递推数列的解法

课题：一阶线性递归数列的解法南雅中学刘德志例1a1=1，an1=2an1，则a64=。例2已知a1=3，an=an13，则a2005=。例3已知a1=－3，a2=3，且an2=an1-an，则a100=和s100=。知识再现习题:3-60099d=-3-3,3,6,3,-3,-6,-3,3,6,3,-3,-6,……1,3,7,15,31……反思一:对于一些由递推关系给出的数列，可以通过先研究前n项的结构与项数n的内在联系，用不完全归纳法对an作出猜想，然后，再想办法给予证明，这个方法是求数列通项的一种基本方法。在解答选择题和填空题时,这种由特殊到一般大胆猜想的方法非常有效一算二看三联想归纳猜测妙又快递推公式:如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做递推公式由递推公式和初始条件确定的数列叫递推数列或递归数列知识再现树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗在一段间隔（如下图），例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。温馨回忆:斐波那契是欧洲中世纪颇具影响的数学家，公元1170年生于意大利的比萨，早年曾就读于阿尔及尔东部的小港布日，后来又以商人的身份游历了埃及、希腊、叙利亚等地，掌握了当时较为先进的阿拉伯算术、代数和古希腊的数学成果，经过整理研究和发展之后，把它们介绍到欧洲。

公元1202年，斐波那契的传世之作《算法之术》出版。在这部名著中，斐波那契提出了以下饶有趣味的问题：

了解一点数学史吧假定一对刚出生的小兔一个月后就能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔。一年内没有发生死亡。问一对刚出生的兔子，一年内能繁殖成多少对兔子？世界末日问题:相传在印度佛教圣地贝拿勒斯圣庙里,安放着一个黄铜板,板上插着三根宝石针,其中只有一根从下到上放着由大到小的64片金片称为梵塔,昼夜都有一个值班的僧侣按下列规则移动金片:一次只能移动一片,且小片永远在大片的上面当64片金片都从一根移动到另一根宝石针上时,世界将在一声霹雳中毁灭若按太阳系的寿命约为200亿年计算,问是否真有”一声霹雳声”之时吗设每秒移动一次温馨提示事实上,若设按规则把n片全部移到另一根宝石针上共需次即n秒钟,因为为了移动n片,必须先按规则把上面的n-1片移到第二根宝石针上,这需要次,再把最下面的大片移到第三根宝石针上,最后通过次把第二根宝石针上的n-1片移到第三根宝石针上,这样就有关系式是例1a1=1，an1=2an1，则a64=。如果改成解答题呢1,3,7,15,31……解因为问题推广:设数列{}满足=A,=求形如上述的递推公式所确定的数列称为一阶线性递推数列其中类比猜想:关键是如何求常数待定系数法不动点法千金难买回头望,请大家回头望一望待定系数法不动点法方法巩固练习反思二:对于一阶线性递推数列，可利用不动点法或待定系数法对递推公式进行变形两边都减去同一个常数，从中构造出一个新