九年级数学上册课时精讲（全册含答案）

PAGE学期衔接训练一、选择题1．计算eq\r(48)－9eq\r(\f(1,3))的结果是(B)A．－eq\r(3)B.eq\r(3)C．－eq\f(11,3)eq\r(3)D.eq\f(11,3)eq\r(3)2．一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为(D)A．5B.eq\r(7)C.eq\r(5)D．5或eq\r(7)3．种植能手李大叔种植了一批新品种黄瓜，为了考察这种黄瓜的生长情况，李大叔抽查了部分黄瓜株上长出的黄瓜根数，得到如图的条形图，则抽查的这部分黄瓜株上所结黄瓜根数的中位数和众数分别是(C)A．13.5，20B．15，5C．13.5，14D．13，14,第5题图),第8题图)4．根据下表中一次函数的自变量x与函数y的对应值，可得p的值为(A)x－201y3p0A.1B．－1C．3D．－35．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE最小的值是(B)A．2B．3C．4D．5二、填空题6．若整数x满足|x|≤3，则使eq\r(7－x)为整数的x的值是__－2或3___．(只需填一个)7．若一组数据2，－1，0，2，－1，a的众数为2，则这组数据的平均数为__eq\f(2,3)___．8．如图，已知一条直线经过点A(0，2)，B(1，0)，将这条直线向左平移与x轴、y轴分别交于点C，D.若DB＝DC，则直线CD的函数解析式为__y＝－2x－2___.三、解答题9．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连接AE，BD，且AE＝AB.(1)求证：∠ABE＝∠EAD；(2)若∠AEB＝2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形．解：(1)证∠ABE＝∠AEB＝∠EAD(2)∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBE，∵∠ABE＝∠AEB，∠AEB＝2∠ADB，∴∠ABE＝2∠ADB，∴∠ABD＝∠ABE－∠DBE＝2∠ADB－∠ADB＝∠ADB，∴AB＝AD，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形10．某市出租车计费方法如图所示，x(km)表示行驶里程，y(元)表示车费，请根据图象回答下面的问题：(1)出租车的起步价是多少元？当x＞3时，求y关于x的函数关系式；(2)若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的里程．解：(1)由图象得：出租车的起步价是8元；设当x＞3时，y与x的函数关系式为y＝kx＋b，由函数图象，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8＝3k＋b，,12＝5k＋b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝2，,b＝2，))故y与x的函数关系式为y＝2x＋2(2)当y＝32时，32＝2x＋2，x＝15，则这位乘客乘车的里程是15km第二十一章(这是单页眉，请据需要手工删加)第二十一章一元二次方程21．1一元二次方程1．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为__2___的整式方程叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式为__ax2＋bx＋c＝0(a≠0)___．3．使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的__解___，也叫做一元二次方程的__根___．知识点1：一元二次方程的概念1．下列方程是一元二次方程的是(D)A．ax2＋bx＋c＝0B．3x2－2x＝3(x2－2)C．x3－2x－4＝0D．(x－1)2－1＝02．关于x的一元二次方程(a－3)x2＋x＋a2－9＝0，其中a的取值范围为(C)A．a＞3B．a≥3C．a≠3D．a＜33．已知关于x的方程(m2－4)x2＋(m－2)x＋3m＝0，当m__≠±2___时，它是一元二次方程；当m__＝－2___时，它是一元一次方程．知识点2：一元二次方程的一般形式4．方程3x2＝5x－1化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是(B)A．3，5，－1B．3，－5，1C．3，－5，－1D．3，5，15．将一元二次方程2y2－1＝eq\r(5)y化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．解：一般形式为2y2－eq\r(5)y－1＝0，其中二次项系数是2，一次项系数是－eq\r(5)，常数项是－1知识点3：一元二次方程的解(根)6．下列关于x的方程中，一定有实数根－1的是(C)A．x2－x＋2＝0B．x2＋x－2＝0C．x2－x－2＝0D．x2＋1＝07．(2014·长沙)已知关于x的一元二次方程2x2－3kx＋4＝0的一个根是1，则k＝__2___．知识点4：用一元二次方程刻画实际问题中的数量关系8．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为(B)A．x(5＋x)＝6B．x(5－x)＝6C．x(10－x)＝6D．x(10－2x)＝69．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一般形式．(1)正方体的表面积为54，求正方体的边长x；解：6x2＝54，一般形式为6x2－54＝0(2)x个球队参加篮球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，一共进行了30场比赛，求参赛的篮球队数x.解：eq\f(1,2)x(x－1)＝30，一般形式为eq\f(1,2)x2－eq\f(1,2)x－30＝010．下列是方程3x2＋5x－2＝0的解的是(C)A．x＝－1B．x＝1C．x＝－2D．x＝211．已知实数a，b满足a2－3a＋1＝0，b2－3b＋1＝0，则关于一元二次方程x2－3x＋1＝0的根的说法中正确的是(D)A．x＝a，x＝b都不是该方程的解B．x＝a是该方程的解，x＝b不是该方程的解C．x＝b是该方程的解，x＝a不是该方程的解D．x＝a，x＝b都是该方程的解12．若关于x的一元二次方程为ax2＋bx＋5＝0(a≠0)的一个解是x＝1，则2015－a－b的值是(A)A．2020B．2010C．2016D．201413．若方程(m－2)x2＋eq\r(m)x＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是__m≥0且m≠2___．14．小明用30厘米的铁丝围成一斜边长等于13厘米的直角三角形，设该直角三角形的一边长x厘米，则另一边长__(17－x)___厘米，列方程得__x2＋(17－x)2＝132___．15．如图，矩形ABCD是由三个矩形拼接成的，AB＝8，阴影部分的面积是24，另外两个小矩形全等．设小矩形的长为x，则可列出的方程为__x(2x－8)＝24___．16．分别根据下列条件，写出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一般形式．(1)a＝5，b＝－4，c＝－1；(2)二次项系数为3，一次项系数为－7，常数项为2.解：(1)5x2－4x－1＝0(2)3x2－7x＋2＝017．根据下列问题，列出一元二次方程，并将其化成一般形式．(1)一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送一条信息，这样共有756条消息；(2)两个连续奇数的平方和为130，求这两个奇数．解：(1)x(x－1)＝756，x2－x－756＝0(2)设这两个连续奇数分别为n，n＋2，则n2＋(n＋2)2＝130，2n2＋4n－126＝018．关于x的方程(a－3)x|a|－1＋x－5＝0是一元二次方程，求a的值．解：由定义可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|a|－1＝2，,a－3≠0，))解得a＝－319．已知k是方程x2－101x＋1＝0的一个不为0的根，不解方程，你能求出k2－100k＋eq\f(101,k2＋1)的值吗？如果能，请写出解答过程；如果不能，请说明理由．(用方程根的定义解答)解：∵k2－101k＋1＝0，∴k2－100k＝k－1，k2＋1＝101k，原式＝k－1＋eq\f(1,k)＝eq\f(k2＋1,k)－1＝eq\f(101k,k)－1＝10021．2解一元二次方程21．2.1配方法第1课时直接开平方法1．若x2＝a(a≥0)，则x就叫做a的平方根，记为x＝__±eq\r(a)___(a≥0)，由平方根的意义降次来解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．2．直接开平方，把一元二次方程“降次”转化为__两个一元一次方程___．3．如果方程能化为x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么x＝__±eq\r(p)___或mx＋n＝__±eq\r(p)___．知识点1：可化为x2＝p(p≥0)型方程的解法1．方程x2－16＝0的根为(C)A．x＝4B．x＝16C．x＝±4D．x＝±82．方程x2＋m＝0有实数根的条件是(D)A．m＞0B．m≥0C．m＜0D．m≤03．方程5y2－3＝y2＋3的实数根的个数是(C)A．0个B．1个C．2个D．3个4．若4x2－8＝0成立，则x的值是__±eq\r(2)___．5．解下列方程：(1)3x2＝27；解：x1＝3，x2＝－3(2)2x2＋4＝12；解：x1＝2，x2＝－2(3)5x2＋8＝3.解：没有实数根知识点2：形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的解法6．一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是(D)A．x－6＝－4B．x－6＝4C．x＋6＝4D．x＋6＝－47．若关于x的方程(x＋1)2＝1－k没有实数根，则k的取值范围是(D)A．k＜1B．k＜－1C．k≥1D．k＞18．一元二次方程(x－3)2＝8的解为__x＝3±2eq\r(2)___．9．解下列方程：(1)(x－3)2－9＝0；解：x1＝6，x2＝0(2)2(x－2)2－6＝0；解：x1＝2＋eq\r(3)，x2＝2－eq\r(3)(3)x2－2x＋1＝2.解：x1＝1＋eq\r(2)，x2＝1－eq\r(2)10．(2014·白银)一元二次方程(a＋1)x2－ax＋a2－1＝0的一个根为0，则a＝__1___．11．若eq\f(x2－4,x＋2)的值为0，则x＝__2___．12．由x2＝y2得x＝±y，利用它解方程(3x－4)2＝(4x－3)2，其根为__x＝±1___．13．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2－b2，根据这个规则，方程(x＋2)*5＝0的根为__x1＝3，x2＝－7___．14．下列方程中，不能用直接开平方法求解的是(C)A．x2－3＝0B．(x－1)2－4＝0C．x2＋2x＝0D．(x－1)2＝(2x＋1)215．(2014·枣庄)x1，x2是一元二次方程3(x－1)2＝15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是(A)A．x1小于－1，x2大于3B．x1小于－2，x2大于3C．x1，x2在－1和3之间D．x1，x2都小于316．若(x2＋y2－3)2＝16，则x2＋y2的值为(A)A．7B．7或－1C．－1D．1917．解下列方程：(1)3(2x＋1)2－27＝0；解：x1＝1，x2＝－2(2)(x－eq\r(2))(x＋eq\r(2))＝10；解：x1＝2eq\r(3)，x2＝－2eq\r(3)(3)x2－4x＋4＝(3－2x)2；解：x1＝1，x2＝eq\f(5,3)(4)4(2x－1)2＝9(2x＋1)2.解：x1＝－eq\f(5,2)，x2＝－eq\f(1,10)18．若2(x2＋3)的值与3(1－x2)的值互为相反数，求eq\f(x＋3,x2)的值．解：由题意得2(x2＋3)＋3(1－x2)＝0，∴x＝±3.当x＝3时，eq\f(x＋3,x2)＝eq\f(2,3)；当x＝－3时，eq\f(x＋3,x2)＝019．如图，在长和宽分别是a，b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．(1)用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；(2)当a＝6，b＝4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．解：(1)ab－4x2(2)依题意有ab－4x2＝4x2，将a＝6，b＝4代入，得x2＝3，解得x1＝eq\r(3)，x2＝－eq\r(3)(舍去)，即正方形的边长为eq\r(3)第2课时配方法1．通过配成__完全平方形式___来解一元二次方程的方法叫做配方法．2．配方法的一般步骤：(1)化二次项系数为1，并将含有未知数的项放在方程的左边，常数项放在方程的右边；(2)配方：方程两边同时加上__一次项系数的一半的平方___，使左边配成一个完全平方式，写成__(mx＋n)2＝p___的形式；(3)若p__≥___0，则可直接开平方求出方程的解；若p__＜___0，则方程无解．知识点1：配方1．下列二次三项式是完全平方式的是(B)A．x2－8x－16B．x2＋8x＋16C．x2－4x－16D．x2＋4x＋162．若x2－6x＋m2是一个完全平方式，则m的值是(C)A．3B．－3C．±3D．以上都不对3．用适当的数填空：x2－4x＋__4___＝(x－__2___)2；m2__±3___m＋eq\f(9,4)＝(m__±eq\f(3,2)___)2.知识点2：用配方法解x2＋px＋q＝0型的方程4．用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时，此方程可变形为(D)A．(x＋2)2＝1B．(x－2)2＝1C．(x＋2)2＝9D．(x－2)2＝95．下列配方有错误的是(D)A．x2－2x－3＝0化为(x－1)2＝4B．x2＋6x＋8＝0化为(x＋3)2＝1C．x2－4x－1＝0化为(x－2)2＝5D．x2－2x－124＝0化为(x－1)2＝1246．(2014·宁夏)一元二次方程x2－2x－1＝0的解是(C)A．x1＝x2＝1B．x1＝1＋eq\r(2)，x2＝－1－eq\r(2)C．x1＝1＋eq\r(2)，x2＝1－eq\r(2)D．x1＝－1＋eq\r(2)，x2＝－1－eq\r(2)7．解下列方程：(1)x2－4x＋2＝0；解：x1＝2＋eq\r(2)，x2＝2－eq\r(2)(2)x2＋6x－5＝0.解：x1＝－3＋eq\r(14)，x2＝－3－eq\r(14)知识点3：用配方法解ax2＋bx＋c＝0(a≠0)型的方程8．解方程3x2－9x＋1＝0，两边都除以3得__x2－3x＋eq\f(1,3)＝0___，配方后得__(x－eq\f(3,2))2＝eq\f(23,12)___．9．方程3x2－4x－2＝0配方后正确的是(D)A．(3x－2)2＝6B．3(x－2)2＝7C．3(x－6)2＝7D．3(x－eq\f(2,3))2＝eq\f(10,3)10．解下列方程：(1)3x2－5x＝－2；解：x1＝eq\f(2,3)，x2＝1(2)2x2＋3x＝－1.解：x1＝－1，x2＝－eq\f(1,2)11．对于任意实数x，多项式x2－4x＋5的值一定是(B)A．非负数B．正数C．负数D．无法确定12．方程3x2＋eq\r(2)x＝6，左边配方得到的方程是(B)A．(x＋eq\f(\r(2),6))2＝－eq\f(37,18)B．(x＋eq\f(\r(2),6))2＝eq\f(37,18)C．(x＋eq\f(\r(2),6))2＝eq\f(35,18)D．(x＋eq\f(\r(2),6))2＝6eq\f(1,18)13．已知方程x2－6x＋q＝0可以配方成(x－p)2＝7的形式，那么x2－6x＋q＝2可以配方成下列的(B)A．(x－p)2＝5B．(x－p)2＝9C．(x－p＋2)2＝9D．(x－p＋2)2＝514．已知三角形一边长为12，另两边长是方程x2－18x＋65＝0的两个实数根，那么其另两边长分别为__5和13___，这个三角形的面积为__30___．15．当x＝__2___时，式子200－(x－2)2有最大值，最大值为__200___；当y＝__－1___时，式子y2＋2y＋5有最__小___值为__4___．16．用配方法解方程：(1)eq\f(2,3)x2＝2－eq\f(1,3)x；解：x1＝eq\f(3,2)，x2＝－2(2)3y2＋1＝2eq\r(3)y.解：y1＝y2＝eq\f(\r(3),3)17．把方程x2－3x＋p＝0配方得到(x＋m)2＝eq\f(1,2)，求常数m与p的值．解：m＝－eq\f(3,2)，p＝eq\f(7,4)18．试证明关于x的方程(a2－8a＋20)x2＋2ax＋1＝0，无论a为何值，该方程都是一元二次方程．解：∵a2－8a＋20＝(a－4)2＋4≠0，∴无论a取何值，该方程都是一元二次方程19．选取二次三项式ax2＋bx＋c(a≠0)中的两项，配成完全平方式的过程叫做配方．例如：①选取二次项和一次项配方：x2－4x＋2＝(x－2)2－2；②选取二次项和常数项配方：x2－4x＋2＝(x－eq\r(2))2＋(2eq\r(2)－4)x，或x2－4x＋2＝(x＋eq\r(2))2－(4＋2eq\r(2))x；③选取一次项和常数项配方：x2－4x＋2＝(eq\r(2)x－eq\r(2))2－x2.根据上述材料，解决下列问题：(1)写出x2－8x＋4的两种不同形式的配方；(2)已知x2＋y2＋xy－3y＋3＝0，求xy的值．解：(1)x2－8x＋4＝x2－8x＋16－16＋4＝(x－4)2－12；x2－8x＋4＝(x－2)2＋4x－8x＝(x－2)2－4x(2)x2＋y2＋xy－3y＋3＝0，(x2＋xy＋eq\f(1,4)y2)＋(eq\f(3,4)y2－3y＋3)＝0，(x＋eq\f(1,2)y)2＋eq\f(3,4)(y－2)2＝0，又∵(x＋eq\f(1,2)y)2≥0，eq\f(3,4)(y－2)2≥0，∴x＋eq\f(1,2)y＝0，y－2＝0，∴x＝－1，y＝2，则xy＝(－1)2＝121．2.2公式法1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当__b2－4ac≥0___时，x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)，这个式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的__求根公式___．2．式子__b2－4ac___叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，常用Δ表示，Δ＞0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有__有两个不等的实数根___；Δ＝0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有__两个相等的实数根___；Δ＜0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__没有实数根___．知识点1：根的判别式1．下列关于x的方程有实数根的是(C)A．x2－x＋1＝0B．x2＋x＋1＝0C．(x－1)(x＋2)＝0D．(x－1)2＋1＝02．(2014·兰州)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，下列选项中正确的是(B)A．b2－4ac＝0B．b2－4ac＞0C．b2－4ac＜0D．b2－4ac≥03．一元二次方程x2－4x＋5＝0的根的情况是(D)A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根4．利用判别式判断下列方程的根的情况：(1)9x2－6x＋1＝0；解：∵a＝9，b＝－6，c＝1，∴Δ＝(－6)2－4×9×1＝0，∴此方程有两个相等的实数根(2)8x2＋4x＝－3；解：化为一般形式为8x2＋4x＋3＝0，∵a＝8，b＝4，c＝3，∴Δ＝42－4×8×3＝－80＜0，∴此方程没有实数根(3)2(x2－1)＋5x＝0.解：化为一般形式为2x2＋5x－2＝0，∵a＝2，b＝5，c＝－2，∴Δ＝52－4×2×(－2)＝41＞0，∴此方程有两个不相等的实数根知识点2：用公式法解一元二次方程5．方程5x＝2x2－3中，a＝__2___，b＝__－5___，c＝__－3___，b2－4ac＝__49___．6．一元二次方程x2－x－6＝0中，b2－4ac＝__25___，可得x1＝__3___，x2＝__－2___．7．方程x2－x－1＝0的一个根是(B)A．1－eq\r(5)B.eq\f(1－\r(5),2)C．－1＋eq\r(5)D.eq\f(－1＋\r(5),2)8．用公式法解下列方程：(1)x2－3x－2＝0；解：x1＝eq\f(3＋\r(17),2)，x2＝eq\f(3－\r(17),2)(2)8x2－8x＋1＝0；解：x1＝eq\f(2＋\r(2),4)，x2＝eq\f(2－\r(2),4)(3)2x2－2x＝5.解：x1＝eq\f(1＋\r(11),2)，x2＝eq\f(1－\r(11),2)9．(2014·广东)关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为(B)A．m＞eq\f(9,4)B．m＜eq\f(9,4)C．m＝eq\f(9,4)D．m＜－eq\f(9,4)10．若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有实数根，则实数k的取值范围是(C)A．k＞－1B．k＜1且k≠0C．k≥－1且k≠0D．k＞－1且k≠011．已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋b－1＝0有两个相等的实数根，则b的值是__2___．12．关于x的方程(a＋1)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足的条件是__a≥－5___．13．用公式法解下列方程：(1)x(2x－4)＝5－8x；解：x1＝eq\f(－2＋\r(14),2)，x2＝eq\f(－2－\r(14),2)(2)(3y－1)(y＋2)＝11y－4.解：y1＝eq\f(3＋\r(3),3)，y2＝eq\f(3－\r(3),3)14．当x满足条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1＜3x－3，,\f(1,2)（x－4）＜\f(1,3)（x－4）))时，求出方程x2－2x－4＝0的根．解：解不等式组得2<x<4，解方程得x1＝1＋eq\r(5)，x2＝1－eq\r(5)，∴x＝1＋eq\r(5)15．(2014·梅州)已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．解：(1)a＝eq\f(1,2)，另一个根为x＝－eq\f(3,2)(2)∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，∴无论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根16．关于x的一元二次方程(a－6)x2－8x＋9＝0有实数根．(1)求a的最大整数值；(2)当a取最大整数值时，求出该方程的根．解：(1)∵关于x的一元二次方程(a－6)x2－8x＋9＝0有实根，∴a－6≠0，Δ＝(－8)2－4×(a－6)×9≥0，解得a≤eq\f(70,9)且a≠6，∴a的最大整数值为7(2)当a＝7时，原一元二次方程变为x2－8x＋9＝0.∵a＝1，b＝－8，c＝9，∴Δ＝(－8)2－4×1×9＝28，∴x＝eq\f(－（－8）±\r(28),2)＝4±eq\r(7)，即x1＝4＋eq\r(7)，x2＝4－eq\r(7)17．(2014·株洲)已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．解：(1)△ABC是等腰三角形．理由：∵x＝－1是方程的根，∴(a＋c)×(－1)2－2b＋(a－c)＝0，∴a＋c－2b＋a－c＝0，∴a－b＝0，∴a＝b，∴△ABC是等腰三角形(2)∵方程有两个相等的实数根，∴(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，∴4b2－4a2＋4c2＝0，∴a2＝b2＋c2，∴△ABC是直角三角形(3)当a＝b＝c时，可整理为2ax2＋2ax＝0，∴x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－121．2.3因式分解法1．当一元二次方程的一边为0，另一边可以分解成两个一次因式的乘积时，通常将一元二次方程化为__两个一次因式___的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做__因式分解___法．2．解一元二次方程，首先看能否用__直接开平方法___；再看能否用__因式分解法___；否则就用__公式法___；若二次项系数为1，一次项系数为偶数可先用__配方法___．知识点1：用因式分解法解一元二次方程1．方程(x＋2)(x－3)＝0的解是(C)A．x＝2B．x＝－3C．x1＝－2，x2＝3D．x1＝2，x2＝－32．一元二次方程x(x－5)＝5－x的根是(D)A．－1B．5C．1和5D．－1和53．(2014·永州)方程x2－2x＝0的解为__x1＝0，x2＝2___．4．方程x2－2x＋1＝0的根是__x1＝x2＝1___．5．用因式分解法解下列方程：(1)x2－4＝0；解：x1＝2，x2＝－2(2)x2－2eq\r(3)x＝0；解：x1＝0，x2＝2eq\r(3)(3)(3－x)2－9＝0；解：x1＝0，x2＝6(4)x2－4x＋4＝(3－2x)2.解：x1＝1，x2＝eq\f(5,3)知识点2：用适当的方法解一元二次方程6．解方程(x＋1)2－5(x＋1)＋6＝0时，我们可以将x＋1看成一个整体，设x＋1＝y，则原方程可化为y2－5y＋6＝0，解得y1＝2，y2＝3.当y＝2时，即x＋1＝2，解得x＝1；当y＝3时，即x＋1＝3，解得x＝2，所以原方程的解为x1＝1，x2＝2.利用这种方法求方程(2x－1)2－4(2x－1)＋3＝0的解为(C)A．x1＝1，x2＝3B．x1＝－1，x2＝－3C．x1＝1，x2＝2D．x1＝0，x2＝－17．用适当的方法解方程：(1)2(x－1)2＝12.5；解：用直接开平方法解，x1＝3.5，x2＝－1.5(2)x2＋2x－168＝0；解：用配方法解，x1＝12，x2＝－14(3)eq\r(2)x2＝2x；解：用因式分解法解，x1＝0，x2＝eq\r(2)(4)4x2－3x－2＝0.解：用公式法解，x1＝eq\f(3＋\r(41),8)，x2＝eq\f(3－\r(41),8)8．方程x(x－1)＝－x＋1的解为(D)A．x＝1B．x＝－1C．x1＝0，x2＝－1D．x1＝1，x2＝－19．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是(A)A．(2x＋2)(3x＋4)＝0化为2x＋2＝0或3x＋4＝0B．(x－3)(x＋1)＝1化为x－3＝1或x＋1＝1C．(x－2)(x－3)＝2×3化为x－2＝2或x－3＝3D．x(x－2)＝0化为x－2＝010．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程(x－2)(x－4)＝0的根，则这个三角形的周长是(C)A．11B．11或13C．13D．以上都不对11．(2014·陕西)若x＝－2是关于x的一元二次方程x2－eq\f(5,2)ax＋a2＝0的一个根，则a的值是(B)A．1或4B．－1或－4C．－1或4D．1或－412．已知x＝1是关于x的方程(1－k)x2＋k2x－1＝0的根，则常数k的值为__0或1___．13．已知(x2＋2x－3)0＝x2－3x＋3，则x＝__2___．14．用因式分解法解下列方程：(1)x2－3x＝x－4；解：x1＝x2＝2(2)(x－3)2＝3(x－3)．解：x1＝3，x2＝615．用适当的方法解下列方程：(1)4(x－1)2＝2；解：x1＝eq\f(\r(2)＋2,2)，x2＝eq\f(－\r(2)＋2,2)(2)x2－6x＋4＝0；解：x1＝3＋eq\r(5)，x2＝3－eq\r(5)(3)x2－4＝3x－6；解：x1＝1，x2＝2(4)(x＋5)2＋x2＝25.解：x1＝－5，x2＝016．一跳水运动员从10m高台上跳下，他离水面的高度h(单位：m)与所用时间t(单位：s)的关系是h＝－5(t－2)(t＋1)，那么运动员从起跳到入水所用的时间是多少？解：依题意，得－5(t－2)(t＋1)＝0，解得t1＝－1(不合题意，舍去)，t2＝2，故运动员从起跳到入水所用的时间为2s17．先阅读下列材料，然后解决后面的问题：材料：因为二次三项式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)，所以方程x2＋(a＋b)x＋ab＝0可以这样解：∵(x＋a)(x＋b)＝0，∴x＋a＝0或x＋b＝0，∴x1＝－a，x2＝－b.问题：(1)用因式分解法解方程x2－kx－16＝0时，得到的两根均为整数，则k的值可以为__－15，－6，0，6，15___；(2)已知实数x满足(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0，则代数式x2－x＋1的值为__7___．专题训练(一)一元二次方程的解法及配方法的应用一、一元二次方程的解法1．用直接开平方法解方程：(1)(4x－1)2＝225；解：x1＝4，x2＝－eq\f(7,2)(2)eq\f(1,3)(x－2)2＝8；解：x1＝2＋2eq\r(6)，x2＝2－2eq\r(6)(3)9x2－6x＋1＝9；解：x1＝eq\f(4,3)，x2＝－eq\f(2,3)(4)3(2x＋1)2－2＝0.解：x1＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(6),6)，x2＝－eq\f(1,2)－eq\f(\r(6),6)2．用配方法解方程：(1)2t2－3t＝－1；解：t1＝eq\f(1,2)，t2＝1(2)2x2＋5x－1＝0；解：x1＝eq\f(－5＋\r(33),4)，x2＝eq\f(－5－\r(33),4)(3)(2x－1)(3x－1)＝3－6x；解：x1＝eq\f(1,2)，x2＝－eq\f(2,3)(4)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7.解：x1＝4，x2＝23．用公式法解方程：(1)x2＝6x＋1;解：x1＝3＋eq\r(10)，x2＝3－eq\r(10)(2)0.2x2－0.1＝0.4x；解：x1＝eq\f(2＋\r(6),2)，x2＝eq\f(2－\r(6),2)(3)eq\r(2)x－2＝2x2.解：原方程无实数根4．用因式分解法解方程：(1)(x－1)2－2(x－1)＝0；解：x1＝3，x2＝1(2)5x(x－3)＝(x－3)(x＋1)；解：x1＝3，x2＝eq\f(1,4)(3)(x＋2)2－10(x＋2)＋25＝0.解：x1＝x2＝35．用适当的方法解方程：(1)2(x－3)2＝x2－9；解：x1＝3，x2＝9(2)(2x＋1)(4x－2)＝(2x－1)2＋2；解：x1＝eq\f(－1＋\r(6),2)，x2＝eq\f(－1－\r(6),2)(3)(x＋1)(x－1)＋2(x＋3)＝8.解：x1＝1，x2＝－3二、配方法的应用(一)最大(小)值6．利用配方法证明：无论x取何实数值，代数式－x2－x－1的值总是负数，并求出它的最大值．解：－x2－x－1＝－(x＋eq\f(1,2))2－eq\f(3,4)，∵－(x＋eq\f(1,2))2≤0，∴－(x＋eq\f(1,2))2－eq\f(3,4)＜0，故结论成立．当x＝－eq\f(1,2)时，－x2－x－1有最大值－eq\f(3,4)7．对关于x的二次三项式x2＋4x＋9进行配方得x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n.(1)求m，n的值；(2)求x为何值时，x2＋4x＋9有最小值，并求出最小值为多少？解：(1)∵x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n＝x2＋2mx＋m2＋n，∴2m＝4，m2＋n＝9，∴m＝2，n＝5(2)∵m＝2，n＝5，∴x2＋4x＋9＝(x＋2)2＋5，∴当x＝－2时，有最小值是5(二)非负数的和为08．已知a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，求3a2＋5b2－5的值．解：∵a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，∴(a2＋4a＋4)＋(b2－2b＋1)＝0，即(a＋2)2＋(b－1)2＝0，∴a＝－2，b＝1.∴3a2＋5b2－4＝3×(－2)2＋5×12－5＝129．若a，b，c是△ABC的三边长且满足a2－6a＋b2－8b＋eq\r(c－5)＋25＝0，请根据已知条件判断其形状．解：等式变形为a2－6a＋9＋b2－8b＋16＋eq\r(c－5)＝0，即(a－3)2＋(b－4)2＋eq\r(c－5)＝0，由非负性得(a－3)2＝0，(b－4)2＝0，eq\r(c－5)＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5.∵32＋42＝52，即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形21．2.4一元二次方程的根与系数的关系1．若一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝__－p___，x1x2＝__q___．2．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝__－eq\f(b,a)___，x1x2＝__eq\f(c,a)___．3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根与系数的关系应用条件：(1)一般形式，即__ax2＋bx＋c＝0___；(2)二次方程，即__a≠0___；(3)有根，即__b2－4ac≥0___．知识点1：利用根与系数的关系求两根之间关系的代数式的值1．已知x1，x2是一元二次方程x2＋2x－1＝0的两根，则x1＋x2的值是(C)A．0B．2C．－2D．42．(2014·昆明)已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根，则x1x2等于(C)A．－4B．－1C．1D．43．已知方程x2－6x＋2＝0的两个解分别为x1，x2，则x1＋x2－x1x2的值为(D)A．－8B．－4C．8D．44．已知x1，x2是方程x2－3x－4＝0的两个实数根，则(x1－2)(x2－2)＝__－6___．5．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：(1)x2＋3x＋1＝0；解：x1＋x2＝－3，x1x2＝1(2)2x2－4x－1＝0；解：x1＋x2＝2，x1x2＝－eq\f(1,2)(3)2x2＋3＝5x2＋x.解：x1＋x2＝－eq\f(1,3)，x1x2＝－16．已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：(1)x12＋x22；(2)eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2).解：(1)x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝11(2)eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝eq\f(x1＋x2,x1x2)＝－3知识点2：利用根与系数的关系求方程中待定字母的值7．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根互为相反数，则(B)A．b＞0B．b＝0C．b＜0D．c＝08．已知一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另一根和c分别为(C)A．1，2B．2，4C．4，8D．8，169．若关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为x1＝－2，x2＝4，则b＋c的值是(A)A．－10B．10C．－6D．－110．(2014·烟台)关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和是5，则a的值是(D)A．－1或5B．1C．5D．－111．若关于x的一元二次方程x2－4x＋k－3＝0的两个实数根为x1，x2，且满足x1＝3x2，试求出方程的两个实数根及k的值．解：由根与系数的关系得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝4①，,x1x2＝k－3②，))又∵x1＝3x2③，联立①③，解方程组得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝3，,x2＝1，))∴k＝x1x2＋3＝3×1＋3＝612．已知一元二次方程x2－2x＋2＝0，则下列说法正确的是(D)A．两根之和为2B．两根之积为2C．两根的平方和为0D．没有实数根13．已知α，β满足α＋β＝6，且αβ＝8，则以α，β为两根的一元二次方程是(B)A．x2＋6x＋8＝0B．x2－6x＋8＝0C．x2－6x－8＝0D．x2＋6x－8＝014．设x1，x2是方程x2＋3x－3＝0的两个实数根，则eq\f(x2,x1)＋eq\f(x1,x2)的值为(B)A．5B．－5C．1D．－115．方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，且满足x1＋x2＝x1x2，则m的值是(C)A．－2或3B．3C．－2D．－3或216．(2014·呼和浩特)已知m，n是方程x2＋2x－5＝0的两个实数根，则m2－mn＋3m＋n＝__8___．17．在解某个方程时，甲看错了一次项的系数，得出的两个根为－8，－1；乙看错了常数项，得出的两个根为8，1，则这个方程为__x2－9x＋8＝0___．18．已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根，求(x1＋x2)2÷(eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2))的值．解：由根与系数的关系得x1＋x2＝4，x1x2＝1，∴(x1＋x2)2÷(eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2))＝x1x2(x1＋x2)＝419．已知关于x的一元二次方程x2－2kx＋k2＋2＝2(1－x)有两个实数根x1，x2.(1)求实数k的取值范围；(2)若方程的两实数根x1，x2满足|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值．解：(1)方程整理为x2－2(k－1)x＋k2＝0，由题意得Δ＝4(k－1)2－4k2≥0，∴k≤eq\f(1,2)(2)由题意得x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2，∵|x1＋x2|＝x1x2－1，∴|2(k－1)|＝k2－1，∵k≤eq\f(1,2)，∴－2(k－1)＝k2－1，整理得k2＋2k－3＝0，解得k1＝－3，k2＝1(舍去)，∴k＝－320．设x1，x2是方程x2－x－2015＝0的两个实数根，求x13＋2016x2－2015的值．解：x2－x－2015＝0，∴x2＝x＋2015，x＝x2－2015.又∵x1，x2是方程x2－x－2015＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝1，∴x13＋2016x2－2015＝x1·x12＋2016x2－2015＝x1·(x1＋2015)＋2016x2－2015＝x12＋2015x1＋2016x2－2015＝x1＋2015＋2015x1＋2016x2－2015＝2016(x1＋x2)＋2015－2015＝2016

21.3实际问题与一元二次方程第1课时用一元二次方程解决传播问题1．列一元二次方程可以解决许多实际问题，解题的一般步骤是：①审题，弄清已知量、__未知量___；②设未知数，并用含有__未知数___的代数式表示其他数量关系；③根据题目中的__等量关系___，列一元二次方程；④解方程，求出__未知数___的值；⑤检验解是否符合问题的__实际意义___；⑥写出答案．2．一个两位数，个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数为__10b＋a___，若交换两个数位上的数字，则得到的新两位数为__10a＋b___．知识点1：倍数传播问题1．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出小分支的个数为x，则依题意可列方程为__1＋x＋x2＝91___．2．某生物实验室需培育一群有益菌．现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌．(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后有多少个有益菌？解：(1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌，根据题意得60(1＋x)2＝24000，解得x1＝19，x2＝－21(不合题意，舍去)，则每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出19个有益菌(2)60×(1＋19)3＝60×203＝480000(个)，则经过三轮培植后共有480000个有益菌知识点2：握手问题3．(2014·天津)要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为(B)A.eq\f(1,2)x(x＋1)＝28B.eq\f(1,2)x(x－1)＝28C．x(x＋1)＝28D．x(x－1)＝284．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手210次，设有x人参加这次聚会，则依题意可列出方程为__eq\f(x（x－1）,2)＝210___．5．在一次商品交易会上，参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同，会议结束后统计共签订了78份合同，问有多少家公司出席了这次交易会？解：设有x家公司出席了这次交易会，根据题意得eq\f(1,2)x(x－1)＝78，解得x1＝13，x2＝－12(不合题意，舍去)，故有13家公司出席了这次交易会知识点3：数字问题6．两个连续偶数的和为14，积为48，则这两个连续偶数是__6和8___．7．已知一个两位数比它的个位上的数的平方小6，个位上的数与十位上的数的和是13，求这个两位数．解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为(13－x)，由题意得10(13－x)＋x＋6＝x2，整理得x2＋9x－136＝0，解得x1＝8，x2＝－17(不合题意，舍去)，∴13－x＝5，则这个两位数是588．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件，如果全组有x名同学，则根据题意列出的方程是(B)A．x(x＋1)＝132B．x(x－1)＝132C．x(x＋1)＝132×2D．x(x－1)＝132×29．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了15条航线，则这个航空公司共有飞机场(C)A．4个B．5个C．6个D．7个10．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为(D)日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031A.32B．126C．135D．14411．一个直角三角形的三边长恰好是三个连续整数，若设较长的直角边长为x，则根据题意列出的方程为__x2＋(x－1)2＝(x＋1)2___．12．某剧场共有1050个座位，已知每行的座位数都相同，且每行的座位数比总行数少17，求每行的座位数．解：设每行的座位数为x个，由题意得x(x＋17)＝1050，解得x1＝25，x2＝－42(不合题意，舍去)，则每行的座位数是25个13．有人利用手机发微信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条微信，经过两轮微信的发送，共有56人手机上获得同一条微信，则每轮一个人要向几个人发送微信？解：设每轮一个人要向x个人发微信，由题意得x(x＋1)＝56，解得x1＝7，x2＝－8(不合题意，舍去)，则每轮一个人要向7个人发送微信14．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则1＋x＋x(x＋1)＝64，解得x1＝7，x2＝－9(不合题意，舍去)，即每轮传染中平均一个人传染7个人(2)64×7＝448(人)15．读诗词解题：(通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄)大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？解：设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x－3，由题意得10(x－3)＋x＝x2，解得x1＝5，x2＝6.当x＝5时，周瑜的年龄为25岁，非而立之年，不合题意，舍去；当x＝6时，周瑜的年龄为36岁，符合题意，则周瑜去世时的年龄为36岁16．(1)n边形(n＞3)其中一个顶点的对角线有__(n－3)___条；(2)一个凸多边形共有14条对角线，它是几边形？(3)是否存在有21条对角线的凸多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明理由．解：(2)设这个凸多边形是n边形，由题意得eq\f(n（n－3）,2)＝14，解得n1＝7，n2＝－4(舍去)，则这个多边形是七边形(3)不存在．理由：假设存在n边形有21条对角线，由题意得eq\f(n（n－3）,2)＝21，解得n＝eq\f(3±\r(177),2)，因为多边形的边数为正整数，但eq\f(3±\r(177),2)不是正整数，故不合题意，所以不存在有21条对角线的凸多边形第2课时用一元二次方程解决增降率问题1．若设每次的平均增长(或降低)率为x，增长(或降低)前的数量为a，则第一次增长(或降低)后的数量为__a(1±x)___，第二次增长(或降低)后的数量为__a(1±x)(1±x)___，即__a(1±x)2___．2．某商品进价为a元，售价为b元，则利润为__(b－a)___元，若一天的销售量为c，则总利润为__(b－a)c___元．知识点1：平均变化率问题1．(2014·昆明)某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为(D)A．144(1－x)2＝100B．100(1－x)2＝144C．144(1＋x)2＝100D．100(1＋x)2＝1442．经过两年的连续治理，某城市的大气环境有了明显改善，其每月每平方公里的降尘量从50吨下降到40.5吨，则平均每年下降的百分率是(A)A．10%B．15%C．20%D．25%3.某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为__20%___．4．(2014·沈阳)某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率．解：设这个增长率为x，根据题意得20(1＋x)2－20(1＋x)＝4.8，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－1.2(不合题意，舍去)，则所求增长率为20%知识点2：市场经济问题5．某商场将某种商品的售价从原来的每件40元经两次调价后调至每件32.4元，若该商品两次调价的降价率相同，则这个降价率为__10%___；经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件，若该商品原来每月销售500件，那么两次调价后，每月可销售商品__880___件．6．(2014·巴中)某商店准备进一批季节性小家电，单价40元，经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？解：设每个商品的定价是x元，由题意得(x－40)[180－10(x－52)]＝2000，整理得x2－110x＋3000＝0，解得x1＝50，x2＝60.当x＝50时，进货180－10(x－52)＝200，不舍题意，舍去；当x＝60时，进货180－10(x－52)＝100，符合题意，则该商品应进货100个，定价为60元7．小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？解：设购买了x件这种服装，根据题意得[80－2(x－10)]x＝1200，解得x1＝20，x2＝30.当x＝30时，80－2(30－10)＝40＜50，不符合题意，舍去，∴x＝20，则她购买了20件这种服装8．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是(C)A．50(1＋x2)＝196B．50＋50(1＋x2)＝196C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝1969．(2014·泰安)某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是(A)A．(x＋3)(4－0.5x)＝15B．(x＋3)(4＋0.5x)＝15C．(x＋4)(3－0.5x)＝15D．(x＋1)(4－0.5x)＝1510．(2014·南京)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x.(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为__2.6(1＋x)2___万元；(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x.解：根据题意得4＋2.6(1＋x)2＝7.146，解得x1＝0.1，x2＝－2.1(不合题意，舍去)，∴可变成本平均每年增长的百分率是10%11．某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低x元．(1)填表(不需化简)：时间第1个月第2个月清仓时单价(元)8080－x40销售量(件)200200＋10x800－200－(200＋10x)(2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？解：依据题意，得80×200＋(80－x)(200＋10x)＋40[800－200－(200＋10x)]－50×800＝9000，整理得x2－20x＋100＝0，解得x1＝x2＝10，当x＝10时，80－x＝70＞50，则第二个月的单价应是70元12．某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内(含10部)，每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．(1)若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为__26.8___万元；(2)如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？(盈利＝销售利润＋返利)解：设需要售出x部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润为28－[27－0.1(x－1)]＝(0.1x＋0.9)(万元)．当0＜x≤10，根据题意，得x(0.1x＋0.9)＋0.5x＝12，整理得x2＋14x－120＝0，解得x1＝－20(不合题意，舍去)，x2＝6；当x＞10时，根据题意，得x(0.1x＋0.9)＋x＝12，整理得x2＋19x－120＝0，解得x1＝－24(不合题意，舍去)，x2＝5，因为5＜10，所以x2＝5舍去，则需要售出6部汽车第3课时用一元二次方程解决几何图形问题1．面积(体积)问题属于几何图形的应用题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合、平移成规则图形，找出未知量与__已知量___的内在联系，根据__面积(体积)___公式列出一元二次方程．2．一个正方形的边长增加了3cm，面积相应增加了39cm2，则原来这个正方形的边长为__5___cm.知识点1：一般图形的面积问题1．一个面积为35m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，则这个苗圃的长为(C)A．5mB．6mC．7mD．8m2．(2014·襄阳)用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的长方形．设长方形的长为xcm，则可列方程为(B)A．x(20＋x)＝64B．x(20－x)＝64C．x(40＋x)＝64D．x(40－x)＝643．一个直角三角形的两条直角边相差5cm，面积是7cm2，这两条直角边长分别为__2_cm，7_cm___．4．(2014·湘潭)如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25m)，现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2.解：设AB＝xm，则BC＝(50－2x)m，根据题意得x(50－2x)＝300，解得x1＝10，x2＝15，当x＝10，BC＝50－2×10＝30＞25，故x1＝10不合题意，舍去，∴x＝15，则可以围成AB为15m，BC为20m的矩形知识点2：边框与通道问题5．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上花草．若种植花草的面积为540m2，求道路的宽．如果设道路的宽为xm，根据题意，所列方程正确的是(A)A．(20－x)(32－x)＝540B．(20－x)(32－x)＝100C．(20＋x)(32－x)＝540D．(20－x)(32＋x)＝540,第5题图),第6题图)6．(2014·兰州)如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米，若设道路宽为x米，则根据题意可列出方程__(22－x)(17－x)＝300___．7．如图，某矩形相框长26cm，宽20cm，其四周相框边(图中阴影部分)的宽度相同，都是xcm，若相框内部的面积为280cm2，求相框边的宽度．解：由题意得(26－2x)(20－2x)＝280，整理得x2－23x＋60＝0，解得x1＝3，x2＝20(不合题意，舍去)，则相框边的宽度为3cm8．从一块正方形的木板上锯掉2m宽的长方形木条，剩下的面积是48m2，则原来这块木板的面积是(B)A．100m2B．64m2C．121m2D．144m29．如图，正方形ABCD的边长是1，E，F分别是BC，CD上的点，且△AEF是等边三角形，则BE的长为(A)A．2－eq\r(3)B．2＋eq\r(3)C．2＋eq\r(5)D.eq\r(5)－2,第9题图),第11题图)10．在一个矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边，已知地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方米，则花边的宽为__1___米．11．如图，已知点A是一次函数y＝x－4图象上的一点，且矩形ABOC的面积等于3，则点A的坐标为__(3，－1)或(1，－3)___．12．如图是一个矩形花园，花园的长为100米，宽为50米，在它的四角各建一个同样大小的正方形观光休息亭，四周建有与观光休息亭等宽的观光大道，其余部分(图中阴影部分)种植的是不同花草．已知种植花草部分的面积为3600平方米，那么花园各角处的正方形观光休息亭的边长为多少米？解：设正方形观光休息亭的边长为x米，依题意得(100－2x)(50－2x)＝3600，整理得x2－75x＋350＝0，解得x1＝5，x2＝70，∵x2＝70＞50，不合题意，舍去，∴x＝5，即矩形花园各角处的正方形观光休息亭的边长为5米13．小林准备进行如下操作实验：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，小林该怎么剪？(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2.”他的说法对吗？请说明理由．解：(1)设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为(10－x)cm，由题意得x2＋(10－x)2＝58，解得x1＝3，x2＝7，4×3＝12，4×7＝28，所以小林应把绳子剪成12cm和28cm的两段(2)假设能围成．由(1)得，x2＋(10－x)2＝48，化简得x2－10x＋26＝0，因为Δ＝b2－4ac＝(－10)2－4×1×26＝－4＜0，所以此方程没有实数根，所以小峰的说法是对的14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．(1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2?(2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm?(3)在问题(1)中，△PBQ的面积能否等于7cm2？说明理由．解：(1)设x秒后，△PBQ的面积等于4cm2，根据题意得x(5－x)＝4，解得x1＝1，x2＝4.∵当x＝4时，2x＝8＞7，不合题意，舍去，∴x＝1(2)设x秒后，PQ的长度等于5cm，根据题意得(5－x)2＋(2x)2＝25，解得x1＝0(舍去)，x2＝2，∴x＝2(3)设x秒后，△PBQ的面积等于7cm2，根据题意得x(5－x)＝7，此方程无解，所以不能专题训练(二)一元二次方程的实际应用一、循环、传播问题1．我们知道，传销能扰乱一个地方正常的经济秩序且是国家法律明令禁止的，你了解传销吗？某传销组织现有两名头目，他们计划每人发展若干数目的下线，每个下线成员再发展同样数目的下线成员，经过两轮发展后共有成员114人，每个人计划发展下线多少人？解：设每个人计划发展下线x人，由题意得2＋2x＋2x2＝114，解得x1＝7，x2＝－8(不合题意，舍去)，∴每个人计划发展下线7人2．参加一次篮球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛30场，共有多少个队参加比赛？解：设共有x个队参加比赛，由题意得x(x－1)＝30，解得x1＝6，x2＝－5(不合题意，舍去)，∴x＝6，则共有6个队参加比赛二、增长率与利润问题3．(2014·桂林)电动自行车已成为市民日常出行的首选工具．据某市某品牌电动自行车经销商1月至3月统计，该品牌电动自行车1月销售150辆，3月销售216辆．(1)求该品牌电动车销售量的月平均增长率．(2)若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价为2800元，则该经销商1月至3月共盈利多少元？解：(1)设月平均增长率为x，由题意得150(1＋x)2＝216，解得x1＝0.2，x2＝－2.2(不合题意，舍去)，∴x＝0.2＝20%，即月平均增长率为20%(2)由(1)得2月份的销售量为150×(1＋20%)＝180，则1月至3月的销售总量为150＋180＋216＝546(辆)，∴1月至3月共盈利(2800－2300)×546＝27300(元)4．某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售(根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价)，单价降低x元销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？解：由题意得200×(10－6)＋(10－x－6)(200＋50x)＋(4－6)[600－200－(200＋50x)]＝1250，整理得x2－2x＋1＝0，解得x1＝x2＝1，∴10－x＝9，则第二周的销售价格为9元

5.某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．(1)求平均每次下调的百分率；(2)某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元．请问哪种方案更优惠？解：(1)设平均每次降价的百分率为x，依题意得5000(1－x)2＝4050，解得x1＝10%，x2＝eq\f(19,10)(不合题意，舍去)，则平均每次降价的百分率为10%(2)方案①的房款是4050×100×0.98＝396900(元)，另外需在两年内付物业管理费1.5×100×12×2＝3600(元)；方案②的房款是4050×100＝405000(元)，故在同等条件下方案①需付款396900＋3600＝400500(元)．∵400500＜405000，∴选方案①更优惠三、几何图形问题6．如图，AO＝OB＝50cm，OC是一条射线，OC⊥AB，一蚂蚁由A以2cm/s的速度向B爬行，同时另一蚂蚁由O点以3cm/s的速度沿OC方向爬行，问几秒钟后两蚂蚁与O点组成的三角形面积等于450cm2?解：分两种情况讨论：(1)当由A点出发的蚂蚁到达O点之前，设离开A点ts后，两蚂蚁与O点组成的三角形面积等于450cm2，根据题意得eq\f(1,2)(50－2t)·3t＝450，整理得t2－25t＋150＝0，解得t1＝15，t2＝10；(2)当由A点出发的蚂蚁爬完OA这段距离用了eq\f(50,2)＝25(s)后，开始由O向B爬行，设从O点开始x秒钟后，两蚂蚁与O点组成的三角形面积等于450cm2，根据题意得eq\f(1,2)·2x·3(25＋x)＝450，整理得x2＋25x－150＝0，解得x1＝5，x2＝－30(不合题意，舍去)，当x＝5时，x＋25＝30，这只蚂蚁已由A点爬行了30s．综上可知，分别在10s，15s，30s时，两蚂蚁与O点组成的三角形面积等于450cm27．在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案．(1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由；(2)你还有其他的设计方案吗？请你设计出草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明．解：(1)不符合．设小路宽度均为xm，根据题意得(16－2x)(12－2x)＝eq\f(1,2)×16×12，解得x1＝2，x2＝12，但x2＝12不符合题意，应舍去，∴x＝2，故小芳的方案不符合条件，小路的宽度均为2m(2)答案不唯一，略第二十二章(这是单页眉，请据需要手工删加)第二十二章二次函数22．1二次函数的图象和性质22．1.1二次函数1．设一个正方形的边长为x，则该正方形的面积y＝__x2___，其中变量是__x，y___，__y___是__x___的函数．2．一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(__a，b，c为常数且a≠0___)的函数，叫做二次函数，其中x是自变量，a，b，c分别为二次项系数、一次项系数、常数项．知识点1：二次函数的定义1．下列函数是二次函数的是(C)A．y＝2x＋1B．y＝－2x＋1C．y＝x2＋2D．y＝0.5x－22．下列说法中，正确的是(B)A．二次函数中，自变量的取值范围是非零实数B．在圆的面积公式S＝πr2中，S是r的二次函数C．y＝eq\f(1,2)(x－1)(x＋4)不是二次函数D．在y＝1－eq\r(2)x2中，一次项系数为13．若y＝(a＋3)x2－3x＋2是二次函数，则a的取值范围是__a≠－3___．4．已知二次函数y＝1－3x＋2x2，则二次项系数a＝__2___，一次项系数b＝__－3___，常数项c＝__1_