等比数列的概念

5.3.1等比数列的概念动手做游戏：把纸对折1次，2次，3次，4次，5次，分别列出每次对折后纸的层数：2（21）4（22）8（23）16（24）32（25）继续对折，想想纸的层数是如何变化的？折1次折2次折3次折4次．．．折28次

2（21）4（22）8（23）16（24）．．.228

情景导入请观察：(1)2，10，50，250，···(2)1，1/3，1/9，1/27···

-3，9，-27，81···(4)36，36×0.9，36×0.92,36×0.93,…(5)9，92，93，94，95，96，97共同特点从第2项起，每1项与前1项的比都等于同一常数。?1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。通常用字母q表示。注：（1）等比数列的所有项不为0；（2）公比不为0(q≠0）.

等比数列的定义即：

练习一下列数列是否为等比数列？是的话，算出公比？①8，16，32，64，128，256，…；②1，1，1，1，1，1，1，…；③243，81，27，9，3，1，…；④16，8，4，2，0，－2，…；⑤1，－1，1，－1，1，－1，1，…；

1，10，－100，－1000，…．１,2,4,16,64,…√√√√任一项不能为0q=2q=1q=-1q=13常数列

等比数列的通项公式由此可知，等比数列的通项公式为等比数列{an}中,有:(q不为0)n为正整数

等比数列的通项公式例1求等比数列8，4，2，1，···的第5项和第8项．12an=a1qn-1=8×（

）n-1解a1=8，q

===，则

a2

a1481212a5=a1qn-1=8×（

）4=1212a8=a1qn-1=8×（

）7=116

等比数列的通项公式例2已知一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项．解设这个数列的第一项是a1，公比是q

，则a1·

q2

＝12，①a1·

q3

＝

18．②解①②所组成的方程组，得q＝，a1＝，a2

＝a1·

q

＝×＝

8．即这个数列的第1项是，第2项是8．1633216332163

等比数列的等比中项公式例3：在2与8之间插入G，使得2，G

，8成等比数列，求G的值．一般地，如果a

，G，b

成等比数列，那么G

叫做a与b的等比中项．

G

2＝ab，即G

＝±容易看出，一个等比数列从第2项起，每一项（有穷等比数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项．

等比数列的等差中项公式观察如下的两个数之间，插入一个什么数后，三个数就会成为一个等比数列：（1）1，，9（2）-1，，-4（3）-12，，-3（4）1，，1±3±2±6±1

等比数列的等差中项公式

解：解得a=4或a=-4

反馈练习1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做________数列，这个常数叫做等比数列的________，公比通常用字母q表示(q≠0)．答案：等比公比2．如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的________．答案：等比中项3．等比数列的通项公式为________．答案：an＝a1qn－1

反馈练习1．等比数列的公比能否为0，首项能否为0?答案：等比数列的首项，公比都不为0。2.1,3,9，（），81,243，……

27,q=32,-4,(),-16,32,……

8,q=-23.等比数列1,2,4,8,16,……，求a6和a10

a6=32,a10=5122023/9/29例4：将20，50，100三个数分别加上相同的常数，使这三个数依次成等比数列，求该等比数列的公比。

等比数列的等差中项公式

反馈练习A．an＝a3qn－2 B．an＝a3qn－1C．an＝a3qn－3 D．an＝a3qn－4解析：∵a3qn－3＝a1·q2·qn－3＝a1qn－1＝an.答案：C

反馈练习

反馈练习

反馈练习探索规律在等比数列｛an｝中，根据等差中项的定义可知a22＝a1·a3，

即类似地，有由此启发我们想到：若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），则应有