正弦定理知识点及题型总结

#6.4.3.2正弦定理一、概念1•正弦定理：设AABC的三个内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c，外接圆的半径为R,sinAsinBsinCsinAsinBsinC证明：

2•正弦定理的变形(1)a二2RsinA；b—2RsinB；c—2RsinC(2)sinA—；sinB—bsinC——2R2R；2R(3)sinA:sinB:sinC—a:b:cabca+b+c(4)———sinAsinBsinCsinA+sinB+sinCbsinAcsinA”asinBcsinBbsinCasinC(5)a——b—-—■c——sinBsinCsinAsinCsinBsinA3•三角形的面积公式：设AABC的角A,B,C所对的边长分别为a,b,c，则AABC的面积S=—ah=—bh=丄ch(其中h,h,h分别为边a,b,c上的高)AABC2a2b2cabc=—absinC=—bcsinA=—casinB222a2sinBsinCb2sinAsinCc2sinAsinB2sinA2sin2sinA2sinB2sinC=2R2sinAsinBsinC(其中R是AABC的外接圆半径)abc=—r(a+b+c)(其中r是AABC的内切圆半径)^21|—"—"~—=-^i(ABAC)2-(AB・AC)2=、】P(P-a)(p-b)(p-c)(海伦公式)(其中p为半周长p="+等°)2特别地，若设点A(x,y),B(x,y)，则S=xy-xy|1122AOAB2I<2^114•三角形解的个数AABC中，已知a,b和A时，三角形的解得情况如下:A为锐角A为钝角图形zcAVrAb关系式a<bsinAa—bsinAbsinA<a<ba>ba>b解的个数无解一解两解一解一解

例1•证明角平分线定理：例1•证明角平分线定理：AABC中，AD是角内A或其外角的平分线，则ABACBDCD题型一已知两角和一边，解三角形例2.在AABC中，已知A=15o，B=45o，c=3+、.：'3，解这个三角形小结：已知三角形的两角及一边，解三角形的步骤:先由内角和定理求出第三个角；再用正弦定理另外两边.跟踪训练：在AABC中，已知A=300，C=1050，a=10，解这个三角形题型二已知两边和其中一边的对角，解三角形例2.在AABC中，已知B=300，b=</2，c=2，解这个三角形小结：（1）已知三角形的两边及一边所对的角，解三角形的步骤：解法1:①先由正弦定理求另外一边所对的角（注意大边对大角）；再用内角和定理求第三个角；由正弦定理求第三边.解法2：①由已知角的余弦定理得到第三边的方程，解出第三边（注意大角对大边）再用余弦定理或正弦定理求出第二个角；用内角和定理求第三个角.跟踪训练：在AABC中，已知a=3，b=丫2，B=45o，解这个三角形题型三判断三角形解得个数例3.在AABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c，若a=3，b=4，A=300，则此三角形（）A.有一解B.有两解C.无解D.不确定跟踪训练1•在AABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c，若b=2，c=4，B=6Oo，则此三角形（）A.有一解B.有两解C.无解D.不确定跟踪训练2•在AABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c，若a二18,b二20,A=15Oo，则此三角形（）A.有一解B.有两解C.无解D.不确定

跟踪训练3•在AABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c，根据下列条件，判断三角形解得情况，其中正确的有①a=8，b=16，A=30o，有一个解；②b=18，c=20，B=60o，有两个解③a=5，c=2，A=90。，无解；④a=30，b=25，A=150。，有一个解；题型四判断三角形的形状tanAa2例4.AABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c，若=厂，试判断三角形的形状tanBb2小结：根据已知条件判断三角形形状，通常有两种思路：（1）化边为角：根据正弦定理把已知条件中的边角混合关系化为角的关系，再根据三角恒等变换化简，进而确定三角形的形状（2）化角为边：根据正弦定理和余弦定理把已知条件中的边角混合关系化为边的关系，再根据代数运算化简，进而确定三角形的形状跟踪训练1.AABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c，若bcosC+ccosB二asinA，试判断三角形的形状小结：三角形的射影定理：AABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c，则a二bcosC+ccosB，b二acosC+ccosA，c二acosB+bcosA注:bcosC-ccosB=注:bcosC-ccosB=一acosC-ccosA=acosB-bcosA=a2-b2跟踪训练2.AABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若c-acosB=(2a一b)cosA,试判断三角形的形状总结：三角形中常见的结论：设AABC的角A,B,C所对的边长分别为a,b,c，贝V三角形的内角和定理：A+B+C=兀三角形的大边对大角，大角对大边(3)锐角三角形的任何一个内角的正弦都大于其余角的余弦平行四边形的性质：平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和中线长定理：设AABC的边a,b,c上的中线分别为AD,BE,CF，贝y111.AD=2(b2+c2)-a2,BE=2(a2+c2)-b2,CF=2(a2+b2)-c2^2^2^2ABBD6)角平分线定理：AABC中，AD是角A或其外角的平分线，则=冷6)ACCD7)(1)7)(1)sin(A+B)=,cos(A+B)=,tan(A+B)=.A+B.A+B

sin=2A+B，cos=2A+B，tan=28)sin(A-B)oA=BOAABC8)兀sin2A=sin2BoA=B或A+B=—oAABC为等腰或直角三角形sinA>sinBoa>boA>BocosA<cosB11)三角形中的射影定理：a=bcosC+ccosB，b=acosC+ccosA，c=acosB+bcosA注:bcosC-ccosB=，acosC-ccosA=，acosB-bcosA=—abc2Sa+b—c亠a+b+cRtAABC的内切圆半径r=aabc=，旁切圆半径r'=a+b+c22tanAtanB>1oAABC为锐角三角形；tanAtanB=1nAABC为直角三角形；tanAtanB<1oAABC为锐角三角形；(14)若sin2A+sin2B+sin2C<2，则AABC为钝角三角形若sin2A+sin2B+sin2C=2，则AABC为直角三角形若sin2A+sin2B+sin2C>2,则AABC为锐角三角形15)兀若a,b,c成等差数列，则①sinA,smB,smC也成等差数列；②0<B<■—16)兀若a,b,c成等比数列，则0<B<—AABC中的恒等式ABC(17)r一=4sinsinsin=cosA+cosB+cosC-1R222sinA+sinB+sinC=4coscoscos—222ABcsinA+sinB-sinC=4sinsincos—222sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC⑤cos