20182019学年高中数学第1章导数及其应用1.3导数在研究函数中的作用1.3.1单调性讲义含解析苏教版选修2220190416334

1.3.1单调性[对应学生用书P13]已知函数y1＝x，y2＝x2，y3＝.问题1：试作出上述三个函数的图象．提示：图象为问题2：试根据上述图象说明函数的单调性．提示：函数y1＝x在R上为增函数，y2＝x2在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，y3＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数．问题3：判断它们导函数的正负．提示：y1′＝1>0，y2′＝2x，当x>0时，y2′>0，当x<0时，y2′<0，y3′＝－<0.问题4：试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系．提示：当f′(x)>0时，f(x)为增函数，当f′(x)<0时，f(x)为减函数．一般地，在某区间上函数y＝f(x)的单调性与导数有如下关系：导数 函数的单调性f′(x)>0 f(x)为该区间上的增函数f′(x)<0 f(x)为该区间上的减函数上述结论可以用下图来直观理解．1．根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈现上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈现下降的状态，即函数单调递减．2．在某个区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间内为增(减)函数的充分条件，而不是充要条件．如果出现个别点使f′(x)＝0，不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间内的单调性．例如函数f(x)＝x3在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，但由f′(x)＝3x2知，f′(0)＝0，即并不是在定义域内的任意一点处都满足f′(x)>0. 判断(或证明)函数的单调性[例1]讨论下列函数的单调性．(1)y＝ax5－1(a>0)；(2)y＝ax－a－x(a>0且a≠1)．[思路点拨]先求出函数的导数，然后通过导数的符号来讨论函数的单调性．[精解详析](1)∵y′＝5ax4且a>0，∴y′≥0在R上恒成立，∴y＝ax5－1在R上为增函数．(2)y′＝axlna－a－xlna(－x)′＝(ax＋a－x)lna，当a>1时，lna>0，ax＋a－x>0，∴y′>0在R上恒成立，∴y＝ax－a－x在R上为增函数．当0<a<1时，lna<0，ax＋a－x>0，∴y′<0在R上恒成立，∴y＝ax－a－x在R上为减函数．[一点通]判定函数单调性的方法有两种：(1)利用函数的单调性的定义，在定义域内任取x1，x2，且x1<x2，通过判断f(x1)－f(x2)的符号确立函数的单调性．(2)利用导数判断可导函数f(x)在(a，b)内的单调性，步骤是：①求f′(x)，②确定f′(x)在(a，b)内的符号，③得出结论．1．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的有________．①y＝2－3x2；②y＝lnx；③y＝；④y＝sinx.解析：显然，函数y＝2－3x2在区间(－1,1)上是不单调的；函数y＝lnx的定义域为(0，＋∞)，不满足题目要求；对于函数y＝，其导数y′＝<0，且函数在区间(－1,1)上有意义，所以函数y＝在区间(－1,1)上是减函数；函数y＝sinx在上是增函数，所以函数y＝sinx在区间(－1,1)上也是增函数．答案：③2．证明：函数y＝lnx＋x在其定义域内为增函数．证明：显然函数的定义域为{x|x>0}，又f′(x)＝(lnx＋x)′＝＋1，当x>0时，f′(x)>1>0，故y＝lnx＋x在其定义域内为增函数．3．判断y＝ax3－1(a∈R)在(－∞，＋∞)上的单调性．解：因为y′＝3ax2，又x2≥0.(1)当a>0时，y′≥0，函数在R上是增函数；(2)当a<0时，y′≤0，函数在R上是减函数；(3)当a＝0时，y′＝0，函数在R上不具备单调性． 求函数的单调区间[例2]求下列函数的单调区间：(1)y＝x3－2x2＋x；(2)f(x)＝3x2－2lnx.[思路点拨]先确定函数的定义域，再对函数求导，然后求解不等式f′(x)>0，f′(x)<0，并与定义域求交集从而得到相应的单调区间．[精解详析](1)y′＝3x2－4x＋1.令3x2－4x＋1>0，解得x>1或x<，因此，y＝x3－2x2＋x的单调递增区间为(1，＋∞)，.再令3x2－4x＋1<0，解得<x<1.因此，y＝x3－2x2＋x的单调递减区间为.(2)函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝6x－＝2·.令f′(x)>0，即2·>0，解得－<x<0或x>.又∵x>0，∴x>.令f′(x)<0，即2·<0，解得x<－或0<x<，又∵x>0，∴0<x<.∴f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.[一点通](1)利用导数求函数f(x)的单调区间，实质上是转化为解不等式f′(x)>0或f′(x)<0，不等式的解集就是函数的单调区间．(2)如果函数的单调区间不止一个时，应用“及”、“和”等连接，而不能写成并集的形式．如本例(1)中的单调增区间不能写成∪(1，＋∞)．(3)要特别注意函数的定义域．4．若函数f(x)＝x2－2x－4lnx，则函数f(x)的单调递增区间为________．解析：由已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－2－＝，由f′(x)>0得x2－x－2>0，解得x<－1或x>2，又x>0，所以函数f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)5．函数f(x)＝xlnx的单调递增区间为________．解析：∵f(x)＝xlnx(x>0)，∴f′(x)＝lnx＋1，令f′(x)>0，则lnx＋1>0，即lnx>－1.∴x>，即函数f(x)＝xlnx的单调递增区间为.答案：6．已知函数f(x)＝(k为常数，e＝2.71828…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间．解：(1)由f(x)＝，得f′(x)＝，x∈(0，＋∞)，由于曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与x轴平行，所以f′(1)＝0，因此k＝1.(2)由(1)得f′(x)＝(1－x－xlnx)，x∈(0，＋∞)，令h(x)＝1－x－xlnx，x∈(0，＋∞)，当x∈(0,1)时，h(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0.又ex>0，所以当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． 已知函数的单调性求参数[例3]已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上是增函数，求a的取值范围．[思路点拨]解答本题可先对函数求导，再将问题转化为f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立问题求解．[精解详析]f′(x)＝2x－＝.要使f(x)在[2，＋∞)上是增函数，则f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立，即≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立．∵x2>0，∴2x3－a≥0，∴a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立．∴a≤(2x3)min.∵x∈[2，＋∞)，y＝2x3是增函数，∴(2x3)min＝16，∴a≤16.当a＝16时，f′(x)＝≥0(x∈[2，＋∞))恒成立．∴a的取值范围是a≤16.[一点通](1)已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法：①利用集合的包含关系处理：f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；②利用不等式的恒成立处理：f(x)在(a，b)上单调，则f′(x)≥0或f′(x)≤0在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立．(2)两个非常重要的转化：①m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max；②m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.7．函数f(x)＝x3－mx2＋m－2的单调递减区间为(0,3)，则m＝________.解析：∵f(x)＝x3－mx2＋m－2，∴f′(x)＝3x2－2mx.令f′(x)＝0，则x＝0或x＝m，又∵函数f(x)的单调递减区间为(0,3)，∴m＝3，即m＝.答案：8．若f(x)＝－(x－2)2＋blnx在(1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________．解析：由题意可知f′(x)＝－(x－2)＋≤0在(1，＋∞)上恒成立，即b≤x(x－2)在x∈(1，＋∞)上恒成立，由于φ(x)＝x(x－2)＝x2－2x(x∈(1，＋∞))的值域是(－1，＋∞)，故只要b≤－1即可．答案：(－∞，－1]9．已知函数f(x)＝2ax－，x∈(0,1]．若f(x)在(0,1]上是增函数，求a的取值范围．解：由已知得f′(x)＝2a＋，∵f(x)在(0,1]上单调递增，∴f′(x)≥0，即a≥－在x∈(0,1]上恒成立．而g(x)＝－在(0,1]上单调递增，∴g(x)max＝g(1)＝－1，∴a≥－1.当a＝－1时，f′(x)＝－2＋.对x∈(0,1]也有f′(x)≥0.∴a＝－1时，f(x)在(0,1]上为增函数．∴综上，f(x)在(0,1]上为增函数，a的取值范围是[－1，＋∞)．1．在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．2．一般利用使导数等于零的点来对函数划分单调区间．3．如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)为常数函数．[对应课时跟踪训练(六)]一、填空题1．函数y＝x3－x2－40x＋80的增区间为________，减区间为________．解析：y′＝3x2－2x－40＝(3x＋10)(x－4)，由y′>0，得x>4或x<－；由y′<0，得－<x<4.所以函数的单调增区间为和(4，＋∞)，单调减区间为.答案：和2．函数f(x)＝的单调递减区间是________．解析：令f′(x)＝<0，解得0<x<e，又因为函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，所以函数f(x)＝的单调递减区间是(0,1)，(1，e)．答案：(0,1)，(1，e)3．函数y＝x2－lnx的单调减区间为________．解析：y′＝x－，由y′<0，得x<－1或0<x<1.又∵x>0，∴0<x<1.即函数的单调减区间为(0,1)．答案：(0,1)4.(浙江高考改编)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是________．解析：由函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图象自左至右是先增后减，可知函数y＝f(x)图象的切线的斜率自左至右先增大后减小．答案：②5．已知函数f(x)为定义在(0，＋∞)上的可导函数，且f(x)>xf′(x)．则不等式x2f－f(x)<0的解集为________．解析：令φ(x)＝，则φ′(x)＝<0.∴φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，又x2f<f(x)，∴xf<.即<，∴φ<φ(x)．故>x.又∵x>0，∴0<x<1.答案：(0,1)二、解答题6．求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x4－2x2＋3；(2)f(x)＝sinx(1＋cosx)(0<x<π)．解：(1)函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝4x3－4x＝4x(x2－1)＝4x(x＋1)(x－1)．令f′(x)>0，则4x(x＋1)(x－1)>0，解得－1<x<0或x>1，所以函数f(x)的单调递增区间为(－1,0)和(1，＋∞)．令f′(x)<0，则4x(x＋1)(x－1)<0.得x<－1或0<x<1.所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(0,1)．(2)f′(x)＝cosx(1＋cosx)＋sinx(－sinx)＝2cos2x＋cosx－1＝(2cosx－1)(cosx＋1)．∵0<x<π，∴cosx＋1>0，由f′(x)>0得0<x<；由f′(x)<0得<x<π，故函数f(x)的单调增区间为，单调减区间为.7．设函数f(x)＝ax－2－lnx(a∈R)．(1)若f(x)在点(e，f(e))处的切线为x－ey－2e＝0，求a的值；