高考数学二轮复习 专题08 数列(含解析)

专题08数列1．【2022年全国乙卷】已知等比数列an的前3项和为168，a2−a5A．14 B．12 C．6 D．3【答案】D【解析】【分析】设等比数列an的公比为q,q≠0，易得q≠1【详解】解：设等比数列an的公比为q,q≠0若q=1，则a2所以q≠1，则a1+a所以a6故选：D.2．【2022年全国乙卷】嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列bn：b1=1+1α1，b2A．b1<b5 B．b【答案】D【解析】【分析】根据αk∈N∗k=1,2,…，再利用数列b【详解】解：因为αk所以α1<α1+同理α1+1α又因为1α2>故b2<b以此类推，可得b1>bb11α2>α1+1故选：D.3．【2022年新高考2卷】中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖面图，DD1,CC1,BB1,AA1是举，OA．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【答案】D【解析】【分析】设OD1=D【详解】设OD1=D依题意，有k3−0.2=k所以0.5+3k3−0.3故选：D4．【2022年北京】设an是公差不为0的无穷等差数列，则“an为递增数列”是“存在正整数N0，当n>N0A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】设等差数列an的公差为d，则d≠0【详解】设等差数列an的公差为d，则d≠0，记x为不超过x若an为单调递增数列，则d>0若a1≥0，则当n≥2时，an>a由an=a1+n−1d>0可得n>1−所以，“an是递增数列”⇒“存在正整数N0，当n>N若存在正整数N0，当n>N0时，an>0，取k∈假设d<0，令an=ak+当n>k−akd+1时，a所以，“an是递增数列”⇐“存在正整数N0，当n>N所以，“an是递增数列”是“存在正整数N0，当n>N故选：C.5．【2022年浙江】已知数列an满足a1=1,A．2<100a100<52 B．【答案】B【解析】【分析】先通过递推关系式确定{an}除去a1，其他项都在(0,1)范围内，再利用递推公式变形得到1an+1−1an=【详解】∵a1=1，易得a由题意，an+1=a∴1a即1a2−1a1>累加可得1an−1>∴an<3n+2,(n≥2)又1a∴1a2−1a1=累加可得1a∴1a即1a100<40，∴a综上：52故选：B．【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩.6．【2022年全国乙卷】记Sn为等差数列an的前n项和．若2S【答案】2【解析】【分析】转化条件为2(a【详解】由2S3=3S2即2(a1+2故答案为：2.7．【2022年北京】己知数列an各项均为正数，其前n项和Sn满足①an的第2项小于3；

②a③an为递减数列；

④an中存在小于其中所有正确结论的序号是__________．【答案】①③④【解析】【分析】推导出an=9an−9an−1，求出a【详解】由题意可知，∀n∈N∗，当n=1时，a12=9当n≥2时，由Sn=9an所以，9an−1=9a因为a2>0，解得a2假设数列an为等比数列，设其公比为q，则a22所以，S22=S1故数列an不是等比数列，②当n≥2时，an=9an−9假设对任意的n∈N∗，an所以，a100000=9故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导.8．【2022年全国甲卷】记Sn为数列an的前n项和．已知(1)证明：an(2)若a4,a【答案】(1)证明见解析；(2)−78．【解析】【分析】(1)依题意可得2Sn+n2(2)由(1)及等比中项的性质求出a1，即可得到an的通项公式与前(1)解：因为2Snn+n=2当n≥2时，2Sn−1①−②得，2S即2a即2n−1an−2n−1an−1所以an是以1(2)解：由(1)可得a4=a1+3又a4，a7，a9即a1+62所以an=n−13，所以所以，当n=12或n=13时Sn9．【2022年新高考1卷】记Sn为数列an的前n项和，已知a1(1)求an(2)证明：1a【答案】(1)a(2)见解析【解析】【分析】(1)利用等差数列的通项公式求得Snan=1+13n−1=n+23，得到Sn=n+2an(2)由(1)的结论，利用裂项求和法得到1a(1)∵a1=1，∴S1=又∵Snan∴Snan=1+∴当n≥2时，Sn−1∴an整理得：n−1a即an∴a=1×3显然对于n=1也成立，∴an的通项公式a(2)1a∴1a110．【2022年新高考2卷】已知an为等差数列，bn是公比为2的等比数列，且(1)证明：a1(2)求集合kb【答案】(1)证明见解析；(2)9．【解析】【分析】(1)设数列an的公差为d(2)根据题意化简可得m=2(1)设数列an的公差为d，所以，a1+d−2(2)由(1)知，b1=a1=d2，所以bk=am+a11．【2022年北京】已知Q:a1,a2,⋯,ak为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的n∈{1,2,⋯,m}，在Q中存在(1)判断Q:2,1,4是否为5−连续可表数列？是否为6−连续可表数列？说明理由；(2)若Q:a1,a2(3)若Q:a1,a2,⋯,a【答案】(1)是5−连续可表数列；不是6−连续可表数列．(2)证明见解析．(3)证明见解析．【解析】【分析】(1)直接利用定义验证即可；(2)先考虑k≤3不符合，再列举一个k=4合题即可；(3)k≤5时，根据和的个数易得显然不行，再讨论k=6时，由a1+a(1)a2=1，a1=2，a1+a2=3，a3=4，a2+(2)若k≤3,设为Q:a,b,c,则至多a+b,b+c,a+b+c,a,b,c，6个数字，没有8个，矛盾；当k=4时,数列Q:1,4,1,2，满足a1=1，a4=2，a3+a4=3，a2=4(3)Q:a1,a2,⋯,ak，若i=j最多有若k≤5，则a1,a从而若k<7,则k=6，a,b,c,d,e,f至多可表6(6+1)2而a+b+c+d+e+f<20，所以其中有负的，从而a,b,c,d,e,f可表1~20及那个负数(恰21个)，这表明a~f中仅一个负的，没有0，且这个负的在a~f中绝对值最小，同时a~f中没有两数相同,设那个负数为−m(m≥1)，则所有数之和≥m+1+m+2+⋯+m+5−m=4m+15，4m+15≤19⇒m=1，∴{a,b,c,d,e,f}={−1,2,3,4,5,6}，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足20个，∵1=−1+2(仅一种方式)，∴−1与2相邻，若−1不在两端,则"x若x=6，则5=6+(−1)(有2种结果相同，方式矛盾)，∴x≠6，同理x≠5,4,3，故−1在一端，不妨为"−1若A=3,则5=2+3(有2种结果相同，矛盾)，A=4同理不行，A=5，则6=−1+2+5(有2种结果相同，矛盾)，从而A=6，由于7=−1+2+6,由表法唯一知3,4不相邻,、故只能−1,2,6,3,5,4，①或−1,2,6,4,5,3，②这2种情形，对①：9=6+3=5+4，矛盾，对②：8=2+6=5+3，也矛盾，综上k≠6∴k≥7．【点睛】关键点睛，先理解题意，是否为m−可表数列核心就是是否存在连续的几项(可以是一项)之和能表示从1到m中间的任意一个值．本题第二问k≤3时，通过和值可能个数否定k≤3；第三问先通过和值的可能个数否定k≤5，再验证k=6时，数列中的几项如果符合必然是{−1,2,3,4,5,6}的一个排序，可验证这组数不合题．12．【2022年浙江】已知等差数列an的首项a1=−1，公差d>1．记an的前(1)若S4−2a(2)若对于每个n∈N∗，存在实数cn，使a【答案】(1)S(2)1<d≤2【解析】【分析】(1)利用等差数列通项公式及前n项和公式化简条件，求出d，再求Sn(2)由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求d的范围.(1)因为S4所以−4+6d−2−1+d所以d2−3d=0，又所以d=3，所以an所以Sn(2)因为an+cn，所以an+1nd−1+4ccn由已知方程cn所以Δ=所以16d−8nd+812d−8nd+8≥0对于任意的所以n−2d−12n−3d−2当n=1时，n−2d−1当n=2时，由2d−2d−14d−3d−2≥0当n≥3时，n−2d−1又d>1所以1<d≤21．(2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测(文))在等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】将已知等式变形，由等差数列下标和计算即可得到结果.【详解】由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：B.2．(2022·福建省德化第一中学模拟预测)设等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为(

)A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的求和公式，求得SKIPIF1<0，结合等差数列的性质，化简得到SKIPIF1<0，即可求解.【详解】因为SKIPIF1<0，由等差数列的性质和求和公式得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：C.3．(2022·北京·北大附中三模)已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0(

)A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项【答案】A【解析】【分析】求得数列SKIPIF1<0的通项公式，再分析数列的单调性即可【详解】依题意，因为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相除有SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0随着SKIPIF1<0的增大而减小，故SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，故最小项为SKIPIF1<0，最大项为SKIPIF1<0故选：A4．(2022·辽宁实验中学模拟预测)已知数列SKIPIF1<0是首项为1的正项等差数列，公差不为0，若SKIPIF1<0、数列SKIPIF1<0的第2项、数列SKIPIF1<0的第5项恰好构成等比数列，则数列SKIPIF1<0的通项公式为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】根据题意设SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0构成等比数列，即SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0即可求解.【详解】设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0、数列SKIPIF1<0的第2项、数列SKIPIF1<0的第5项恰好构成等比数列，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0构成等比数列，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(舍去)，所以SKIPIF1<0.故选：A.5．(2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测(文))已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若存在实数SKIPIF1<0使SKIPIF1<0是等差数列，则SKIPIF1<0的公差为(

)A．1 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】利用SKIPIF1<0得SKIPIF1<0的递推关系，从而求得SKIPIF1<0与公差SKIPIF1<0的关系，再由SKIPIF1<0求得SKIPIF1<0．【详解】设公差为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，两式相减得：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．从而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：B．6．(2022·湖南·邵阳市第二中学模拟预测)已知正项等比数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，若存在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】设等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，根据已知条件求出SKIPIF1<0的值，由已知条件可得出SKIPIF1<0，将代数式SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相乘，利用基本不等式可求得SKIPIF1<0的最小值.【详解】设等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，因此，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：D.7．(2022·浙江·三模)设数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，记数列SKIPIF1<0的前n项的和为SKIPIF1<0，则(

)A．SKIPIF1<0 B．存在SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．数列SKIPIF1<0不具有单调性【答案】C【解析】【分析】根据题意求得SKIPIF1<0，进而得到SKIPIF1<0与SKIPIF1<0同号，结合作差法比较法，可判定B、D错误；由SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，利用叠加法，可判定A错误；化简得到SKIPIF1<0，利用裂项法求和，可判定C正确.【详解】由于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0同号．又由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0单调递增，故B、D错误；又因为SKIPIF1<0，由数列SKIPIF1<0单调递增，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，累加得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A错误；由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C正确．故选：C．8．(2022·吉林·东北师大附中模拟预测(理))数列SKIPIF1<0为等差数列，前SKIPIF1<0项的和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最大值为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】分析数列SKIPIF1<0的单调性，计算SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，即可得出结论.【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故数列SKIPIF1<0为递增数列，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以，满足当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.故选：C.9．(2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测)已知等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列结论正确的是(

)A．SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】根据题意构造函数SKIPIF1<0，确定函数的奇偶性及单调性，进而根据SKIPIF1<0的关系即可确定答案.【详解】设函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为奇函数，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在R上递减，由已知可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：C.10．(2022·全国·模拟预测)已知数列SKIPIF1<0满足对任意的SKIPIF1<0，总存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0可能等于(

)A．SKIPIF1<0 B．2022n C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】A选项，利用等比数列求和公式列出方程，令n＝2时，得到SKIPIF1<0，m不存在，A错误；B选项，利用等差数列求和公式进行求解得到方程SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0即可，C选项，利用平方和公式得到SKIPIF1<0，当n＝2时，SKIPIF1<0，m不存在；D选项，当n＝2时，SKIPIF1<0，m不存在.【详解】对于选项A：当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0是等比数列，因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，当n＝2时，SKIPIF1<0，m不存在，A错误；对于选项B：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是等差数列，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0即可，B正确；对于选项C：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当n＝2时，SKIPIF1<0，m不存在，C错误；对于选项D：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当n＝2时，SKIPIF1<0，m不存在，D错误．故选：B．11．(2022·江苏·南京外国语学校模拟预测)已知数列SKIPIF1<0各项都不为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且满足SKIPIF1<0，(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0取得最小值时的n的值．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【解析】【分析】(1)由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0②得SKIPIF1<0，分奇偶项即可求出SKIPIF1<0(2)由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值(1)SKIPIF1<0①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0②①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的奇数项和偶数项各自成等差数列且SKIPIF1<0SKIPIF1<0为奇数)，SKIPIF1<0(SKIPIF1<0为偶数SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值12．(2022·福建·厦门双十中学模拟预测)等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为整数，且SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】【分析】(1)根据题意得公差SKIPIF1<0为整数，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分析求出SKIPIF1<0即可；(2)SKIPIF1<0，再利用裂项相消法求和即可.(1)由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为整数知，等差数列SKIPIF1<0的公差SKIPIF1<0为整数.又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，故数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0.(2)SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0SKIPIF1<0.13．(2022·宁夏·银川一中模拟预测(理))已知数列SKIPIF1<0是等差数列，SKIPIF1<0是等比数列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若不等式SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【解析】【分析】(1)利用等差数列SKIPIF1<0，等比数列SKIPIF1<0代入计算；(2)利用错位相减法可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0为递增数列，结合恒成立思想可得答案．(1)解：因为数列SKIPIF1<0是等比数列，则可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因为数列SKIPIF1<0是等差数列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则公差SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)解：由(1)得：SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0①所以SKIPIF1<0②由①-②得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．不等式SKIPIF1<0恒成立，化为不等式SKIPIF1<0恒成立，令SKIPIF1<0且SKIPIF1<0为递增数列，即转化为SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．综上可得：实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0．14．(2022·湖北·襄阳四中模拟预测)已知等差数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且前四项和为28，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式，并判断SKIPIF1<0是否为等比数列；(2)对于集合A，B，定义集合SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，设数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中的所有项分别构成集合A，B，将集合SKIPIF1<0的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前30项和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0，判断答案见解析(2)1926【解析】【分析】(1)根据等数列的前n项和公式和通项公式可求出SKIPIF1<0的通项公式，根据等比数列的定义可判断SKIPIF1<0是否为等比数列；(2)结合等差数列的前n项和，等差数列与等比数列的通项公式可求出结果.(1)∵SKIPIF1<0是等差数列，SKIPIF1<0，且前四项和为28，∴SKIPIF1<