高考中的数列问题

高考专题突破三高考中的数列问题大一轮复习讲义命题点1数列与数学文化例112019·乐山模拟《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月按30天计共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织多少尺布？等差数列、等比数列基本量的运算多维探究题型一√解析由题意可知每天织布的多少构成等差数列，其中第一天为首项a1＝5，一月按30天计可得S30＝390，从第2天起每天比前一天多织的即为公差d22020·北京市房山区模拟《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺，蒲生日自半，莞生日自倍问几何日而长等？意思是今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍，若蒲、莞长度相等，则所需时间为结果精确到01，参考数据：lg2≈03010，lg3≈04771A22天B24天C26天D28天√莞的长度组成等比数列{bn}，其b1＝1，公比为2，其前n项和为Bn∴蒲、莞长度相等大约需要26天故选C对于数学文化中所涉及到的数列模型，解题时应认真审题，从问题背景中提取相关信息并分析归纳，然后构造恰当的数列模型，再根据等差或等比数列的有关公式求解作答，必要时要进行检验思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练112019·湖南省长沙市第一中学模拟《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为315尺，前九个节气日影长之和为855尺，则芒种日影长为A15尺B25尺C35尺D45尺√解析设这十二个节气日影长依次成等差数列{an}，Sn是其前n项和，由题意知a1＋a4＋a7＝3a4＝315，所以a4＝105，所以公差d＝a5－a4＝－1，所以a12＝a5＋7d＝25，故选B2中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马”马主曰：“我马食半牛”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还粟√解析因为5斗＝50升，设羊、马、牛的主人应偿还的量分别为a1，a2，a3，由题意可知其构成了公比为2的等比数列，且S3＝50，故选D命题点2等差数列、等比数列的交汇例2记Sn为等比数列{an}2＝2，S3＝－61求{an}的通项公式；解设{an}的公比为q解得q＝－2，a1＝－2故{an}的通项公式为an＝－2n2求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想和通项公式、前n项和公式求解求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练22019·桂林模拟已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S1＋1，S3，S4成等差数列，且a1，a2，a5成等比数列1求数列{an}的通项公式；解设数列{an}的公差为d2若S4，S6，Sn成等比数列，求n及此等比数列的公比解由1知an＝2n－1，∴Sn＝n2，∴S4＝16，S6＝36，数列的求和题型二多维探究命题点1分组求和与并项求和例32019·湖南省张家界慈利县期中已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b41求{an}的通项公式；解设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，所以bn＝b2qn－2＝3·3n－2＝3n－1，又由a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，所以数列{an}的通项公式为an＝a1＋n－1×d＝1＋2n－1＝2n－12设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和解由题意知cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1，则数列{cn}的前n项和为＋1＋3＋9＋…＋3n－1命题点2错位相减法求和例4记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＋a4＝6，S4＝101求数列{an}的通项公式；解设等差数列{an}的公差为d，由a2＋a4＝6，S4＝10，故所求等差数列{an}的通项公式为an＝n2令bn＝an·2nn∈N*，求数列{bn}的前n项和Tn解依题意，bn＝an·2n＝n·2n，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n－1·2n－1＋n·2n，又2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n－1·2n＋n·2n＋1，两式相减得－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－1＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝1－n·2n＋1－2，∴Tn＝n－1·2n＋1＋2命题点3裂项相消法求和例52020·三明质检已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且t＋1Sn＝＋3an＋2t∈R1求数列{an}的通项公式；所以an＋an－1an－an－1－3＝0，因为an>0，所以an－an－1＝3，又因为a1＝1，所以{an}是首项为1，公差为3的等差数列，所以an＝3n－2n∈N*解因为bn＋1－bn＝an＋1，b1＝1，所以bn－bn－1＝ann≥2，n∈N*，所以当n≥2时，bn＝bn－bn－1＋bn－1－bn－2＋…＋b2－b1＋b11一般求数列的通项往往要构造数列，此时可从要证的结论出发，这是很重要的解题信息2根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的求和方法有错位相减法、分组转化法、裂项相消法等思维升华SIWEISHENGHUA②求数列{an}的通项公式与前n项和Sn22019·天津市南开区模拟已知数列{an}的前n项和Sn＝－an－＋2n∈N*，数列{bn}满足bn＝2nan①求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；化为2nan＝2n－1an－1＋1，∵bn＝2nan，∴bn＝bn－1＋1，即当n≥2时，bn－bn－1＝1，又b1＝2a1＝1，∴数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列∵n∈N*，∴n的最大值为4数列的综合问题答题模板例10分2019·全国Ⅱ已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－41证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；规范解答证明∵4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4∴4an＋1＋bn＋1＝2an＋bn，∵a1＋b1＝1＋0＝1≠0，∵4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4，∴4an＋1－bn＋1＝4an－bn＋8，∴an＋1－bn＋1－an－bn＝2为常数，又∵a1－b1＝1－0＝1，∴{an－bn}是以1为首项，2为公差的等差数列2求{an}和{bn}的通项公式规范解答答题模板DATIMUBAN第一步：根据定义法、等差等比中项法、通项公式法等判定数列为等差等比数列；第二步：由等差等比数列基本知识求通项，或者由递推公式求通项；第三步：根据和的表达式或通项的特征，选择合适的方法分组转化法、错位相减法、裂项相消法求和；第四步：反思解题过程，检验易错点、规范解题步骤12345课时精练基础保分练12020·山东模拟在①b1＋b3＝a2，②a4＝b4，③S5＝－25这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求的值；若不存在，说明理由设等差数列{an}的前n项和为Sn，{bn}是等比数列，__________，b1＝a5，b2＝3，b5＝－81，是否存在，使得S>S＋1且S＋1<S＋2注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分12345解因为在等比数列{bn}中，b2＝3，b5＝－81，所以其公比q＝－3，从而bn＝b2－3n－2＝3×－3n－2，从而a5＝b1＝－1若存在，使得S>S＋1，即S>S＋a＋1，从而a＋1<0；同理，若使S＋1<S＋2，即S＋1<S＋1＋a＋2，从而a＋2>012345若选①：由b1＋b3＝a2，得a2＝－1－9＝－10，所以an＝3n－16，当＝4时满足a5<0且a6>0成立；若选②：由a4＝b4＝27且a5＝－1，所以数列{an}为递减数列，故不存在a＋1<0，且a＋2>0；解得a3＝－5，从而an＝2n－11，所以当＝4时，能使a5<0，a6>0成立22019·重庆西南大学附属中学月考已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}1＝b1＝3，a4＝b2，S4－T2＝121求数列{an}与{bn}的通项公式；解由a1＝b1，a4＝b2，设等差数列{an}的公差为d，则a2＋a3＝2a1＋3d＝6＋3d＝12，所以d＝2所以an＝3＋2n－1＝2n＋1，设等比数列{bn}的公比为q，由题意知b2＝a4＝9，即b2＝b1q＝3q＝9，所以q＝＝3n则S4－T2＝a1＋a2＋a3＋a4－b1＋b2＝a2＋a3＝12，123452求数列{an＋bn}的前n项和12345解an＋bn＝2n＋1＋3n，所以{an＋bn}的前n项和为a1＋a2＋…＋an＋b1＋b2＋…＋bn＝3＋5＋…＋2n＋1＋3＋32＋…＋3n1234532019·天津市南开区模拟数列{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且a5＝3a2，S7＝14a2＋71求数列{an}的通项公式；解设等差数列{an}的公差是d由a5＝3a2得d＝2a1， ①由S7＝14a2＋7得d＝a1＋1， ②由①②解得a1＝1，d＝2所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1123452设数列{an＋bn}是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{bnan＋bn}的前n项和Tn解由数列{an＋bn}是首项为1，公比为2的等比数列，得an＋bn＝2n－1，即2n－1＋bn＝2n－1所以bn＝2n－1－2n＋1，所以bnan＋bn＝2n－1·2n－1－2n＋1＝4n－1－2n－12n－1，Qn＝1·20＋3·21＋5·22＋…＋2n－3·2n－2＋2n－1·2n－1， ③则2Qn＝1·21＋3·22＋5·23＋…＋2n－3·2n－1＋2n－1·2n， ④③－④得－Qn＝1·20＋2·21＋2·22＋…＋2·2n－1－2n－1·2n＝3－2n2n－3，所以Qn＝2n－3·2n＋3，12345技能提升练123451234512345拓展冲刺练1，a2，a3，a4的公比为q，等差数列b1，b2，b3，b4的公差为d，且q≠1，d≠＝ai＋bii＝1,2,3,41求证：数列c1，c2，c3不是等差数列；证明假设数列c1，c2，c3是等差数列，则2c2＝c1＋c3，即2a2＋b2＝a1＋b1＋a3＋b3因为b1，b2，b3是等差数列，所以2b2＝b1＋b3又因为a1，a2，a3是等比数列，所以＝a1a3所以a1＝a2＝a3，这与q≠1矛盾，从而假设不成立所以数列c1，c2，c3不是等差数列从而2a2＝a1＋a3123452设a1＝1，q＝1，c2，c3是等比数列，求b2关于d的函数关系式及其定义域；解因为a1＝1，q＝2，所以an＝2n－1因为＝c1c3，所以2＋b22＝1＋b2－d4＋b2＋d，即b2＝d2＋3d，由c2＝2＋b2≠0，得d2＋3d＋2≠0，所以d≠－1且d≠－