 B.23或2 C.12或24.设双曲线x2a2− A.54 B.5 C.525.若双曲线y2a2− A.5 B.2 C.3 D.26.已知F1，F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1a,b>0的左、右焦点，l1，l A.3 B.5 C.14−24127.过双曲线x2−y23=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A A.433 B.23 C.8.k>3是方程x23−k A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件9.已知Mx0,y0是双曲线C:x22−y2=1 A.−33 C.−2210.已知双曲线x2a2−y2 A.x220−y2511.设F1，F2分别为双曲线x2a2−y2 A.2−1 B.2 C.2+112.已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120∘，则E的离心率为 A.5 B.2 C.3 D.213.已知双曲线C:x2a2−y216=1的两个焦点是F1，F2，点P在双曲线 A.4或16 B.7或13 C.7或16 D.4或1314.已知抛物线y2=4x的准线与双曲线x2a2−y2=1a>0 A.2 B.3 C.5 D.615.已知F1，F2是双曲线E:x2a2−y2b2=1的左、右焦点，点P为双曲线的右支上一点，满足∠P A.2 B.2+1 C.3 D.16.已知F1，F2是双曲线E：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，点M A.2 B.32 C.3 D.17.“mn＜0”是“方程m A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件18.过双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右顶点A A.2 B.3 C.5 D.1019.设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60∘的直线A1B1和A2B2，使A1 A.233,2 B.2320.已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0 A.y=±12x B.y=±2x C.二、填空题（共5小题；）21.双曲线4x2−9y2=36的焦点坐标是22.双曲线C：x24−y223.若双曲线x23−16y2p24.双曲线x29−y216=1的两个焦点为F1、F2，点P25.双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点三、解答题（共5小题；）26.设双曲线C：x2a2−y2=1（a>0）与直线l：x+y=127.已知双曲线C:x2a（1）求双曲线C的渐近线方程；（2）当a=1时，已知直线x−y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y28.已知椭圆y2a2+x2b2=1a>b>0的离心率为（1）求椭圆的方程；（2）求弦长∣AB∣．29.已知双曲线和椭圆中心均为原点，它们有相同的焦点F1−5,0，F25,0，并且它们的离心率30.已知点P2+1,2−2，点M3,1，圆（1）求过点P的圆C的切线方程．（2）求过点M的圆C的切线方程．答案1.C 【解析】提示：y=32x=3∣a∣x，所以2.C 【解析】点P在以A，B为焦点，2a=3的双曲线的一支上，所以∣PA∣的最小值为323.A 【解析】当曲线为椭圆时，e=F当曲线为双曲线时，e=F4.D 【解析】有一个公共点表示渐近线方程与抛物线方程联立后判别式为0．5.B 【解析】若双曲线y2a2−x2b2=1a>0,b>0的一条渐近线：所以c2=4a所以双曲线的离心率为e=c6.B 【解析】直线PM的方程为y=−bax+b2a，联立直线l2与直线PM得Pb27.D 8.A 【解析】当k>3时，3−k<0，k−1>0，此时方程x2反之，若方程x23−k+y2k−1=1故k>3是方程x29.A 【解析】如图，设MF1=m，MF2=n，则m−n=22由S△MF1当MF1⋅MF2<010.A 【解析】双曲线x2a2而渐近线与x+2y+5=0平行．故ba所以a=2b, ⋯⋯①又因为双曲线的一个焦点为−c,0，则−c+5=0，所以c=5，又c2=a由①②可求得a2=20，所以双曲线方程为x211.C 【解析】因为PF2=所以PF由双曲线的定义，得22所以ca12.D 【解析】设双曲线E的标准方程为x2a2−y不妨设点M在第一象限内，则易得M2a,又M点在双曲线E上，于是2a2a2所以e=1+13.A 【解析】因为c2=a所以c2因为离心率e=c所以c2故259所以a2因为a=9所以2a=6，由双曲线定义知PF所以PF2=16因为c−a=2，所以PF故PF2=1614.D 【解析】依题意知抛物线的准线x=−1，代入双曲线方程得y=±1−不妨设A−1,因为△FAB是等腰直角三角形，所以1−a解得：a=5所以c2所以e=c15.B 【解析】因为∠PF所以Pc,因为Q为y轴上一点，所以Q为PF所以Q0,所以QF即b4=4a因为b2所以c2两边同时除以a2得e所以e−12所以e=1±2因为e>1，所以e=2故选B．16.D 【解析】因为MF1与x轴垂直，所以设MF1=m由双曲线的定义得3m−m=2a，即m=a，在直角三角形MF2F1中，即2a2=17.C 【解析】若“mn＜0”，则m，n均不为0，方程mx若“mn＜0”，1m，1故“mn＜0”是"方程反之，若mx2+ny2=1表示双曲线，则其方程可化为x2故“mn＜0”是“方程综合可得：“mn＜0”是"方程18.C 【解析】由题可知，过点A斜率为−1的直线的方程为y=−x+a，与渐近线y=bax交于点Ba2因为AB=12BC，所以yByC19.A 【解析】先考虑焦点在x轴上的双曲线，由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x轴（或y轴）对称，又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30∘且小于等于60∘，即tan30e所以43<e焦点在y轴上的双曲线与焦点在x轴上的双曲线的开口宽窄要求完全相同，所以离心率的范围一致．20.C 【解析】抛物线y2=4x的焦点为F1,0，因为P在抛物线上且PF=5所以PF1=72所以b=32，渐近线方程为21.−13,0，13,0，22.52，【解析】由双曲线方程可得a=2，b=1，c=5，离心率为e=ca23.4【解析】注意双曲线中c=3+24.16【解析】双曲线x29−y216=1，a=3，b=4设PF1与PF2中较小的值为因为PF1⊥PF2由△PF1F2为直角三角形，知点P到25.2【解析】不妨令B为双曲线的右焦点，A在第一象限，则双曲线如图所示．因为四边形OABC为正方形，∣OA∣=2，所以c=∣OB∣=22，∠AOB=因为直线OA是渐近线，方程为y=b所以ba=tan又因为a2所以a=2．26.由C与l相交于两个不同点，故知方程组x2a21−所以1−a2≠0,4a双曲线的离心率e=1+a2a=所以e>62，且e≠2．即离心率27.（1）由题意得e=c所以c2所以b2=c所以双曲线C的渐近线方程为y=±b

（2）由（1）得当a=1时，b2=2，双曲线C的方程为设A，B两点的坐标分别为x1,y1，x2由x2−y22=1,x−y+m=0所以x0=x因为点Mx0,所以m2所以m=±1．28.（1）因为椭圆y2a2+x所以e=c解得a=4，b=2，所以椭圆方程为y2

（2）联立y216+x2设Ax1,则x1+x由弦长公式可得∣AB∣=1+29.因为2x所以Δ=4解得e1=1所以椭圆离心率为e1=1设椭圆方程为x2a2+y所以a=10，b2故椭圆方程为x2设双曲线方程为x2m2−y所以m=103，故双曲线方程为x230.（1）由题意得圆心C1,2，半径r=2因为2+1−1所以点P在圆C上．又kPC所以切线的斜率k=−1所以过点P的圆C的切线方程是y−2−2=1×

（2）因为3−12所以