2024届一轮复习人教A版 第二章函数导数及其应用第五讲指数与指数函数 课件（44张）

第五讲指数与指数函数课标要求考情分析1.通过对有理数指数幂a(a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质.2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点1.本讲直接考查指数函数的图象与性质；以指数函数为载体，考查函数与方程、不等式等交汇问题.2.题型一般为选择、填空题，若题型为解答题，则题目中等偏难

1.根式

(1)一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.2.有理数指数幂3.指数函数的概念一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数.[注意]形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数.底数a>10<a<1图象性质定义域为R，值域为(0，＋∞)图象过定点(0，1)4.指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与性质性质当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1在定义域R上为增函数在定义域R上为减函数注意指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质与a的取值有关，应分a>1与0<a<1来研究(续表)【名师点睛】考点一指数幂的运算

1.(一题两空)(2022年苏州市高三质检)设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.【题后反思】指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算.(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数.(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.

考点二指数函数的图象[例1](1)(多选题)若函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有()A.a>1C.b>0

B.0<a<1D.b<0

解析：因为函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，所以其大致图象如图2-5-1所示.由图象可知函数为增函数，所以a>1，当x＝0时，y＝1＋b－1＝b<0，故选AD.图2-5-1答案：AD(2)若函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为________.解析：作出曲线y＝|2x－1|的图象与直线y＝b如图2-5-2所示.由图象可得b的取值范围是(0，1).图2-5-2答案：(0，1)【题后反思】

(1)对于指数型函数的图象问题，一般从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到指数型函数的图象.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应分类讨论. (2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合进行求解.【变式训练】(1.(2021年河北武邑中学调研)函数y＝e－|x-1|的大致图象是 )ABCDe－x+1单调递减，排除选项A.故选B.解析：当x＝1时，y＝1，排除选项C，D.当x＞1时，y＝答案：B

2.函数y＝ax－b(a＞0，且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则ab的取值范围是________.答案：(0，1)考点三指数函数的性质及应用

考向1利用指数函数的单调性比较大小

通性通法：比较指数式的大小时，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b(0，＋∞)上单调递增，得a<c.由y＝2x

在R上单调递增，得b<a，故b<a<c.故选A.

答案：A

f(b)，f(c)的大小关系为( ) A.f(b)<f(a)<f(c) B.f(c)<f(b)<f(a) C.f(c)<f(a)<f(b) D.f(b)<f(c)<f(a)答案：B考向2与指数函数有关的复合函数的单调性

通性通法：求解与指数函数有关的复合函数的问题时，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.[例3](1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数).若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是________.答案：(－∞，4](2)函数f(x)＝4x－2x+1的单调增区间是________.

解析：f(x)＝(2x)2－2·2x＝(2x－1)2－1，设t＝2x，其在R上单调递增，y＝(t－1)2－1在[1，＋∞)上单调递增，∴2x≥1，∴x≥0.答案：[0，＋∞)考向3函数的最值问题

通性通法：对可化为a2x＋b·ax＋c＝0形式的方程或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)形式的不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的取值范围.

[例4]设函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为________.【考法全练】1.(考向1)已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则(

)A.a＞b＞cC.c＞a＞bB.a＞c＞bD.b＞c＞a

解析：由0.2＜0.6，0.4＜1，并结合指数函数y＝0.4x

在R上单调递减，可知0.40.2＞0.40.6，即b＞c.因为a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以a＞b，所以a＞b＞c.故选A.

答案：A

3.(考向2)(2022年无锡市校级期末)已知函数

f(x)＝且f(x)为奇函数. (1)求a的值；

(2)判断函数f(x)的单调性并证明；

(3)解不等式：f(2x－1)＋f(x－2)＞0.(1)解：∵函数f(x)为奇函数，且定义域为R，∴f(0)＝0，(3)解：f(2x－1)＋f(x－2)＞0，且f(x)为奇函数，∴f(2x－1)＞f(－x＋2)，∵函数f(x)在R上单调递增，∴2x－1＞－x＋2，∴x＞1，∴不等式的解集为(1，＋∞).⊙指数运算的实际应用

[例5]实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，“鹊桥”沿着围绕地月拉格朗日L2

点的轨道运行.L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2

点到月球的距离为r，根据牛顿运动定答案：D

【反思感悟】高考题只是把物理竞赛题中个别背景与条件进行变更，难度相似.与传统的解方程问题相比，本题以学生熟悉的“嫦娥四号”为背景，看起来是物理问题，实则考查数学中的解方程、求近似值的内容.让学生感悟数学来源于生活，数学和物理不分家，考查了转化与化归能力，空间想象能力，以及运算求解能力，很好地考查了逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养.

【高分训练】

(2022年海口市模拟)在核酸检测时，为了让标本中DNA的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通常采用PCR技术对DNA进行快速复制扩增数量.在此过程中，DNA的数量Xn(单位：μg/μL)与PCR扩增次数n满足Xn＝X0×1.6n，其中X0为DNA的初始数量.已知某待测标本中DNA的初始数量为0.1μg/μL，核酸探针能检测到的