七年级数学上册考点02 一元一次方程应用题（解析版）

/考点02一元一次方程应用题知识框架基础知识点：知识点1用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．要点诠释：（1）“审”指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，及它们之间的关系，寻找等量关系；（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．知识点2建立书写模型常见的数量关系1）公式形数量关系生活中许多数学应用情景涉及如周长、面积、体积等公式。在解决这类问题时，必须通过情景中的信息，准确联想有关的公式，利用有关公式直接建立等式方程。长方形面积=长×宽长方形周长=2（长+宽）正方形面积=边长×边长正方形周长=4边长2）约定型数量关系利息问题，利润问题，质量分数问题，比例尺问题等涉及的数量关系，像数学中的公式，但常常又不算数学公式。我们称这类关系为约定型数量关系。3）基本数量关系在简单应用情景中，与其他数量关系没有什么差别，但在较复杂的应用情景中，应用方法就不同了。我么把这类数量关系称为基本数量关系。单价×数量=总价速度×时间=路程工作效率×时间=总工作量等。知识点3分析数量关系的常用方法1）直译法分析数量关系将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。2）列表分析数量关系当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。3）图解法分析数量关系用图形表示题目中的数量关系，这种方法能帮助我们透彻地理解题意，并可直观形象的体会题意。在行程问题中，我们常常用此类方法。重难点题型题型1分段计费问题解题技巧：此类题型，收费往往因为不同的分段，标准会不一样。因此，在列写此类问题的等式方程时，需要先依据题意将路程进行合理分段，然后在按照不同分段中的收费标准列写等式方程。常见试题背景：水费、电费、气费、车费、纳税、社保医保体系等1．（2021·浙江杭州·七年级期末）为了鼓励市民节约用水，某区居民生活用水按阶梯式水价计费．居民在一年内用水在不同的定额范围内，执行不同的水价，其中水价＝供水价格＋污水处理费．具体价格如表：类别户年用水量（立方米）水价（立方米）供水价格（元/立方米）污水处理费（元/立方米）居民生活用水一户一表阶梯一0--216（含）1.901.00阶梯二216—300（含）2.85阶梯三300以上5.70该区一居民家发现2020年7月份比6月份多用10立方米水，7月份水费为86.4元，比6月份多了55.6元，则该居民家7月份属阶梯二的用水量为（）A．22立方米 B．18立方米 C．13立方米 D．12立方米【答案】D【分析】根据题意，阶梯一、二、三阶段的水价，分别计算6、7月份用水量同在第一、二、三阶段时10方水的价格，得到7月份用水量跨二、三阶段，而六月份用水量在第二阶段，从而得到6月份用水量为8立方米，7月份用水量为18立方米，设7月份第二阶段用水量为立方米，则第三阶段用水量为立方米．根据题意列方程求解即可．【详解】解：根据题意，阶梯一、二、三阶段的水价分别为：2.90/立方米、3.85/立方米、6.70元/立方米；若6、7月份用水量同在第一阶段，则两月水费差应为元；若6、7月份用水量同在第二阶段，则两月水费差应为元；若6、7月份用水量同在第三阶段，则两月水费差应为元；由于两实际水费差为55.6元，38.5＜55.6＜67，由题意可知，7月份用水量跨二、三阶段，而六月份用水量在第二阶段，易算出6月份用水量为立方米，则7月份用水量则为18立方米．设7月份第二阶段用水量为立方米，则第三阶段用水量为立方米．列出方程：；解得：．故选D．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意确定6、7月份用水量所在阶梯，进而得到两个月的用水量是解题关键．2．（2021·福建省福州延安中学七年级期末）随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们的出行方式有了更多的选择．下图是某市两种网约车的收费标准，例：乘车里程为30公里，若选乘出租车，费用为：（元）；若选乘曹操出行（快选），费用为：（元）请回答以下问题：（1）小明家到学校的路程是10公里．如果选乘出租车，车费为元；如果选乘曹操出行（快选），车费为元．（2）周末小明有事外出，要选乘网约车，如果乘车费用预算为25元，他的行车里程数最大是多少公里？（3）元旦期间，小明外出游玩，约车时发现曹操出行（快选）有优惠活动：总费用打八折．于是小明决定选乘曹操出行（快选）．付费后，细心的小明发现：相同的里程，享受优惠活动后的曹操出行（优选）的费用还是比出租车多了1.8元，求小明乘车的里程数．【答案】（1）29.4；40；（2）8；（3）6公里或15公里【分析】（1）根据两种行程方式的收费标注计算即可．（2）设行车里程数为x公里，分别求出两种方式的行车里程数，在比较大小．（3）设小明乘车里程数为y公里，分三种情况列方程解决问题．【详解】解：（1）出租车：14+2.2×（10-3）=14+15.4=29.4（元）；曹操出行10+2.4×10+0.4××60=10+24+6=40（元）．（2）设他的行车里程数为x公里，因为25＜29.4，25＜40，故x＜10．出租车：14+2.2×（x-3）=25，解得：x=8．曹操出行：10+2.4

x+0.4××60＝25，解得：x=5．∵8＞5，∴小明行车路程数最大是8公里．（3）设小明乘车的里程数为y公里．①y≤3时，[10+2.4y+0.4××60]×0.8-14=1.8，解得：y=3.25＞3（舍去）．②3＜y≤10时，[10+2.4y+0.4××60]×0.8-[14+2.2×（y-3）]=1.8，解得：y=6．③y＞10时，[10+2.4y+0.8×（y-10）+0.4××60]×0.8-[14+2.2×（y-3）+（y-10）]=1.8，解得：y=15．综上所述，小明乘车里程数为6公里或15公里．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键．3．（2021·浙江九年级期末）我国最新的个人所得税“起征点”是5000元，即月工资超过5000元的部分需要缴纳税收，具体如下表．其中应纳税所得额=月工资-5000-专项扣除金额-依法确定的其他扣除金额．2020年个人所得税税率表（工资薪金所得适用）级数应纳税所得额税率10至3000元的部分3%2超过3000元至12000元的部分10%3超过12000元至25000元的部分20%4超过25000元至35000元的部分25%5超过35000元至55000元的部分30%（1）某员工的应纳税所得额为4000元，求该员工缴纳的税额是多少?（2）我国专项扣除的常见项目及金额如下：①每个子女教育扣除2000元；②住房贷款扣除2000元；③赡养每位老人扣除2000元．某公司一技术专家的月工资是40000元，他有1个读初中的子女、一套住房的贷款和赡养2位老人，则该技术专家缴纳的税额是多少元?（3）公益捐赠属于依法确定的其他扣除项目，在（2）的基础上，该技术专家在三月份参加了公益捐赠活动后，实际收入33610元，求该技术专家在三月份捐赠了多少元?【答案】（1）190元；（2）4090元；（3）3000元【分析】（1）利用应缴纳的税额=3000×3%+超出3000元的部分×10%，即可求出结论；（2）利用应纳税所得额=月工资-500-专项扣除金额，可求出该技术专家的应纳税所得额，利用应缴纳的税额=3000×3%+（12000-3000）×10%+（25000-12000）×20%+超出25000元的部分×25%，即可求出结论；（3）设该技术专家在三月份捐赠了x元，分x＜2000及x＞2000两种情况考虑，由该技术专家在三月份的实际收入33610元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：（1）3000×3%+（4000-3000）×10%=190（元）．答：该员工缴纳的税额是190元．（2）该技术专家的应纳税所得额为40000-5000-2000-2000-2000×2=27000（元），3000×3%+（12000-3000）×10%+（25000-12000）×20%+（27000-25000）×25%=4090（元）．答：该技术专家缴纳的税额是4090元．（3）设该技术专家在三月份捐赠了x元．当x＜2000时，3000×3%+（12000-3000）×10%+（25000-12000）×20%+（27000-x-25000）×25%=40000-x-33610，解得：x=（不合题意，舍去）；当x＞2000时，3000×3%+（12000-3000）×10%+（27000-x-12000）×20%=40000-x-33610，解得：x=3000．答：该技术专家在三月份捐赠了3000元．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，列式计算；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．4．（2021·湖北七年级期末）下表中有两种移动电话计费方式．月使用费主叫限定时间主叫超时费被叫方式一48元50min0.2元/min免费方式二98元320min0.15元/min免费（1）若每月的主叫时间为x分钟（x为正整数），请填写下表（直接填写化简后的结果）：主叫时间x（min）方式一计费（元）方式二计费（元）0＜x≤5050＜x≤320x＞320（2）若你的月主叫时间超过50min，但不超过320min，要选择计费更低的计费方式，请你做出选择，并说明理由．【答案】（1）填表后见详解；（2）50＜x＜300时，选择方式一计费更低；x＝300时，计费一样；300＜x≤320时，选择方式二计费更低【分析】（1）根据表中数据可直接得出：当0＜x≤50时，方式一和方式二的计费；当50＜x≤320时，方式一的计费方式需要列出相应的代数式，根据总费用等于月使用费用加主叫超时费用即可得出，方式二还是可直接从表中读出计费；当x＞320时，方式一和方式二都根据总费用计算方法列代数式即可；（2）在50＜x≤320范围内，先根据（1）所列代数式，找到方式一和方式二费用相同时的限定时间为，然后将50＜x≤320分为50＜x＜300、300＜x≤320进行讨论，即可确定在什么情况下，选择何种方式计费更低．【详解】（1）根据图表可得：当0＜x≤50时，方式一计费为48元，方式二计费为98元；当50＜x≤320时，方式一计费为：，方式二计费为98元；当x＞320时，方式一计费为：，方式二计费为：．填表后如下：主叫时间x（min）方式一计费（元）方式二计费（元）0＜x≤50489850＜x≤3200.2x＋3898x＞3200.2x＋380.15x＋50（2）由，得．当50＜x＜300时，可知0.2x＋38＜98，此时选择方式一计费更低；当x＝300时，选择方式一与方式二，计费一样；当300＜x≤320时，可知0.2x＋38＞98，此时选择方式二计费更低．【点睛】题目主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是根据表中的数据和已知条件列出相应的代数式和方程，然后根据方程的解得出最省钱的方式．5．（2021·聊城市茌平区实验中学七年级期末）为鼓励居民节约用电，某省试行阶段电价收费制，具体执行方案如表：档次每户每月用电数度执行电价元度第一档小于等于200部分第二档大于200且小于等于400部分第三档大于400部分（1）若一户居民七月份用电420度，则需缴电费多少元？（2）若一户居民某月用电x度大于200且小于，则需缴电费多少元？用含x的代数式表示（3）某户居民五、六月份共用电500度，缴电费262元．已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、六月份的用电量均小于400度，问该户居民五、六月份各用电多少度？【答案】（1）需缴电费236元；（2）(0.6x-20)元；（3）该户居民五月份用电180度，六月份用电320度．【分析】（1）根据阶梯电价收费制，用电420度在第三档，则需缴电费，计算即可；（2）根据阶梯电价收费制，用电度大于200小于，需交电费，化简即可；（3）设五月份用电度，则六月份用电度，分两种情况进行讨论：①；②．【详解】解：（1）元．答：需缴电费236元；（2）（元）；（3）设五月份用电x度，则六月份用电度．分两种情况：第一种情况:当时，，解得，；第二种情况:当时，250≤500-x≤400，，，无解，所以，该户居民五月份用电180度，六月份用电320度．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．6．（2021·浙江杭州·七年级期末）为充分发挥市场机制和价格杠杆在水资源配置中的作用，促进节约用水，提高用水效率，2017年7月1日起某地实行阶梯水价，价目如表（注：水费按月结算，表示立方米）：价目表每月用水量单价（元/）不超过18的部分3超出18不超出25的部分4超出25的部分7例：某户居民5月份共用水，则应缴水费（元）．（1）若A居民家1月份共用水，则应缴水费_______元；（2）若B居民家2月份共缴水费66元，则用水________；（3）若C居民家3月份用水量为（a低于，即），且C居民家3、4两个月用水量共，求3、4两个月共缴水费多少元？（用含a的代数式表示）【答案】（1）36；（2）21；（3）a＜15时，（187-4a）元；15≤a≤18时，（142-a）元；18＜a≤20时，124元【分析】（1）A居民家1月份共用水12m3，则按第一档缴费，3×12=36（元）；（2）B居民家由于2月份缴水费66元，用水超过了18m3，设用水xm3，根据缴费的形式得到3×18+（x-18）×4=66，然后解方程即可；（3）分类讨论：当a＜15；当15≤a≤18；当18＜a≤20，然后根据各段的缴费列代数式．【详解】解：（1）∵12＜18，∴应缴水费12×3=36（元），故答案为：36；（2）由题意可算出，x≤15时，水费不高于54元，X≥25时，水费不低于82元，设B居民家2月份用水xm3，∴3×18+4×（x-18）=66，解得x=21．故答案为：21．（3）①当a＜15时，4月份的用水量超过25m3共缴水费：3a+3×18+4（25-18）+7（40-a-25）=187-4a，②当15≤a≤18时，4月份的用水量不低于22m3且不超过25m3共缴水费：3a+3×18+4（40-a-18）=142-a，③当18＜a≤20时，4月份的用水量超过20m3且不超过22m3共缴水费：3×18+4（a-18）+3×18+4（40-a-18）=124．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用及列代数式，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程，注意分类讨论思想的理解运用．题型2几何问题（等积问题）解题技巧：图形无论如何切割或边形，其面积或体积始终不变，利用这个不变的特点，列写等式方程。1．（2021·重庆市天星桥中学七年级月考）（选自《课堂导报》27期）第26届世界大学生运动会于2011年8月12日至8月23日在我国深圳举办，假如一比赛场馆内的地面瓷砖按如图（图中每块瓷砖均一样）所示的方式拼放，相关数据如图所示，设瓷砖的长为，则可列出的方程是______________．【答案】2x=x+3（60-x）【分析】设瓷砖的长为xcm，则瓷砖的宽为（60-x）cm，根据长方形的对边相等，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【详解】解：设瓷砖的长为xcm，则瓷砖的宽为（60-x）cm，依题意得：2x=x+3（60-x）．故答案为：2x=x+3（60-x）．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正值列出一元一次方程是解题的关键．2．（2021·浙江）实验室里，水平桌面上有半径相同的甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），用两个相同的管子在容器的高度处连通（即管子底端离容器底）．现三个容器中，只有甲中有水，水位高，如图所示，若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升，则开始注入_____分钟的水量后，乙的水位高度比甲的水位高度高．【答案】3或9.3【分析】在容器乙中的水未注入容器甲之前，注入的水仅存放在乙、丙容器内；在容器乙中的水注入容器甲之后，注入容器乙和丙中的水流入到甲容器中，在注入的过程中产生0.5cm的高度差．【详解】解：当容器乙中的水未注入容器甲之前，由题意，注入单个容器中水位上升的高度与时间的关系为/分钟，所以当乙中水位为2.5cm时满足条件，所用时间为：2.5÷=3（分钟）；当容器乙中的水注入容器甲之后，当甲容器中的水位为5.5cm，容器乙中的水位为6cm时，满足题意，设注水时间为x，则2×x+2=2×6+5.5，解得x=9.3（分钟），要使乙中水位高出甲0.5cm，则需注水的时间为：9.3分钟．故答案为：3或9.3．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，根据题意分析产生水位差的两种情况是解答本题的关键点，建立方程时要注意甲容器中原有的水．3．（2021·山西临汾·七年级期中）在一个底面直径为6cm，高为9cm的圆柱形瓶内注水，使水柱的高为5cm，向瓶中放入一块长、宽、高分別为2cm，2cm，4cm的长方体铁块，则此时水柱的高为（）（取3）A．cm B．cm C．cm D．cm【答案】D【分析】利用长方体及圆柱的体积公式列出方程求解即可．【详解】解：设水面将增高，由题意可得，，解得，．此时水柱的高为，故选：D．【点睛】本题主要考查了体积公式，解题的关键是利用长方体及圆柱的体积公式列出方程．4．（2021·江苏）如图，是由7块正方形组成的长方形，已知中间小正方形的边长为1，则这个长方形的面积为（）A．63 B．72 C．99 D．110【答案】A【分析】设出正方形的边长，进而表示出其他正方形的边长，根据长方形的长相等列出方程，求出方程的解得到的值，进而求出长方形的面积即可．【详解】解：设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，根据图形得：，解得：，则长方形的面积为．故选：A．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，弄清图形中的数量关系是解本题的关键．5.（2021·浙江）如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的底面半径为，容器内水的高度为，把一根半径为的玻璃棒垂直插入水中，水不会溢出，则容器内的水将升高________cm．【答案】0.5【分析】根据题意，得等量关系为：容器的底面积×容器中水的原来高度+玻璃棒的截面积×（容器中水的高度+水增加的高度）=容器的底面积×（容器中水原来的高度+水增加的高度）．【详解】解：设容器内的水将升高xcm，依题意有：π×102×12+π×22（12+x）=π×102（12+x），1200+4（12+x）=100（12+x），1200+48+4x=1200+100x，96x=48，x=0.5．故容器内的水将升高0.5cm．故答案为：0.5．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．6．（2021·哈尔滨德强学校七年级期中）2020年国庆前夕，德强中学七年级筹备篝火晚会时，使用如图8张正方形泡沫板拼成一个长方形展板，其中最小的两个正方形边长均为1米；（1）请求出其中最大的正方形边长；（2）展板的绘制任务由七年级美术小组的同学共同完成，小组中每名同学每小时能够绘制2平方米展板，绘制5小时后有4名同学离开，其余同学继续绘制4小时后完成展板绘制，求美术小组共有多少名同学．【答案】（1）其中最大正方形的边长为7米；（2）美术小组共9名同学．【分析】（1）可设第二小的正方形的边长为x米，则五种正方形的边长从小到大依次为1米，x米，（x+1）米，（x+3）米，（x+4）米，再根据长方形展板上下两对边相等列出方程即可求出x，最大正方形边长也就是（x+4）米；（2）根据（1）可求出展板的面积，设美术组同学为y名，根据题意列方程解方程即可．【详解】解：（1）设第二小的正方形的边长为x米，则五种正方形的边长从小到大依次为1米，x米，（x+1）米，（x+3）米，（x+4）米，根据长方形展板上下两对边相等列方程得（x+3）+（x+4）＝（x+1）+x+x+x，解得x＝3，x+4＝7（米），答：其中最大正方形的边长为7米；（2）根据（1）得展板的长为（x+3）+（x+4）＝13（米），展板的宽为（x+4）+x＝10（米），∴展板的面积为13×10＝130（平方米），设美术组共有y名同学，根据题意列方程得2×[5y+4（y﹣4）]＝130，解得y＝9，答：美术小组共9名同学．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程求解．题型3行程问题解题技巧：行程问题总公式为：路程=速度×时间。行程问题可分为3大类，不同类型的问题，在求解速度时有所不同，具体如下：①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间Ⅱ．寻找相等关系：同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度，顺水速度－逆水速度＝2×水速；Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．1.相遇问题（相向问题）1．（2021·天津和平·七年级期末）某中学学生军训，沿着与笔直的铁路并列的公路匀速前进，每小时走4.5千米．一列火车以每小时120千米的速度迎面开来，测得从火车头与队首学生相遇，到车尾与队末学生相遇，共经过12秒．如果队伍长150米，那么火车长（）A．150米 B．215米 C．265米 D．310米【答案】C【分析】先将12秒化为小时，设火车长x千米，然后根据学生行驶的路程+火车的路程＝火车的长度+学生队伍的长度列方程求解即可，注意单位换算．【详解】解：12秒＝小时，150米＝0.15千米，设火车长x千米，根据题意得：×(4.5+120)＝x+0.15，解得：x＝0.265，0.265千米＝265米．答：火车长265米．故选：C．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键是理解题意，找到正确的等量关系．2．（2021·广东七年级期末）已知A、B两站间的距离为480千米，一列慢车从A站出发，一列快车从B站出发，慢车的平均速度为60千米/时，快车的平均速度为100千米/时，如果两车同时出发，慢车在前，快车在后，同向而行，那么出发后________小时两车相距80千米．【答案】10或14【分析】可设出发后x小时两车相距80千米，分两种情况：两车相距80千米时慢车在前；两车相距80千米时快车在前列方程，解方程即可求解．【详解】解：设出发后x小时两车相距80千米，当慢车在前时，100x﹣60x＝480﹣80，解得x＝10，当快车在前时，100x﹣60x＝480+80，解得x＝14，答：出发后10小时或14小时两车相距80千米，故答案为：10或14．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，涉及路程问题，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．3．（2021·河南七年级期中）学校操场的环形跑道长400米，小聪的爸爸陪小聪锻炼，小聪跑步每秒行2.5米，爸爸骑自行车每秒行6.5米，两人从同一地点出发，同向而行，每隔________秒两人相遇一次．【答案】100【分析】设每隔x秒两人相遇一次，根据二者速度之差×时间=跑道长度，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设每隔x秒两人相遇一次，

根据题意得：（6.5-2.5）x=400，解得：x=100．

答：每隔100秒两人相遇一次．故答案为：100．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．4．（2021·黑龙江七年级期末）已知A、B两地相距800米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，沿着同一条直线公路相向而行．若甲以6米/秒的速度骑自行车前进，乙以4米/秒的速度步行，则经过_____秒两人相距100米．【答案】70或90【分析】设经过x秒两人相距100米，分两人相遇前及相遇后两种情况考虑，当两人未相遇前，利用甲骑行的路程+乙步行的路程+100=A、B两地间的距离，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；当两人相遇后，根据甲骑行的路程+乙步行的路程-100=A、B两地间的距离，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设经过x秒两人相距100米，

当两人未相遇前，6x+4x+100=800，解得：x=70；

当两人相遇后，6x+4x-100=800，解得：x=90．故答案为：70或90．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．5．（2021·宁阳县第二十四中学期末）一个自行车赛车队进行训练，训练时所有队员都以的速度前进，突然一号队员以的速度独自行进后掉转车头，仍以的速度往回骑，直到与其他队员会合，一号队员从离队开始到与队员重新会合，经过了多长时间？【答案】【分析】设一号队员从离队开始到与队员重新会合，经过了，根据题意列方程求解即可．【详解】解：设一号队员从离队开始到与队员重新会合，经过了，由题意得：，解得．答：一号队员从离队开始到与队员重新会合，经过了．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，理解题意找到题中的等量关系列出方程是解题的关键．6．（2021·青岛大学附属中学七年级期末）、两地相距，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发，图中，表示两人离地的距离与时间的关系，结合图像回答下列问题：（1）表示乙离开地的距离与时间关系的图像是（填或），甲的速度是；乙的速度是．（2）甲出发后多少时间两人恰好相距？（利用方程解决，写出解答过程）【答案】（1）l2，30，20；（2）1.3小时或1.5小时【分析】（1）根据“甲先出发”和函数图象，可以得到，分别表示甲、乙的函数图象，再计算出甲和乙的速度即可；（2）设甲出发t小时后两人恰好相距5km，分两人相遇前和两人相遇后两种情况讨论即可．【详解】（1）甲先出发，由图像可知，分别表示甲、乙的函数图像，甲的速度为：，乙的速度为：，故答案为：l2，30，20；（2）设甲出发t小时后两人恰好相距5km，两人相遇前：，解得：t=1.3,两人相遇后，，解得：t=1.5甲出发1.3小时或1.5小时后两人恰好相距5km．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解图象中的特殊点，如交点、起点等表示的意义．7．（2021·广东七年级期末）如图，A、B两地相距90千米，从A到B的地形依次为：60千米平直公路，10千米上坡公路，20千米平直公路．甲从A地开汽车以120千米/小时的速度前往B地，乙从B地骑摩托车以60千米/小时的速度前往A地，汽车上坡的速度为100千米/小时，摩托车下坡的速度为80千米/小时，甲、乙两人同时出发．（1）求甲从A到B地所需要的时间．（2）求两人出发后经过多少时间相遇？（3）求甲从A地前往B地的过程中，甲、乙经过多少时间相距10千米？【答案】（1）小时；（2）小时；（3）或小时【分析】（1）分段求出所需时间，相加即可得到甲从A到B地所需要的时间；（2）先判断在哪段相遇，再根据题意列出正确的方程即可求解；（3）先判定甲从A地前往B地的过程中，甲、乙有两次相距10千米的机会，分情况求解即可．【详解】（1）甲在段所需时间为：小时，甲在段所需时间为：小时，甲在段所需时间为：小时，所以甲从A到B地所需要的时间为小时．答：甲从A到B地所需要的时间为小时．（2）乙在段所需时间为：小时，乙在段所需时间为：小时，，甲在段所需时间为，甲乙会在段相遇，同时出发，则甲走了小时，走了千米，甲乙相遇时间为小时．答：两人出发后经过小时相遇．（3）设甲，乙经过小时后，两人相距10千米，①相遇前，相距10千米，甲在上，乙在上，此时，甲走的路程为：，乙走的路程为：，，解得：②相遇后，相距10千米，甲在上，乙在上，此时，甲的路程为，乙的路程为，，解得：甲从地前往地的过程中，甲，乙经过或小时相距10千米．答：甲从地前往地的过程中，甲，乙经过或小时相距10千米．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是根据题意列出正确的方程．2.追及问题（同向问题）1．（2021·江苏扬州·中考真题）扬州雕版印刷技艺历史悠久，元代数学家朱世杰的《算学启蒙》一书曾刻于扬州，该书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天追上慢马？答：快马_______天追上慢马．【答案】20【分析】设良马行x日追上驽马，根据路程=速度×时间结合两马的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设快马行x天追上慢马，则此时慢马行了（x+12）日，依题意，得：240x=150（x+12），解得：x=20，∴快马20天追上慢马，故答案为：20．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．2．（2021·方城县基础教育教学研究室七年级期末）如图所示，甲､乙两人沿着边长为70米的正方形，按的方向行走．甲从点以65米/分的速度行走，乙从点以72米/分的速度行走，甲､乙两人同时出发，当乙第一次追上甲时，所在正方形的边为（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】设乙x分钟后追上甲，根据乙追上甲时，比甲多走了70×3＝210米，可得出方程，求出时间后，计算乙所走的路程，继而可判断在哪一条边上相遇．【详解】解：设乙第一次追上甲用了x分钟，

由题意得：72x−65x＝70×3，解得：x＝30，

而72×30＝2160＝70×30＋60，30÷4＝7…2，

所以乙走到D点，再走60米即可追上甲，即在AD边上．

答：乙第一次追上甲是在AD边上．故选：D．【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握行程问题中追击问题的基本数量关系是解决问题的关键．3．（2021·四川内江·）2020年12月30日，连云港市图书馆新馆正式开馆．小明同学从家步行去图书馆，他以的速度行进后，爸爸骑自行车以的速度按原路追赶小明．设爸爸出发后与小明会合，那么所列方程正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】设爸爸出发后与小明会合，则此时小明出发了h，利用路程=速度×时间，结合会合时两人行走（或骑行）的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，即可．【详解】解：设爸爸出发后与小明会合，则此时小明出发了h，依据题意得：，故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题关键．4．（2021·全国七年级课时练习）小明每天早晨在8时前赶到离家的学校上学．一天，小明以的速度从家出发去学校，后，小明爸爸发现小明的语文书落在家里，于是，立即以的速度去追赶．则小明爸爸追上小明所用的时间为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】小明走的总路程与爸爸走的路程相同，根据题意列出方程即可．【详解】解：设小明爸爸追上小明所用的时间为，则小明走的路程为，小明的爸爸走的路程为，由题意列式得：，解得：．即小明爸爸追上小明所用的时间为4分钟．故选：C【点睛】本题考查一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题关键．5．（2021·全国七年级课时练习）A，B两地相距，甲车以的速度从A地驶向B地，当甲车行驶后，乙车以的速度沿着相同的道路从A地驶向B地．设乙车出发后追上甲车，根据题意可列方程为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】设乙车出发x小时后追上甲车，等量关系为：甲车行驶的路程乙车行驶的路程，据此列方程．【详解】设乙车出发后追上甲车，等量关系为甲车行驶的路程乙车行驶的路程，据此列方程为．故选：A.【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．6．（2021·湖南广益实验中学七年级期末）我国古代著名著作《算学启蒙》中有这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一直五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”题意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，则快马追上慢马需（）A．20天 B．21天 C．22天 D．23天【答案】A【分析】设快马x天可以追上慢马，根据慢马先行的路程=快慢马速度之差×快马行走天数，即可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设快马x天可以追上慢马，由题意，得240x﹣150x＝150×12，解得：x＝20．答：快马20天可以追上慢马．故选：A．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系列出关于x的一元一次方程是解题的关键．3.航行问题（顺逆风问题）1．（2021·哈尔滨德强学校七年级期中）一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时．若水流速度是3千米/时，则甲、乙两码头之间的距离是_____千米．【答案】60【分析】设船在静水中的速度为x千米/小时，根据顺流速度＝静水速度+水流速度逆流速度＝静水速度﹣水流速度，列出方程，求出方程的解即可；根据求出的船在静水中的速度，再根据路程＝顺流的时间×顺流的速度，列出算式，进行计算即可．【详解】解：设船在静水中的速度为x千米/小时，根据题意得：（x+3）×2＝（x﹣3）×2.5，解得：x＝27，即：船在静水中的速度是27千米/小时，（27+3）×2＝60（千米）；故答案是：60．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系进行求解．2．（2021·湖北七年级期末）轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用2h，船在静水中的速度为26km/h，水速为2km/h．设A港和B港相距xkm．根据题意，列出的方程是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】设A港和B港相距x千米，根据行船问题公式可知，顺水速度较快，所用时间较少，所以利用行程问题公式，列方程为：，变形为：，据此选择．【详解】解：设A港和B港相距x千米，，变形为：∴方程为：故选B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，抓住关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．顺水速度=水流速度+静水速度，逆水速度=静水速度-水流速度．3．（2021·青岛市崂山区第三中学七年级开学考试）一辆货轮往返于上下两个码头，逆流而上需用38小时，顺流而下需用32小时，若水流速度为8千米/时，则下列求两码头距离的方程正确的是()A．. B． C． D．【答案】A【分析】首先要知道：，，利用，而与分别是与，因为，得出．【详解】解：设两码头距离，根据题意得出：，得出．故选：A．【点睛】此题主要考查了静水速度与逆水速度和顺水速度以及与水速之间的关系，正确得出它们之间的等量关系是解题关键．4．（2021·杭州市公益中学七年级期末）某轮船在两个码头之间航行，顺水航行需4h，逆水航行需6h，水流速度是2km/h，求两个码头之间的距离，我们可以设两个码头之间的距离为xkm，得到方程（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用速度=路程÷时间结合船在静水中的速度不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【详解】解：依题意得：，故选：B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．5．（2020·河北饶阳·初一期末）轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时，若船速为26千米/时，水速为2千米/时，求A港和B港相距多少千米．设A港和B港相距x千米．根据题意，可列出的方程是：()A．B．C．D．【答案】A【分析】轮船沿江从A港顺流行驶到B港，则由B港返回A港就是逆水行驶，由于船速为26千米/时，水速为2千米/时，则其顺流行驶的速度为26+2=28千米/时，逆流行驶的速度为：26-2=24千米/时．根据“轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时”，得出等量关系：轮船从A港顺流行驶到B港所用的时间=它从B港返回A港的时间-3小时，据此列出方程即可．【解析】解：设A港和B港相距x千米，由题意可得方程：，故选A.【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，抓住关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．顺水速度=水流速度+静水速度，逆水速度=静水速度-水流速度．6．（2020·新疆初一期末）一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了3小时．已知水流的速度是3千米/时，求船在静水中的平均速度．【答案】静水平均速度15千米/时．【分析】等量关系为：顺水时间×顺水速度=逆水的时间×逆水速度，把相应数值代入即可求解．【解析】解：设船在静水中的平均速度是v千米/时．则：2（v+3）=3（v-3）解得：v=15．答：船在静水中的平均速度是15千米/时．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，关键在于找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程解答．4.其他问题1．（2021·张家界市民族中学九年级期中）中国古代数学著作算法统宗中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是；有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一和第六这两天共走了_______．【答案】198里【分析】设第六天走的路程为里，则第五天走的路程为里，依此往前推，第一天走的路程为里，根据前六天的路程之和为378里，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设第六天走的路程为里，则第五天走的路程为里，依此往前推，第一天走的路程为里，依题意，得：，解得：．，，此人第一和第六这两天共走了198里，故答案是：198里．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．2．（2021·江西九江·）数轴上A，B两点分别为﹣10和90，两只蚂蚁分别从A，B两点出发，分别以每秒钟3个单位长和每秒钟2个单位长的速度匀速相向而行，经过________秒，两只蚂蚁相距20个单位长．【答案】16或24【分析】由点A、B表示的数可求出线段AB的长，设经过x秒，两只蚂蚁相距20个单位长，利用两只蚂蚁的路程之和＝两只蚂蚁的速度之和×运动时间，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：∵数轴上A、B两点分别为−10和90，∴线段AB的长度为90−（−10）＝100个单位长．设经过x秒，两只蚂蚁相距20个单位长，依题意得：（3＋2）x＝100−20或（3＋2）x＝100＋20，解得：x＝16或x＝24．故答案为：16或24．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．3．（2021·浙江）8个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站，每辆车乘4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离火车站的地方出现故障．这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，已知包括司机在内这辆车限乘5人，且这辆车的平均速度是，人步行的平均速度是．则汽车出现故障起这8个人最快赶到火车站用时__________分钟（上下车时间忽略不计）．【答案】37【分析】要想8人都能赶上火车，应考虑尽量让车走的同时，人也在走，先用小汽车把第一批人送到离火车站较近的某一处，让第一批人步行，与此同时第二批人也在步行中；接着小汽车再返回接第二批人，使第二批人与第一批同时到火车站，据此求解．【详解】解：由题意可知：最快的方案是：当小汽车出现故障时，乘这辆车的4个人下车步行，另一辆车将车内的4个人送到某地方后，让他们下车步行，再立即返回接出故障汽车而步行的另外4个人，使得两批人员最后同时到达车站，在这一方案中，每个人不是乘车就是在步行，没有人浪费时间原地不动，所以两组先后步行相同的路程，设这个路程为x千米，那么每组坐车路程为15-x千米，共用时间小时；当小汽车把第一组送到离火车站x千米处、回头遇到第二组时，第二组已经行走了x千米，这时小汽车所行路程为15-x+15-2x=30-3x（千米）；由于小汽车行30-3x千米的时间与第二组行走x千米的时间相等，所以有：，解得：x=2（千米）．所用时间为：小时=37分钟，故答案为：37．【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，在此题中，要联系生活实际．同时要会用线段图在草稿上画出示意图，找到正确的等量关系列出方程．4．（2021·重庆八中）重庆地铁10号线是重庆市正在运营的一条地铁线路，与重庆轨道交通3号线一起承担主城核心区南北向骨干公共交通的功能．该条线路于2020年9月18日正式通车，起于鲤鱼池站，止于王家庄站，全长约35千米．下表是重庆地铁10号线首班车时刻表，开往王家庄方向和鲤鱼池方向的首班车的速度均为60千米/小时．重庆地铁10号线首班车时刻表车站名称往王家庄方向首班车时间往鲤鱼池方向首班车时间鲤鱼池6：10…………王家庄…6：05（1）求从王家庄站6：05开出的首班车到达鲤鱼池站的具体时刻．（2）求由鲤鱼池站和王家庄站开出的首班车第一次相遇的具体时刻．【答案】（1）6:40；（2）6:20【分析】（1）根据路程÷速度=时间，求得需要的时间，结合表格中的数据即可求得具体时间；（2）设小时后，鲤鱼池站和王家庄站开出的首班车第一次相遇，根据题意列一元一次方程即可解决问题．【详解】（1）小时=35分钟．6：05开出的首班车到达鲤鱼池站的具体时间为6:40．（2）鲤鱼池站出发的车比王家庄站开出的车晚5分钟，设小时后，鲤鱼池站和王家庄站开出的首班车第一次相遇，解得：．小时=15分钟．鲤鱼池站首班车6:05出发后，经过15分钟后时间为6:20．答：由鲤鱼池站和王家庄站开出的首班车第一次相遇的具体时刻为6:20．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键．5．（2020·江西南昌·初一期末）如图，时钟是我们常见的生活必需品，其中蕴含着许多数学知识.（1）我们知道，分针和时针转动一周都是度，分针转动一周是分钟，时针转动一周有12小时，等于720分钟；所以，分针每分钟转动度，时针每分钟转动度.（2）从5:00到5:30，分针与时针各转动了多少度？（3）请你用方程知识解释：从1:00开始，在1:00到2:00之间，是否存在某个时刻，时针与分针在同一条直线上？若不存在，说明理由；若存在，求出从1:00开始经过多长时间，时针与分针在同一条直线上.【答案】（1）360，60，6，0.5.（2）15°；（3）经过分钟或分钟时针与分针在同一条直线上.【分析】（1）利用钟表盘的特征解答.表盘一共被分成60个小格，每一个小格所对角的度数是6°；（2）从5:00到5:30，分针转动了30个格，时针转动了2.5个格，即可求解；（3）时针与分针在同一条直线上，分两种情况：①分针与时针重合；②分针与时针成180°，设出未知数，，列出方程求解即可.【解析】解：（1）分针和时针转动一周都是360度，分针转动一周是60分钟，时针转动一周有12小时，等于720分钟；所以，分针每分钟转动360°÷60=6度，时针每分钟转动360°÷720=0.5度.故答案为360，60，6，0.5.（2）从5:00到5:30，分针转动了：6°×30=180°，时针转动了6°×2.5=15°；（3）从1:00开始，在1:00到2:00之间，存在某个时刻，时针与分针在同一条直线上.设x分钟分针与时针重合，则，0.5+30°=6x解得设y分钟分针与时针成180°，0.5y+30°+180°=6y解得∴经过分钟或分钟时针与分针在同一条直线上.点睛：本题考查了钟面角及一元一次方程的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解.6．（2020·江西赣州·）如图，是小虔和小刚两位同学进行一次长跑训练的路程S（单位：米）与所用时间t（单位：秒）之间的函数图象，根据图象解下列问题（1）这次长跑训练的距离是米（2）当小虔到达终点时，小刚离终点还有多远？（3）两人起跑后，多少时间第一次相遇？【答案】（1）800；（2）80米；（3）两人起跑后80秒第一次相遇【分析】（1）根据图像可以直接得出；（2）根据图像可知，小刚第三段路程的速度为：，则剩余路程为：；（3）先求出小虔的速度和小刚第二段路程的速度，再设经过x秒两人第一次相遇，根据题意列出方程解答即可．【解析】解：（1）根据图像可知，这次长跑训练的距离是800米．（2）小刚第三段路程的速度为：（米/秒）∴当小虔到达终点时，小刚离终点还有：（米）．（3）小虔的速度为：（米/秒）小刚第二段路程的速度为：（米/秒）设经过x秒两人第一次相遇，根据题意得：，解得（秒）．答：起跑后经过80秒两人第一次相遇．【点睛】本题考查了一次函数和一元一次方程的运用，理解题目意思并能列出一元一次方程是解答本题的关键．题型4工程问题解题技巧：我们常常把工作总量看做单位“1”，工作效率则用几分之几表示。在工程问题中，常常用“不同的对象所完成的工作量之和等于总工作量”这个关系来列写等式方程。工程问题（多个未知数）解题技巧：工程问题关键是把“一项工程”看成单位“1”，工作效率就可以用工作时间的倒数来表示。复杂的工程问题，往往需要设多个未知数，不要担心，在求解过程中，有一些未知数是可以约掉的。1．（2021·重庆实验外国语学校）一项工程，甲单独做需要6天完成，乙单独做需要8天完成，若甲先做1天，然后由甲、乙合作完成此项工程．求甲一共做了多少天？若设甲一共做了x天，则所列方程为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先分析得到甲的效率为每天完成，乙的效率为每天完成，再利用各部分的工作量之和等于，列方程即可.【详解】解：设甲一共做了x天，则所列方程为故选：【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，考查的是工程问题，掌握工作效率乘以工作时间等于工作量是解题的关键.2．（2021·浙江七年级期末）某商场的收银台平均每小时有60个顾客来排队，每位收银员每小时能应付80个顾客，若某天只开设1个收银台，付款开始后4个小时没有顾客排队了，若当天开设2个收银台，开始付款______小时后，没有顾客排队．【答案】0.8【分析】首先求出开始付款时有多少人排队，再设付款开始x小时后没有顾客排队，列出方程，解之即可．【详解】解：设每小时排队付款的人数为1份，则刚开始付款时排队的人数是：80×4-4×60=80人，即开始付款时已经有80人在排队，设付款开始x小时后没有顾客排队，根据题意可得方程：80×2×x=80+60x，解得：x=0.8，故答案为：0.8．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题干得出开始付款时等待的有80人是解决本题的关键，由此抓住每小时增加的人数和2台收银台的工作效率即可列出符合题意的方程解决问题．3．（2021·河北七年级期末）某小组有m人，计划做n个“中国结”，若每人做5个，则可比计划多做9个；若每人做4个，则将比计划少做15个，现有下列四个方程：①；②；③；④．其中正确的是（）A．①② B．②④ C．②③ D．③④【答案】D【分析】由中国结的数量为定值，可得中国结的数量的两种表示，从而可列方程再由小组人数为定值，可得小组人数的两种表示，从而可得方程于是可得答案．【详解】解：由某小组有m人，计划做n个“中国结”，若每人做5个，则可比计划多做9个；可得：中国结的数量为：个，若每人做4个，则将比计划少做15个，可得：中国结的数量为：个，故④符合题意，①不符合题意；由某小组有m人，计划做n个“中国结”，若每人做5个，则可比计划多做9个；可得：某小组有人，若每人做4个，则将比计划少做15个，可得：某小组有人，故②不符合题意，③符合题意；故选：【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，掌握列方程需要的代数式的表示方法是解题的关键．4．（2021·山西七年级期末）数学课堂上，老师出示了如下例题：整理一批图书，由一个人做要40h完成．现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们一起做8小时，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？设安排x人先做4h．小亮列的方程是：，其中，“”表示的意思是“x人先做4h完成的工作量”，“”表示的意思是“增加2人后，（x+2）人再做8小时完成的工作量”．小宇列的方程是：，其中，“”表示的意思是（）A．先工作的x人前4小时和后8小时一共完成的工作量B．增加2人后，（x+2）人再做8小时完成的工作量C．增加2人后，新增加的2人完成的工作量D．x人先做4小时完成的工作量【答案】A【分析】根据先工作的x人共做了(4+8)小时的工作量+后来2人8小时的工作量=1，解答即可．【详解】解：∵设安排x人先做4h，然后增加2人与他们一起做8小时，完成这项工作．∴可得先工作的x人共做了(4+8)小时，∴列式为：先工作的x人共做了(4+8)小时的工作量+后来2人8小时的工作量=1，而x人1小时的工作量为，∴x人(4+8)小时的工作量为，∴表示先工作的x人前4h和后8h一共完成的工作量，故选A．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，是一个工作效率问题，理解一个人做要40小时完成，即一个人一小时能完成全部工作的，这一个关系是解题的关键．5．（2021·广西桂林·中考真题）为了美化环境，建设生态桂林，某社区需要进行绿化改造，现有甲、乙两个绿化工程队可供选择，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多200平方米，甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改造面积．（1）甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？（2）该社区需要进行绿化改造的区域共有12000平方米，甲队每天的施工费用为600元，乙队每天的施工费用为400元，比较以下三种方案：①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成．哪一种方案的施工费用最少？【答案】（1）甲队每天能完成绿化的面积是500平方米，乙队每天能完成绿化的面积是300平方米；（2）选择方案①完成施工费用最少【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x平方米，根据甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改造面积，列出方程，求解即可；（2）设应安排甲队工作a天，根据这次的绿化总费用不超过8万元，列出不等式，求解即可．【详解】解：（1）设乙队每天能完成绿化的面积是x平方米，则甲队每天能完成绿化的面积是（x+200）米，依题意得：x+x+200=800解得：x=300，x+200=500∴甲队每天能完成绿化的面积是500平方米，乙队每天能完成绿化的面积是300平方米．（2）选择方案①甲队单独完成所需费用=（元）；选择方案②乙队单独完成所需费用=（元）；选择方案③甲、乙两队全程合作完成所需费用=（元）；∴选择方案①完成施工费用最少．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出方程；（2）利用总费用=每天支出的费用×工作时间，分别求出选择各方案所需费用．6．（2021·全国七年级专题练习）一个水池设有注水管和排水管，单独开注水管2小时可注满水池，单独开排水管3小时可将一池水排完．现向这个空水池注水，将注水管与排水管同时开放若干小时后，关上注水管，排水管排掉水池中的水所用的时间比两管同时开放的时间少10分钟．两管同时开了多少时间？【答案】小时．【分析】方法1将水池中的水的总量看作“1”，则注水管的注水速度为，出水管的出水速度为．根据等量关系：关闭注水管前水池中的水量＝关闭注水管后水池中的水量，可以设两管同时开放x小时，并画出下面的线段图，如图所示：方法2将一水池中的水的总量看作“1”，则注水管的注水速度为，出水管的出水速度为．根据等量关系：注水管注水量＝排水管排水量，可以设两管同时开放x小时，并画出下面的线段图，如图所示：【详解】【方法1】设两管同时开放x小时，并画出下面的线段图，如图所示：由题意，列方程，得．所以两管同时开放小时．【方法2】设两管同时开放x小时，并画出下面的线段图，如图所示：由题意，列方程得．所以两管同时开放小时．【方法点拨】用方程的思想解决实际问题时，关键问题是从哪个角度来思考．本题的实质是在一个空的水池注水后又放水，最后又是一个空的水池．解题时，我们可以从两个角度来分析：一是注水管关闭以前池水不断增多，注水管关闭以后池水不断减少，即关闭注水管前水池中的水量＝关闭注水管后水池中的水量；二是将注水管和出水管独立起来分析，即注水管注水量＝排水管排水量．上述问题中的注水量，注水速度、注水时间和工程问题中的工作量、工作效率、工作时间相对应，解工程问题时也可以类比此题来分析解决．题型5比赛积分问题解题技巧：此类问题，主要是通过积分来列写等式方程。需要注意，有些比赛结果只有胜负；有的比赛结果又胜负和平局。比赛总场数=胜场数+负场数+平场数比赛积分=胜场积分+负场积分+平场积分1．（2021·河北七年级期末）在某市奥林匹克联赛中，实验一中学子再创辉煌，联赛成绩全市领先．某位同学连续答题40道，答对一题得5分，答错一题扣2分（不答同样算作答错），最终该同学获得144分．请问这位同学答对了多少道题？下面共列出4个方程，其中正确的有（）①设答对了道题，则可列方程：；②设答错了道题，则可列方程：；③设答对题目总共得分，则可列方程：；④设答错题目总共扣分，则可列方程：．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】①若设答对了x道题，等量关系：5×答对数量-2（40-x）=144；②若设答错了y道题，等量关系：5×（40-y）-2y=144；③若设答对题目得a分，等量关系：答对的数量答错数量=40；④设答错题目扣b分，答对的数量答错数量=40．【详解】解：①若设答对了x道题，则可列方程：5x-2（40-x）=144，故①符合题意；

②若设答错了y道题，则可列方程：5（40-y）-2y=144，故②符合题意；

③若设答对题目得a分，则可列方程：，故③符合题意；

④设答错题目扣b分，则可列方程，故④不符合题意．

所以，共有3个正确的结论．故答案是：B．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．2．（2021·湖南衡阳·七年级期末）一份数学试卷共25道选择题，每道题都给出了4个答案，其中只有一个正确选项，每道题选对得4分，不选或错选倒扣1分，已知小丽得了90分，设小丽做对了x道题，则下列所列方程正确的是．（）A．B．C．D．【答案】A【分析】设小丽做对了x道题，那么他做错了25-x道题，根据题意可得等量关系：做对题的得分-不选或错选倒扣的分=90分，再列出方程即可．【详解】解：设小丽做对了x道题，那么他做错了25-x道题，根据题意列方程得：，故选：A．【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元一次方程，据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．3．（2021·江苏七年级期末）球赛积分表问题：某次篮球联赛积分表：队名比赛场次胜场负场积分东方1210222蓝天1210222雄鹰129321远大129321北极127519卫星124816钢铁1201212有以下判断：①负一场积1分；②胜一场积2分；③如果一个队胜场，则该队的总积分为分；④不可能有一个球队的胜场总积分等于它的负场总积分．以上说法正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据钢铁队的积分情况可判断①，根据东方队的积分情况可判断②，根据负一场和胜一场的积分可判断③，设某队胜a场，根据题意列出方程，解之即可．【详解】解：①∵钢铁队胜场为0，负场为12，积分为12，∴12÷12=1，即负一场记1分，故正确；②根据东方队胜场为10，负场为2，积分为22，∴（22-2）÷10=2，即胜一场记2分，故正确；③如果一个队胜m场，则该队的总积分为2m+（12-m）=12+m（分），故正确；④设某队胜a场，则负12-a场，由题意得2a=12-a，解得：a=4，因为a是整数，所以存在某队胜场总积分能等于它的负场总积分，故错误；故选C．【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，看清表格中蕴含的数量关系是解决问题的关键．4．（2021·南昌市心远中学七年级期末）刘星和杨云同学一同去参加学校举行的一次安全知识竞赛，试卷只设计了40道选择题，满分200分，答对一题5分．不答或答错一题扣2分，刘星考后获得144分．（1）下面共列出了4个方程，其中不正确的是（）A．设答错（或不答）了道题．则可列方程：B．设答对了道题，则可列方程：C．设答错（或不答）题目共扣分，则可列方程D．设答对题目共得分，则可列方程：．（2）杨云说：“我比刘星多4分”杨云说得正确吗？请通过计算说明理由．【答案】(1)C；(2)杨云的说法不正确，证明见解析．【分析】（1）根据题意，设不同未知数，列出相应的方程即可；（2）分别将两位同学的得分用含未知数的式子表示出来进行比较即可判断．【详解】解：（1）A．设答错（或不答）了道题．则可列方程：，正确，故不选；B．设答对了道题，则可列方程：，正确，故不选；C．设答错（或不答）题目共扣分，则可列方程，原方程错误，故选择；D．设答对题目共得分，则可列方程：，正确，故不选；综上所述，选项C错误，故选：C；（2）杨云说：“我比刘星多4分"杨云的说法不正确；理由如下：设杨云答对了m道题，则杨云答错或不答得题数为（40-m）道，则杨云答对题所得分数为5m，杨云答错或不答扣掉得分数为2(40-m)，所以杨云总得分为：5m-2(40-m)=7m-80，设刘星答对了n道题，则刘星答错或不答得题数为（40-n）道，则刘星答对题所得分数为5n，刘星答错或不答扣掉得分数为2(40-n)，所以刘星总得分为：5n-2(40-n)=7n-80，则杨云与刘星总得分之差为7的倍数，故杨云的说法不正确．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据所设未知数不同，找到不同的等量关系列方程．5．（2021·四川成都实外七年级期末）北京时间1月5日凌晨，拥有梅西的巴塞罗那足球队在最后时刻被西班牙人队中的中国球员武磊攻破球门，遗憾收获一场平局，保持不败，一共得了22分．足球比赛中规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．问巴塞罗那足球队近10场中共胜了多少场，平了多少场？【答案】胜了6场，平了4场【分析】首先根据题意，设巴塞罗那足球队近10场中共胜了x场，平了（10﹣x）场，然后根据：巴塞罗那足球队近10场中胜场数×3+巴塞罗那足球队近10场中战平场数×1＝22，列出方程，求出x的值是多少，进而求出平了多少场即可．【详解】解：设巴塞罗那足球队近10场中共胜了x场，平了（10﹣x）场，则3x+（10﹣x）×1＝22，∴2x+10＝22，解得：x＝6，10﹣6＝4（场）．答：巴塞罗那足球队近10场中共胜了6场，平了4场．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，准确得到等量关系是解题的关键．6．（2021·湖北武汉市·七年级期末）下表为某篮球比赛过程中部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）．球队比赛场次胜场负场积分······（1）观察积分榜，请直接写出球队胜一场积分，负一场积分；（2）根据积分规则，请求出队已经进行了的场比赛中胜、负各多少场？（3）若此次篮球比赛共轮（每个球队各有场比赛），队希望最终积分达到分，你认为有可能实现吗？请说明理由．【答案】（1）2,1；（2）E队胜2场，负9场；（3）不可能实现，理由见解析．【分析】（1）设球队胜一场积x分，负一场积y分．观察积分榜由C球队和D球队即可列出方程组，求出x、y即可．（2）设E队胜a场，则负（11﹣a）场，根据等量关系：E队积分是13分列出方程求解即可；（3）设后7场胜m场，根据等量关系：D队积分是32分列出方程求解即可．【详解】解：（1）设球队胜一场积x分，负一场积y分．根据球队C和球队D的数据，可列方程组：，解得：．故球队胜一场积2分，负一场积1分．（2）设E队胜a场，则负（11-a）场，可得2a+(11-a)＝13，解得a＝2．故E队胜2场，负9场．（3）∵D队前11场得17分，∴设后18-11=7场胜m场，∴2m+(7-m)＝32-17，∴m＝8>7．∴不可能实现．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，本类题型清楚积分的组成部分及胜负积分的规则及各个量之间的关系，并与一元一次方程相结合即可解该类题型．总积分等于胜场积分与负场的和．题型6配套问题解题技巧：因工艺上的特点，某几个工序之间存在比例关系，需这几道工序的成对应比例才能完全配套完成，这类题型为配套问题。配套问题，主要利用配套的比例来列写等式方程。1．（2021·福建省福州屏东中学）福州某机械厂加工车间有35名工人，平均每名工人每天加工大齿轮5个或小齿轮10个，已知2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能刚好配套？若设加工大齿轮的工人有x名，则可列方程为（）A．3×5x＝2×10（35﹣x） B．2×5x＝3×10（35﹣x）C．3×10x＝2×5（35﹣x） D．2×10x＝3×5（35﹣x）【答案】A【分析】设加工大齿轮的工人有x名，则加工小齿轮的工人有（35-x）名，根据2个大齿轮和3个小齿轮配成一套且加工的大、小齿轮正好配套，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【详解】解：设加工大齿轮的工人有x名，则加工小齿轮的工人有（35﹣x）名，依题意得：，即3×5x＝3×10（35﹣x）．故选A．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．2．（2021·沙坪坝区·重庆八中九年级月考）为保障一线医护人员的的健康安全，某防护服厂加班生产防护服和防护面罩．已知工厂共54人，每人每天可加工防护服80件或防护面罩100个，已知一套防护服配一个防护面罩，为了使每天生产的防护服与防护面罩正好配套，需要安排__________人生产防护服．【答案】30【分析】设需要安排x人生产防护服，则安排(54－x)人生产防护面罩，根据“一套防护服配一个防护面罩”列出方程求解即可．【详解】解：设需要安排x人生产防护服，则安排(54－x)人生产防护面罩，依题意得：80x=100(54－x)，解得：x=30．故答案为：30．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．3．（2021·贵州）某车间28名工人生产螺栓螺母，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个．现有x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好每天生产的螺栓和螺母按1：2配套，则根据题意可列的方程是___________【答案】2×12x＝18（28﹣x）【分析】要列方程首先要根据题意找出题中存在的等量关系：每天生产的螺母＝每天生产的螺栓的2倍，从而列出方程．【详解】解：根据有x名工人生产螺栓得：生产螺母的工人为（28﹣x）名．则每天生产螺栓12x个，生产螺母18（28﹣x），根据“恰好每天生产的螺栓和螺母按1：2配套”，得出方程：2×12x＝18（28﹣x）故答案为：2×12x＝18（28﹣x）．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系，有的题目所含的等量关系比较隐藏，要注意仔细审题，耐心寻找．4．（2021·吉林七年级期末）某丝巾厂家70名工人义务承接了2020年上海进博会上志愿者佩戴的手环、丝巾的制作任务．已知每人每天平均生产手环180个或者丝巾120条，一条丝巾要配两个手环．（1）为了使每天生产的丝巾和手环刚好配套，应分配多少名工人