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文档简介

习题选讲一个长为pa的轻杆左右两端各连接一个质点，质点质量分别为2m和m，用手将它的中点放于一个固定的半径为a的半圆柱体正顶端，再沿圆柱表面纯滚动到平衡位置才放手。限制它的运动在垂直平面内且只做纯滚动（静摩擦力足够大）。问：（1）平衡时，它与水平面的夹角为多少？（2）平衡点处它受小扰动后做小振动，其周期是什么？2mam解答（1）平衡时,力臂之比为1:2,支点距中点(pa)/6，转过角度为p/6。或从质心平衡在支点，同样得。从势能最小得

解答（2）因转动瞬心在支点，故

解答（2）或对势能作2阶泰勒展开，如图是一个单缸发动机模型，长为的连杆与活塞连接于T点，与半径为绕固定轴Q转动的圆盘相连于S点。连接以铰链或轴承实现。活塞往复运动于TQ连线上。当∠SQT=60°时：（1）已知圆盘以匀角速度w顺时针转动，求此时活塞的速率。（2）若活塞受力为F，给出圆盘此时通过其上的齿轮输出的力矩（忽略所有物件的质量）。TQS解答（1）从几何约束关系：解答或从几何得到此时x=3。对时间求导，代入已知值，得。或如图找到转动瞬心P，使PT垂直于TQ（T运动方向），且在直线QS上（因S速度与QS垂直），则PS=PQ-QS=2*TQ-a=5a，则VT/PT=VS/PS，315QSTP解答（2）因是理想约束，故力矩为质量均为m的两质点用长为a的轻杆连接，并静止地置于光滑水平面上。另有单独的质点质量也为m，从与杆垂直的方向以初速度v0与杆上一质点发生对心的完全弹性碰撞。（1）求碰撞后单独质点的运动速度。（2）求碰撞后杆的中心平动速度和杆的转动角速度。（3）轻杆运动的空间极迹和本体极迹分别是什么？。解答相同质量的质点间的对心弹性碰撞，其速度交换。（1）碰撞后单独质点的速度为0。（2）杆心平动速度为v0/2，转动角速度为v0/a。（3）空间极迹为直线，过静止时轻杆的另一端，与单独质点初始速度方向平行。本体极迹为以轻杆为直径的圆。一个管子以恒定角速度w在水平面上绕一固定轴旋转。管子内有一个弹簧，弹性系数为k,原长可以忽略，其一端固定于轴上，另一端连接质点m，若管壁光滑，（1）写出系统的拉格朗日函数L。（2）给出系统的哈密顿函数H，此时哈密顿函数是否等于系统的动能加上势能？(3）请给出用什么母函数做正则变换可使系统函数H变为0？解答

（1）（2）（3）质量为m的匀质正方体边长2a，其下底面中心轴线处有长为2a的轻细柄。正方体和柄组成的刚体以柄下端O为定点做转动。空间坐标系原点为O点，z轴竖直向上，本体坐标z轴是沿柄方向。转动时欧拉角q为30°,进动角速度为w0，自转角速度为，均为恒定值。求（1）刚体的总角速率。（2）刚体在j=0时的角动量。（3）若刚体转

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