高考数学三轮冲刺卷：离散型随机变量（含答案）

高考数学三轮冲刺卷：离散型随机变量一、选择题（共20小题；）1.若随机变量X的概率分布如下表所示，则表中a的值为  X A.1 B.12 C.132.已知某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述1次试验成功的次数，则PX=0等于 A.0 B.12 C.133.若随机变量ξ∼Bn,0.6，且Eξ=3，则 A.2×0.44 B.2×0.454.甲射击时命中目标的概率为0.75，乙射击时命中目标的概率为23，当两人同时射击同一目标时，该目标被击中的概率为 A.12 B.1 C.11125.在比赛中，如果运动员甲胜运动员乙的概率是23，那么在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是 A.40243 B.80243 C.1106.一个盒子里装有相同大小的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于C221 A.P0<X≤2 B. C.PX=1 D.7.一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为   A.2.44 B.3.376 C.2.376 D.2.48.在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是   A.0.4,1 B.0,0.4 C.0,0.6 D.0.6,19.设随机变量ξ的分布列为Pξ=i=a13i， A.1 B.913 C.111310.一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则PX=12等于 A.C12103810511.已知随机变量ξ，η满足η=−2ξ+5，若Eξ=3，D A.Eη=−1，Dη=8 C.Eη=3，Dη=212.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4 A.p1=p4=0.1， C.p1=p4=0.2，13.一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X的均值为   A.2.44 B.3.376 C.2.376 D.2.414.某群体中每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，PX=4<P A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.315.现有语文、数学课本共7本（其中语文课本不少于2本），从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是57，则语文课本的本数为 A.2本 B.3本 C.4本 D.5本16.某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验；若试验失败，则再重新试验一次；若试验3次均失败，则放弃试验，若此人每次试验成功的概率为23，则此人试验次数ξ的数学期望是 A.43 B.139 C.517.函数y=fx的图象如图所示，在区间a,b上可找到n（n≥2且n∈N）个不同的数x1，x2，…，xn，使得f A.3,4 B.2,3,4 C.3,4,5 D.2,318.已知a，b，c为实数，随机变量X，Y的分布列如下：XY若EY=PY=−1，随机变量Z满足Z=XY，其中随机变量X，Y相互独立，则 A.−34,1 B.−119.在下列各函数中，最小值等于2的函数是   A.y=x+1x C.y=x220.某地一条主于道上有46盏路灯，相邻两盏路灯之间间隔30米，有关部门想在所有相邻路灯间都新添一盏，假设工人每次在两盏灯之间添新路灯是随机，并且每次添新路灯相互独立．新添路灯与左右相邻路灯的间隔都不小于10米是符合要求的，记符合要求的新添路灯数量为ζ，则Dζ= A.30 B.15 C.10 D.5二、填空题（共5小题；）21.设离散型随机变量X的分布列为X若离散型随机变量Y满足Y=2X+1，则EY=

；DY22.设3次独立重复试验中，事件A发生的概率相等，若已知A至少发生一次的概率等于1927，则事件A在一次试验中发生的概率是

23.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他连续罚球3次，得到的分数X的期望为

．24.设离散型随机变量ξ的可能取值为1，2，3，4，Pξ=k=ak+bk=1,2,3,4，又ξ的数学期望Eξ=325.一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则Pξ=0=

；Eξ三、解答题（共5小题；）26.某科研团队硏发了一款快速检测某种疾病的试剂盒．为了解该试剂盒检测的准确性，质检部门从某地区（人数众多）随机选取了80位患者和100位非患者，用该试剂盒分别对他们进行检测，结果如下：患者的检测结果非患者的检测结果（1）从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率；（2）从该地区患者中随机选取3人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，以X表示检测结果为阳性的患者人数，利用（Ⅰ）中所得概率，求X的分布列和数学期望；（3）假设该地区有10万人，患病率为0.01．从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次．若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过0.5?并说明理由27.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如表所示．一次购物量已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%．（1）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望．（2）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率（注：将频率视为概率）．28.A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： A组：10，11，12，13，14，15，16 B组：12，13，15，16，17，14，a 假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随几各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．（1）求甲的康复时间不少于14天的概率．（2）如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率．（3）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等?（结论不要求证明）29.已知某种动物服用某种特药一次后当天出现A症状的概率为13（1）如果出现A症状即停止试验，求试验至多持续一个用药周期的概率；（2）如果在一个用药周期内出现3次或4次A症状，则这个用药周期结束后终止试验，试验至多持续两个周期．设药物试验持续的用药周期数为η，求η的期望．30.从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，（1）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．答案1.D 2.C 【解析】“X=0”表示试验失败，“X=1”表示试验成功．设失败率为p，则成功率为2p，则p+2p=1，得p=13.C 【解析】利用二项分布期望公式求得n=5，利用独立重复试验概率公式：Pξ=14.C 【解析】所求概率P=1−1−0.755.B 【解析】根据每次比赛中，运动员甲胜运动员乙的概率是23，故在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是6.B 【解析】本题相当于至多取出1个白球的概率，即取到1个白球或没有取到白球的概率．7.C 【解析】由题意知ξ=0,1,2,3，因为当ξ=0时，表示前三次都没射中，第四次还要射击，但结果不计，所以Pξ=0因为当ξ=1时，表示前两次都没射中，第三次射中，所以Pξ=1因为当ξ=2时，表示第一次没射中，第二次射中，所以Pξ=2因为当ξ=3时，表示第一次射中，所以Pξ=3所以Eξ=2.376．8.A 【解析】设事件A发生的概率为p，则C41p9.D 【解析】因为随机变量ξ的分布列为Pξ=i=a1所以a13+10.D 【解析】“X=12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此PX=1211.A 【解析】因为η=−2ξ+5，所以Eη=−2Eξ又Eξ=3，Dξ=2，所以12.B 【解析】ExDx同理选项B：Ex=2.5，选项C：Ex=2.5，选项D：Ex=2.5，13.C 14.B 【解析】某群体中每位成员使用移动支付的概率都为p，可看做是独立重复事件，该群体10位成员的支付情况满足X∼B10,p其中DX解得p=0.4或0.6，且p>0.5，故15.C 【解析】设语文课本有m本，任取2本书中的语文课本数为X，则X服从参数为N=7，M=m，n=2的超几何分布，其中X的所有可能取值为0，1，2，且PX=k由题意，得PX≤1所以m2解得m=4或m=−3．即7本书中语文课本有4本．16.B 【解析】试验次数ξ的可能取值为1，2，3，Pξ=1=23，所以ξ的分布列为ξ所以Eξ17.B 【解析】设fx1x1=fx2x2=⋯=fxnxn=k，则y=fx的图象与直线y=kx的交点的坐标满足题中等式．由题图易知交点可以有0个，1个，18.B 【解析】由已知得，EY=c−a，所以c−a=a，即c=2a，又a+b+c=1，故b=1−a−c=1−3a∈0,1所以a∈0,随机变量Z的可能取值为−1，0，1，PZ=−1PZ=0PZ=1可得随机变量Z的分布列为Z所以EZ19.D 【解析】对于选项A：当x<0时，A显然不满足条件；选项B：y=cosx+1当0<x<π2时，对于C：不能保证x2对于D：因为ex>0，所以故只有D满足条件．20.C 【解析】因为工人每次在两盏灯之间添新路灯是随机，并且每次添新路灯相互独立，所以符合要求的新添路灯数量为ζ服从二项分布，因为相邻两盏路灯之间间隔30米，且新添路灯与左右相邻路灯的间隔都不小于10米是符合要求的，所以每次添路灯符合要求的概率p=1由题可知要添路灯45盏路灯，则ζ∼B45,所以Dζ21.5.8，8.9622.123.2.124.125.13，【解析】因为ξ=0对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，所以Pξ=0随机变量ξ=0,1,2，Pξ=1Pξ=2所以Eξ26.（1）由题意知，80位患者中有76位用该试剂盒检测一次，结果为阳性．所以从该地区患者中随机选取一位，用该试剂盒检测一次，结果为阳性的概率佔计为7680

（2）由题意可知X−Bn,p，其中n=3，p=X的所有可能的取值为0，1，2，3．PX=0PX=1PX=2PX=3所以X的分布列为X故X的数学期望EX

（3）此人患该疾病的概率未超过0.5，理由如下：由题意得，如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，那么结果为阳性的人数为99000×1100+1000×若某人检测结果为阳性，那么他患该疾病的概率为9501940所以此人患该疾病的概率未超过0.5．27.（1）由已知得25+y+10=55，x+30=45，所以x=15，y=20．该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得PX=1=15100=320，PX的分布列如表所示．X的数学期望为EX

（2）记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，Xii=1,2为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则由于各顾客的结算相互独立，且X1，X2的分布列都与PA故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为98028.（1）设“甲康复的时间不少于14天”为事件A．由“从A，B两组随机地各选1人”，可认为基本事件数为7×7=49，其中满足“甲康复的时间不少于14天”的基本事件数为3×7=21，所以PA

（