20182019学年高中数学第1部分第3章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其线性运算讲义含解析苏教版选修2120190416320

3．1.1空间向量及其线性运算 空间向量的概念春节期间，我国南方遭受了寒潮袭击，大风降温天气频发，已知某人某天骑车以akm/h的速度向东行驶，感到风是从正北方向吹来．问题：某人骑车的速度和风速是空间向量吗？提示：是．1．空间向量(1)定义：在空间中，既有大小又有方向的量，叫做空间向量．(2)表示方法：空间向量用有向线段表示，并且空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．2．相等向量凡是方向相同且长度相等的有向线段都表示同一向量或者相等向量. 空间向量的线性运算问题1：如何进行平面向量的加法、减法及数乘运算．提示：利用平行四边形法则、三角形法则等．问题2：平面向量的加法及数乘向量满足哪些运算律？提示：交换律、结合律、分配律．1．空间向量的加减运算和数乘运算＝＋＝a＋b，＝－＝a－b，＝λa(λ∈R)．2．空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(3)分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R). 共线向量及共线向量定理空间中有向量a，b，c(均为非零向量)．问题1：向量a与b共线的条件是什么？提示：存在惟一实数λ，使a＝λb.问题2：空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？提示：一定；不一定．1．共线向量或平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．向量a与b平行，记作a∥b.规定，零向量与任何向量共线．2．共线向量定理对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.1．空间向量的加法满足平行四边形和三角形法则．2．空间向量的数乘运算是线性运算的一种，结果仍是一个向量，方向取决于λ的正负，模为原向量模的|λ|倍．3．两向量共线，两向量所在的直线不一定共线，可能平行． 空间向量及有关概念[例1]下列四个命题：(1)所有的单位向量都相等；(2)方向相反的两个向量是相反向量；(3)若a、b满足|a|>|b|，且a、b同向，则a>b；(4)零向量没有方向．其中不正确的命题的序号为________．[思路点拨]根据空间向量的概念进行逐一判断，得出结论．[精解详析]对于(1)：单位向量是指长度等于1个单位长度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相等向量的定义，故(1)错；对于(2)：长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故(2)错；对于(3)：向量是不能比较大小的，故不正确；对于(4)：零向量有方向，只是没有确定的方向，故(4)错．[答案](1)(2)(3)(4)[一点通]1．因为空间任何两个向量都可以平移到同一平面上，故空间的两个向量间的关系都可以转化为平面向量来解决．2．对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以通过举出反例而排除或否定相关命题。1．下列命题中正确的个数是________．(1)如果a，b是两个单位向量，则|a|＝|b|；(2)两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；(3)同向且等长的有向线段表示同一向量；(4)空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内．解析：(1)、(3)、(4)正确，(2)不正确．答案：32．给出下列命题：①若空间向量a、b满足|a|＝|b|，则a＝b；②在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝；③若空间向量m、n、p满足m＝n，n＝p，则m＝p；④空间向量的模是一个正实数．其中假命题的个数是________．解析：①假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但①中向量a与b的方向不一定相同；②真命题．根据正方体的性质，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量与的方向相同，模也相等，应有＝；③真命题．向量的相等满足传递规律；④假命题．零向量的模为0，不是正实数．答案：2 空间向量的线性运算[例2]化简：(－)－(－)．[思路点拨]根据算式中的字母规律，可转化为加法运算，也可转化为减法运算．[精解详析]法一：将减法转化为加法进行化简．∵－＝＋，∴(－)－(－)＝＋－＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝＋＝0.法二：利用－＝，－＝化简．(－)－(－)＝－－＋＝(－)＋(－)＝＋＝0.法三：∵＝－，＝－，＝－，＝－，∴(－)－(－)＝(－－＋)－(－－＋)＝－－＋－＋＋－＝0.[一点通]1．计算两个空间向量的和或差时，与平面向量完全相同．运算中掌握好三角形法则和平行四边形法则是关键．2．计算三个或多个空间向量的和或差时，要注意以下几点：(1)三角形法则和平行四边形法则；(2)正确使用运算律；(3)有限个向量顺次首尾相连，则从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即表示这有限个向量的和向量．3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为的是________．(1)－－；(2)＋－；(3)－－；(4)－＋.解析：(1)－－＝－＝；(2)＋－＝＋＝；(3)－－＝－＝－＝≠；(4)－＋＝＋＋＝＋≠.故(1)(2)正确．答案：(1)(2)4.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则＝________.(用a、b、c表示)解析：＝＋＝＋(＋)＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c.答案：－a＋b＋c 空间向量的线性运算的应用[例3]如图，设A是△BCD所在平面外的一点，G是△BCD的重心．求证：＝(＋＋)．[思路点拨]利用空间向量的线性运算和共线向量定理，用、、表示，即可得出要证的结果．[精解详析]连结BG，延长后交CD于E，由G为△BCD的重心，知＝.∵E为CD的中点，∴＝＋.＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋[(－)＋(－)]＝(＋＋)．[一点通]1．在用已知向量表示未知向量的时候，要注意寻求两者之间的关系，通常可将未知向量进行一系列的转化，将其转化到与已知向量在同一四边形(更多的是平行四边形)或三角形中，从而可以建立已知向量与未知向量之间的关系式．2．在平行六面体中，要注意相等向量之间的代换，把一个向量用其他向量来表示，其实质就是把一个向量进行分解．5．在本例中，若E为CD的中点，且＝m＋n＋p，试求实数m，n，p的值．解：∵＝＝(＋)＝＝－＋＋＝m＋n＋p，∴m＝－，n＝，p＝.6.如图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形．证明：∵E，H分别是AB，AD的中点，∴＝，＝，则＝－＝－＝(－)＝＝(－)＝＝(－)＝，∴∥且||＝||≠||.又F不在直线EH上，∴四边形EFGH是梯形．在对向量进行加、减运算时，一定要运用其运算法则及运算律来化简，特别要注意的是将某些向量进行平移，将其转化到同一平面中去求解．解题时应结合已知和所求，观察图形，作一些必要的辅助线，联想相关的运算法则和公式等，就近表示出所需要的向量，再对照目标，将不符合目标要求的向量做出新的调整，如此反复，直到所有的向量都符合要求为止．[对应课时跟踪训练(十八)]1．有下列命题：(1)单位向量一定相等；(2)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；(3)相等的非零向量，若起点不同，则终点一定不同；(4)方向相反的两个单位向量互为相反向量；(5)起点相同且模相等的向量的终点的轨迹是圆．其中正确的命题的个数为________个．解析：(1)不正确，因为忽略方向；(2)方向相同，模相等的向量是相等向量，与起点无关，故(2)正确．(3)、(4)正确；(5)不正确，轨迹是个球面．答案：32．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则＝________.解析：如图，＝－＝－＝－－(－)＝－c－(a－b)＝－c－a＋b.答案：－c－a＋b3．在下列命题中，错误命题的序号是________．①若a≠λb，则a与b不共线(λ∈R)；②若a＝2b，则a与b共线；③若m＝a－2b＋3c，n＝－2a＋4b－6c，则m∥n；④若a＋b＋c＝0，则a＋b＝－c.解析：①错，当a≠0，b＝0，λ≠0时，a与b共线，②③④均正确．答案：①4．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k＝________.解析：∵＝＋＝(－e1－3e2)＋(2e1－e2)＝e1－4e2，又∵A，B，D三点共线，∴＝λ，即2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，∴∴k＝－8.答案：－85．如图，已知空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则＝________.(用向量a，b，c表示)解析：设G为BC的中点，连结EG，FG，则＝＋＝＋＝(a－2c)＋(5a＋6b－8c)＝3a＋3b－5c答案：3a＋3b－5c6．如图，在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E，F分别为边CD和AD的中点，试化简＋－，并在图中标出化简结果的向量．解：∵G是△BCD的重心，BE是CD边上的中线，∴＝.又∵＝(－)＝－＝－＝，∴＋－＝＋－＝(如图所示)．7．已知正四棱锥P－ABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点，求下列各式中x，y，z的值．(1)＝＋y＋z；(2)＝x＋y＋.解：如图：(1)∵＝－＝－(＋)＝－－，∴y＝z＝－.(2)∵O为AC的中点，Q为CD的中点，∴＋＝2，＋＝2，∴＝2－，＝2－，∴＝2－2＋，∴x＝2，y＝－2.