滤波器组调研报告

滤波器组调研汇报近年来，滤波器组技术在语音编码、图像变换、通信信号处理、雷达等方面得到了广泛应用。虽然滤波器组技术在不一样的应用场所有着不一样的构造，但其基本原理都是通过度析滤波器将输入信号从频域分解为子带信号。经处理后通过综合滤波器将子带信号合成为原信号。滤波器组的研究已经受到了人们的广泛重视。

子带信号处理从提出概念到今天大概30年的历史，期间经历了如下几种阶段：

（1）提出概念阶段

滤波器组的研究最早来源于20实际70年代，重要应用于多速采样，减少计算复杂度以及减少传播数据率和存储单元的规定。开始受到人们的关注时期是在1980年，提出了两通道正交镜像滤波器组（QuadratureMirrorFilter,简称）。由于子带滤波器中存在分析/综合滤波器，上下采样器，因此子带重建信号一般存在三种失真：幅度失真，相位失真和混叠失真。一般存在混叠失真的滤波器组是线性周期时变系统，而完全消除混叠失真的系统是线性时不变系统。假如滤波器组的输出是纯延时的，则称为精确重建系统。

（2）基本理论发展的初步阶段

在1986年，Smith和Barnwell提出的共轭正交滤波器组初次实现了精确重建。在1986年由Vetterli和在1987年由Vaidyanathan分别独立研究了滤波器组的精确重建条件，并将两通道子带延伸到子带。他们引入了多相位分量分析滤波器组的措施使得滤波器组的设计和分析大大简化，从而推进了这一学科的发展。尤其是Vaidyanathan，他和他的研究组提出了无损系统的晶格构造，用于设计精确重建的正交滤波器组，可以实现功率互补的滤波器组，简化了滤波器的优化设计。这些极大地推进了滤波器组的理论和应用的发展。

（3）丰富完善理论阶段

20世纪80年代末到90年代中期，小波分析研究成为热点。小波的多辨别分析理论研究表明，满足一定正则条件的滤波器组可以迭代计算出小波，Mallat提出了双尺度方程以及塔式分解算法，这些成果将滤波器组和小波紧密联络在一起，使得滤波器组与小波理论及设计有了非常紧密的联络。众学者开始重视运用滤波器组设计小波，以及滤波器组自身理论的研究。在此期间，众人公认的最有代表性的人物是VaidyanathanP.P.，他系统地提出了通道正交滤波器组的理论，他将当时的研究成果汇集成册，成为当时将从事此领域研究者的必读之书。

按照滤波器组所具有的特点，滤波器组提成如下几类：

（1）带均匀滤波器组

自从引入多相位分量分析滤波器组后，许多学者开始了在这方面的研究。余弦调制带滤波器组的出现是一次重要飞跃。得出了精确重建条件并用格形构造进行了实现。大大简化了带滤波器组的设计并且出现了类似的迅速算法，即迅速离散余弦变换。本文也将重要简介余弦调制滤波器组的研究和设计。用调制的措施实现带滤波器组的措施得到广泛的应用。其中突出的设计措施有：非余弦任意正交调制的带滤波器组，扩展高斯函数的余弦调制滤波器组，用调制的带滤波器组等。

（2）线性相位滤波器组

在某些应用中但愿滤波器组是线性相位的，因此线性相位的滤波器构成为了人们研究的热点之一。线性相位一般是通过滤波器实现的，因此由滤波器做原型滤波器的滤波器得到了广泛的研究。自从1993年，通道线性相位正交滤波器组理论诞生后来，余弦调制滤波器组被延伸到线性相位滤波器组领域，从而大大简化了线性相位滤波器组的设计，后来提出的用矩阵分解的措施设计线性相位的两通道滤波器组使得设计愈加简洁。而后研究的任意长度任意通道的线性相位滤波器组的理论、构造、及设计措施更具一般性。

（3）过采样滤波器组

当采样因子不不小于通道数时，称为过采样滤波器组。与临界采样滤波器组相比，它具有如下长处：（1）增长了设计的自由度，精确重建条件比较轻易满足。（2）增长了系统抗噪声能力。（3）可以设计任意时延的滤波器组。（4）以便设计线性相位滤波器组。

现今，滤波器组的应用已经得到了人们的广泛关注。

在滤波器组的某些应用中在规定滤波器组可以实现精确重建的同步，每一种滤波器具有线性相位特性。但一般滤波器组有些无法实现线性相位的条件，有些虽具有线性相位却不能精确重建，有些又对原型滤波器的阶数有所限制，虽然可以实现精确重建和线性相位这两个条件，但其低通原型滤波器却不使线性相位的（即不是有限序列滤波器）。尚有一部分滤波器组能满足以上条件却不是余弦调制的。余弦调制滤波器组技术可以实现精确重建和线性相位的完美结合，而其低通滤波器也是有限序列的。在精确重建和计算复杂度之间有着良好的折衷性能。同步，由于余弦调制滤波器组有很高的实现效率和很低的资源消耗，因此它得到了广泛的应用。

余弦调试滤波器组可以体现为如下的形式：

其中和分别为分析和综合滤波器。而则为低通原型滤波器。可以看出分析/综合滤波器都是通过对原型滤波器的余弦调制来实现的。这使余弦调制滤波器组具有鲜明的特点。首先，分析滤波器组和综合滤波器组是通过恰当的调制手段优化一种或两个原型滤波器产生的，使整个系统的实现更为高效；此外，整个系统的设计和优化可集中到设计和优化一种原型滤波器上。

故设计和优化低通原型滤波器是设计余弦调制滤波器组的关键。在过去的几十年里，人们对于原型滤波器的研究发展了众多的设计措施。其中的Parks-McClellan的Chebshev近似设计措施，由于其广泛合用性和通用的设计程序，倍受人们的青睐。Parks-McClellan措施是基于最小最大误差判据，它使得设计的滤波器响应与期望滤波器响应之间的最大误差最小化，不过忽视了误差能量。在许多应用领域，阻带能量最小化是至关重要的。如在多速率信号处理中，常用窄带滤波器组将宽带信号分解成一组窄带信号，这就规定所设计的窄带滤波器具有较小的阻带能量，以减少阻带频率的泄漏信号对有用信号的干扰。同步，一般此类算法包括了较费时的矩阵求逆运算或复杂的迭代计算，从而增长了滤波器设计的复杂性，尤其是在设计高阶滤波器时所需计算量往往很大。最小二乘设计法是减小阻带能量的一种有效的设计途径。但基于最小二乘设计法滤波器常常会出现Gibbs效应，即在某些频率点上阻带增益很大。这对克制出目前这些频率点上的干扰信号是极其不利的。

由此可见：虽然余弦调制滤波器组的理论研究已经相对成熟，但在实际操作时很难找到完整的设计算法，其低通原型滤波器组的设计成为应用的瓶颈。因此，展开对余弦调制滤波器组的低通原型滤波器的多种优化设计算法的研究，借此完善对余弦调制滤波器组的研究，具有非常重要的理论和实际应用价值。

近年来,滤波器组技术在语音编码、图像变换、通信信号处理、雷达等方面得到了广泛应用。虽然滤波器组技术在不一样的应用场所有着不一样的构造，但其基本原理都是通过度析滤波器将输入信号从频域分解为子带信号。经处理后通过综合滤波器将子带信号合成为原信号。

在诸多实际应用中，人们但愿对信号进行分析时，在不一样的时频段有不一样的辨别率，因此规定滤波器组中的滤波器所占有的带宽是非均匀的。许多学者研究了非均匀滤波器组的理论和设计措施。Koilpillai等研究了非均匀滤波器组的精确重建条件，Cox提出合并均匀滤波器组实现非均匀滤波器组的思想，但当时由于没有出现精确重建的带均匀滤波器组的设计措施，他所设计的非均匀滤波器组是近似精确重建的。而后的一段时间里，人们研制出了共轭正交滤波器组，从而初次实现了精确重建。共轭正交滤波器组是基于均匀滤波器组的理论而实现的。但很显然，共轭正交滤波器组有其致命的缺陷：虽然它实现了精确重建和线性相位，但其各自通道滤波器却是非线性相位的（即其序列是的）。近年来，余弦调制滤波器组得到广泛关注，它具有易于设计和实现复杂度低两个重要特点。在设计方面，仅需设计其低通原型滤波器。实现上，可以通过一组两通道无损格形滤波器和离散余弦/正弦变换迅速实现。经典地，尽管带精确重建余弦调制滤波器组的原型滤波器是线性相位的，但它的各子带分析、综合滤波器以及与滤波器组对应的带小波不具有线性相位特性。通过容许两个子带滤波器占有相似的频带，人们提出了带精确重建均匀余弦调制滤波器组，其中低通原型滤波器和各子带滤波器均是线性相位的，这一问题迎刃而解。余弦调制滤波器组可以通过格形构造（格形滤波器组的思绪就是将多相位矩阵分解成为一系列级联的块矩阵，并且在分解的同步，用条件来约束的形式，从而从构造上保证了滤波器组的特性）进行精确重建，并同步具有线性相位的原型滤波器，由此简化了线性相位滤波器组的设计。

余弦调制滤波器组的出目前这一领域内可以说是一种重大的突破，其技术将在可以预见的未来越发成熟，得到更大的发展和应用。

就理论而言，原型滤波器的一般设计可由如下公式表达：

其中低通原型滤波器的傅立叶变换。

而具有精确重建条件的原型滤波器又可以表到达如下形式：

其中为阻带截止频率。

由此可见：余弦调制滤波器组的低通原型滤波器的设计就是基于以上的体现式而建立的。

20世纪90年代初，Koilpillai和Vaidyanathan就余弦调制滤波器组精确重建的充要条件提出了一种格形实现。的分析/综合滤波器组都是由一种具有线性相位特性的原型滤波器经余弦调制而得到的滤波器。其精确重建性可由格形构造保证,虽然格形系数量化也可重建，因而具有很好的稳健性。伴随多速率滤波器组和调制滤波器组的精确重建理论的建立，精确重建的已成为一种最佳滤波器组。然而这种格形滤波器组的耦合系数是通过最小化原型滤波器的阻带能量来求得的。但它的目的函数是优化参数的高度非线性函数，由于这是一种严重非线性优化问题，求解非常困难；此外，Koilpillai和Vaidyanathan采用Kaiser窗措施直接设计高阻带衰减的原型滤波器，这是一种单参数的优化措施，其最优参数是通过在一定区间内所有搜索(而不是迭代)得到的，因而计算效率较低，故运用此措施难以设计出具有高阻带衰减的精确重建(一般阻带衰减在-40左右)。而Nguyen通过直接优化原型滤波器的系数使阻带衰减到达-100左右，该措施采用的是有约束的多参数非线性优化，因而计算非常复杂。Creusere和Mitra提出了一种单参数的优化措施，直接设计具有很高阻带衰减的原型滤波器。当增长时，该措施的运算量明显增长。

而对于本课题来说，意在研究余弦调制滤波器组的原型低通滤波器组的设计方案。这一课题在当今学术界也正受到广泛的关注。如上所述，一般有格形法，Parks-McClellan措施，Kaiser窗措施，正交镜像法，最小平方迫近法，最佳一致迫近法，多相位分解法等等。尚有运用黄金分割和牛顿迭代的措施处理非线性约束优化极值问题的。这些措施都是在余弦调制滤波器组的原型低通滤波器组的研究中比较先进的措施，从某种程度上讲，它们也代表了这一研究方向的发展趋势。众所周知，余弦调制滤波器组的分析滤波器和综合滤波器都是由一种具有线性相位特性的原型滤波器经余弦调制而得到的滤波器。伴随多速率滤波器组和调制滤波器组的精确重建理论的建立，精确重建余弦调制滤波器组(PR-CMFB)逐渐成为了一种最佳滤波器组〔1～3〕。根据滤波器组的多相表达措施和精确重建理论，业已证明此类滤波器组的原型滤波器的2M个多相元素可以归类为M个功率补对，且每个功率补对都可以用两通道无损格形滤波器组来实现〔3～5〕。然而这种格形滤波器组的耦合系数是通过最小化原型滤波器的阻带能量来求得的。由于这是一种严重非线性优化问题，一般很难求解，故难以设计出具有高阻带衰减的精确重建余弦调制滤波器组。近几年针对该问题，许多学者都进行了广泛深入的研究，获得了众多研究成果〔6～11〕。通过直接将原型滤波器系数作为优化变量，本文将这一设计问题转化为带二次型约束的最小二乘(QCLS)优化问题〔8，11〕，并且其约束矩阵都是对称正定的矩阵。从而，可采用一种变参量的罚函数措施来有效求解该优化问题。采用这种设计措施我们获得了高阻带衰减的精确重建余弦调制滤波器组。下面我们总结了既有余弦调制QMF组的设计措施和本文措施的优缺陷：

既有PRCMFB设计措施的局限性：

(1)对初值十分敏感，需提供一种很好的初始近似解；

(2)所有措施都是迭代类措施，故计算较为复杂；

(3)所得优化解也许只是一种局部极小点；

(4)将严重非线性优化问题通过线性化处理转化为一种多变量线性优化问题来求解；

(5)代价函数φ是有关格形滤波器系数的严重非线性函数，因此很难获得具有高阻带衰减的余弦调制滤波器组。

本文所提出措施的长处：

(1)不必罚因子参数趋于无穷大即可获得问题的全局最佳解；

(2)由于该措施的代价函数是所设计的原型滤波器系数的凸函数，具有Lyapunov全局稳定和收敛特性，故无需提供初始近似解；

(3)解的精度可以通过合适控制罚因子参数的变化范围。换句话说，PR条件和阻带衰减之间的折衷可以通过罚因子参数来控制；

(4)直接将原型滤波器的冲激响应系数作为优化变量；

(5)通过合适重组原型滤波器的系数，该措施可很轻易推广到多维多通道QMF滤波器组状况各滤波器组的滤波器所占的带宽是均匀的，为二，MCM是

子带数)。在诸多应用方面，人们但愿对信号进行分析时，在不一样的时频段有不一样的

辨别率，因此规定滤波器组中的滤波器所占的带宽是非均匀的。本章我们要研究完全

重构非均匀滤波器组的设计问题。许多学者研究了非均匀滤波器组的理论和设计措施。

最初设计的非均匀滤波器组都是近似完全重构的[}52}}58}oVaidynathan}s'}首先研究了非均

匀滤波器组的完全重构条件，提出了非均匀正交镜像滤波器组(QMF)的构造。由于

均匀滤波器组的设计措施相对较为成熟，Cox}'Z}提出合并均匀滤波器组实现非均匀滤波

器组的思想，但当时由于没有出现完全重构的M带均匀滤波器组的设计措施，他所设

计的非均匀滤波器组是近似完全重构的。近年来出现了M带完全重构均匀余弦调制滤

波器组((CMFB)}29}oChan}6'}运用Cox的思想以及完全重构的cMFB设计措施，得到

了完全重构的非均匀滤波器组。

在合并的设计思想中，需要分别设计两个均匀滤波器组，通道数为M和m(m<M),

其中m通道的被称为合并滤波器组。假如合并滤波器组设计不妥，就会导致在分析(合

成)滤波器组的阻带内的频率特性有很大的起伏峰[63]。Chars的措施需要根据M通道的

均匀滤波器组的参数来设计合并滤波器组，设计的复杂度大，并且只讨论了M和m互

为质数的状况。我们将补充讨论当M和，非互为质数的状况，并将两种状况的设计方

法总结为具有双目的函数的优化问题，提出了一种新的混合优化算法来完毕双目的函

数优化，可以得到具有良好品质的非均匀滤波器组，消除了分析(合成)滤波器组的阻带

频段内的起伏峰。近年来，滤波器组技术在语音编码、图像变换、通信信号处理、雷达等方面得到了广泛应用。虽然滤波器组技术在不一样的应用场所有着不一样的构造，但其基本原理都是通过度析滤波器将输入信号从频域分解为子带信号。经处理后通过综合滤波器将子带信号合成为原信号。滤波器组的研究已经受到了人们的广泛重视。

子带信号处理从提出概念到今天大概30年的历史，期间经历了如下几种阶段：

（1）提出概念阶段

滤波器组的研究最早来源于20实际70年代，重要应用于多速采样，减少计算复杂度以及减少传播数据率和存储单元的规定。开始受到人们的关注时期是在1980年，提出了两通道正交镜像滤波器组（QuadratureMirrorFilter,简称）。由于子带滤波器中存在分析/综合滤波器，上下采样器，因此子带重建信号一般存在三种失真：幅度失真，相位失真和混叠失真。一般存在混叠失真的滤波器组是线性周期时变系统，而完全消除混叠失真的系统是线性时不变系统。假如滤波器组的输出是纯延时的，则称为精确重建系统。

（2）基本理论发展的初步阶段

在1986年，Smith和Barnwell提出的共轭正交滤波器组初次实现了精确重建。在1986年由Vetterli和在1987年由Vaidyanathan分别独立研究了滤波器组的精确重建条件，并将两通道子带延伸到子带。他们引入了多相位分量分析滤波器组的措施使得滤波器组的设计和分析大大简化，从而推进了这一学科的发展。尤其是Vaidyanathan，他和他的研究组提出了无损系统的晶格构造，用于设计精确重建的正交滤波器组，可以实现功率互补的滤波器组，简化了滤波器的优化设计。这些极大地推进了滤波器组的理论和应用的发展。

（3）丰富完善理论阶段

20世纪80年代末到90年代中期，小波分析研究成为热点。小波的多辨别分析理论研究表明，满足一定正则条件的滤波器组可以迭代计算出小波，Mallat提出了双尺度方程以及塔式分解算法，这些成果将滤波器组和小波紧密联络在一起，使得滤波器组与小波理论及设计有了非常紧密的联络。众学者开始重视运用滤波器组设计小波，以及滤波器组自身理论的研究。在此期间，众人公认的最有代表性的人物是VaidyanathanP.P.，他系统地提出了通道正交滤波器组的理论，他将当时的研究成果汇集成册，成为当时将从事此领域研究者的必读之书。

按照滤波器组所具有的特点，滤波器组提成如下几类：

（1）带均匀滤波器组

自从引入多相位分量分析滤波器组后，许多学者开始了在这方面的研究。余弦调制带滤波器组的出现是一次重要飞跃。得出了精确重建条件并用格形构造进行了实现。大大简化了带滤波器组的设计并且出现了类似的迅速算法，即迅速离散余弦变换。本文也将重要简介余弦调制滤波器组的研究和设计。用调制的措施实现带滤波器组的措施得到广泛的应用。其中突出的设计措施有：非余弦任意正交调制的带滤波器组，扩展高斯函数的余弦调制滤波器组，用调制的带滤波器组等。

（2）线性相位滤波器组

在某些应用中但愿滤波器组是线性相位的，因此线性相位的滤波器构成为了人们研究的热点之一。线性相位一般是通过滤波器实现的，因此由滤波器做原型滤波器的滤波器得到了广泛的研究。自从1993年，通道线性相位正交滤波器组理论诞生后来，余弦调制滤波器组被延伸到线性相位滤波器组领域，从而大大简化了线性相位滤波器组的设计，后来提出的用矩阵分解的措施设计线性相位的两通道滤波器组使得设计愈加简洁。而后研究的任意长度任意通道的线性相位滤波器组的理论、构造、及设计措施更具一般性。

（3）过采样滤波器组

当采样因子不不小于通道数时，称为过采样滤波器组。与临界采样滤波器组相比，它具有如下长处：（1）增长了设计的自由度，精确重建条件比较轻易满足。（2）增长了系统抗噪声能力。（3）可以设计任意时延的滤波器组。（4）以便设计线性相位滤波器组。

现今，滤波器组的应用已经得到了人们的广泛关注。

在滤波器组的某些应用中在规定滤波器组可以实现精确重建的同步，每一种滤波器具有线性相位特性。但一般滤波器组有些无法实现线性相位的条件，有些虽具有线性相位却不能精确重建，有些又对原型滤波器的阶数有所限制，虽然可以实现精确重建和线性相位这两个条件，但其低通原型滤波器却不使线性相位的（即不是有限序列滤波器）。尚有一部分滤波器组能满足以上条件却不是余弦调制的。余弦调制滤波器组技术可以实现精确重建和线性相位的完美结合，而其低通滤波器也是有限序列的。在精确重建和计算复杂度之间有着良好的折衷性能。同步，由于余弦调制滤波器组有很高的实现效率和很低的资源消耗，因此它得到了广泛的应用。

余弦调试滤波器组可以体现为如下的形式：

其中和分别为分析和综合滤波器。而则为低通原型滤波器。可以看出分析/综合滤波器都是通过对原型滤波器的余弦调制来实现的。这使余弦调制滤波器组具有鲜明的特点。首先，分析滤波器组和综合滤波器组是通过恰当的调制手段优化一种或两个原型滤波器产生的，使整个系统的实现更为高效；此外，整个系统的设计和优化可集中到设计和优化一种原型滤波器上。

故设计和优化低通原型滤波器是设计余弦调制滤波器组的关键。在过去的几十年里，人们对于原型滤波器的研究发展了众多的设计措施。其中的Parks-McClellan的Chebshev近似设计措施，由于其广泛合用性和通用的设计程序，倍受人们的青睐。Parks-McClellan措施是基于最小最大误差判据，它使得设计的滤波器响应与期望滤波器响应之间的最大误差最小化，不过忽视了误差能量。在许多应用领域，阻带能量最小化是至关重要的。如在多速率信号处理中，常用窄带滤波器组将宽带信号分解成一组窄带信号，这就规定所设计的窄带滤波器具有较小的阻带能量，以减少阻带频率的泄漏信号对有用信号的干扰。同步，一般此类算法包括了较费时的矩阵求逆运算或复杂的迭代计算，从而增长了滤波器设计的复杂性，尤其是在设计高阶滤波器时所需计算量往往很大。最小二乘设计法是减小阻带能量的一种有效的设计途径。但基于最小二乘设计法滤波器常常会出现Gibbs效应，即在某些频率点上阻带增益很大。这对克制出目前这些频率点上的干扰信号是极其不利的。

由此可见：虽然余弦调制滤波器组的理论研究已经相对成熟，但在实际操作时很难找到完整的设计算法，其低通原型滤波器组的设计成为应用的瓶颈。因此，展开对余弦调制滤波器组的低通原型滤波器的多种优化设计算法的研究，借此完善对余弦调制滤波器组的研究，具有非常重要的理论和实际应用价值。

近年来,滤波器组技术在语音编码、图像变换、通信信号处理、雷达等方面得到了广泛应用。虽然滤波器组技术在不一样的应用场所有着不一样的构造，但其基本原理都是通过度析滤波器将输入信号从频域分解为子带信号。经处理后通过综合滤波器将子带信号合成为原信号。

在诸多实际应用中，人们但愿对信号进行分析时，在不一样的时频段有不一样的辨别率，因此规定滤波器组中的滤波器所占有的带宽是非均匀的。许多学者研究了非均匀滤波器组的理论和设计措施。Koilpillai等研究了非均匀滤波器组的精确重建条件，Cox提出合并均匀滤波器组实现非均匀滤波器组的思想，但当时由于没有出现精确重建的带均匀滤波器组的设计措施，他所设计的非均匀滤波器组是近似精确重建的。而后的一段时间里，人们研制出了共轭正交滤波器组，从而初次实现了精确重建。共轭正交滤波器组是基于均匀滤波器组的理论而实现的。但很显然，共轭正交滤波器组有其致命的缺陷：虽然它实现了精确重建和线性相位，但其各自通道滤波器却是非线性相位的（即其序列是的）。近年来，余弦调制滤波器组得到广泛关注，它具有易于设计和实现复杂度低两个重要特点。在设计方面，仅需设计其低通原型滤波器。实现上，可以通过一组两通道无损格形滤波器和离散余弦/正弦变换迅速实现。经典地，尽管带精确重建余弦调制滤波器组的原型滤波器是线性相位的，但它的各子带分析、综合滤波器以及与滤波器组对应的带小波不具有线性相位特性。通过容许两个子带滤波器占有相似的频带，人们提出了带精确重建均匀余弦调制滤波器组，其中低通原型滤波器和各子带滤波器均是线性相位的，这一问题迎刃而解。余弦调制滤波器组可以通过格形构造（格形滤波