第2章 电力系统计算基础知识

《现代电力系统分析》第2章电力系统计算基础知识本章主要内容图论的基本知识

电力网络方程线性方程组的解法

电力网络求解的稀疏技术

大型电力网络的分块计算

常微分方程的数值解法2.1图论的基本知识

图论的术语和定义点和边的集合，边连于两点图孤点自环图G

为线形图、拓扑图或称线图边集点集

2.1图论的基本知识

图论的术语和定义路径，…，

回路子图若图的点和边是图的子集

树(1)包含全部节点；(2)不包含回路；(3)连通①②④③123456树补树树支1，2，3连支4，5，6基本回路：只包含一条连支的回路图G的基本回路数等于图G的连支数2.1图论的基本知识

图论的术语和定义割集(1)移走这些支路后图G分为两个部分(2)少移走其中任一条支路图G仍连通单树支割集①②③④123456CS1CS2CS3基本割集：只包含一条树支的割集2.1图论的基本知识

图论的术语和定义

对于N+1个节点b条支路的图，定义一个矩阵(行号对应节点号，列号对应支路号),矩阵中第i行第j列元素定义为节点支路关联矩阵A2.1图论的基本知识

以节点④为参考节点回路矩阵B2.1图论的基本知识

关于边和回路的连接信息割集矩阵Q2.1图论的基本知识关于边和割集的连接信息关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵之间的关系2.1图论的基本知识对上图的节点，列KCL方程并写成矩阵形式为此方程组的系数矩阵就是该图的关联矩阵A推广到一般情况：将b个支路电流写成支路电流向量，则基尔霍夫电流定律的关联矩阵形式为

KCL的关联矩阵形式2.1图论的基本知识KVL的关联矩阵形式此方程的系数矩阵等于图的关联矩阵的转置选上图为例，用节点电压之差表示支路电压，并写成矩阵形式：推广到一般情况：设网络有b条支路，n个节点，第n号节点为参考节点支路电压和节点电压向量分别记作：

则节点电压与支路电压的关系即KVL：T21][buuuL=VbT1,21][-=nnnnuuuLnVVbVA=nTQfQfIb=0Ub

=Qf

TUtUl=-BtUtABfAIb=0Ib=BfTIlKCLKVLUb=ATUnBfUb=02.1图论的基本知识

矩阵形式的KCL和KVL2.2电力网络方程电力网络的概念电力网络是指将输电配电线路、变压器等电气元件按一定形式连接而成的一个整体，达到输送和分配电能的目的。两个要素：电气元件及其连接方式。元件特性约束——欧姆定律网络拓扑约束——基尔霍夫定律基尔霍夫电流定律（KCL）基尔霍夫电压定律（KVL）2.2电力网络方程电力网络的描述方法基于基尔霍夫电流定律：节点电压方程基于基尔霍夫电压定律：回路电流方程用节点电压方程描述电力网络的一个例子上式为电力网络的节点方程。在求出节点电压后，就可以求出各支路电流，从而使网络变量得以求解。节点方程反映了各节点电压与注入电流间的关系。在此例中，除节点4、5外，其余节点注入电流均为0。一般情况下，如果电力网络有n个节点，则有节点方程：式中：Y是导纳矩阵，对角元是节点i的自导纳，非对角元是节点间的互导纳。分别是节点注入电流列向量及节点电压列向量第k条广义支路的方程可以表示成(k=1,…b)b条支路的支路方程矩阵形式是(省略了复变量s)：简写为+-)(sUsk)(sIsk)(sIk)(sZk+-)(sUk)(),(sIsUkk)a()b()()()()()()()]()()[()(sUsIsZsIsZsUsIsIsZsUSkSkkkkSkSkkkk+-=+-=úúúúûùêêêêëé+úúúúûùêêêêëéúúúúûùêêêêëé-úúúúûùêêêêëéúúúúûùêêêêëé=úúúúûùêêêêëéSbSSSbSSbbbbUUUIIIZZZIIIZZZUUUMMLMOMMLLMLMOMMLLM212121212121000000000000SSVZbIZbIbVb+-=如何表示支路特性约束——欧姆定律19其中Vb：支路电压向量

Ib

：支路电流向量：支路电压源向量：支路阻抗矩阵：支路电流源向量：支路导纳矩阵若矩阵Zb存在逆矩阵，令并乘在两端，得bSSIYbVYbVbIb+-=20令(称节点导纳矩阵)节点电压方程简化为AIb＝0移项后得节点电压方程VbVA=nT0=+-SSnTAIAYbVVAYbASSnAIAYbVVAYbA-=TSSSnAIAYbVI-=TAYbAY=nSnnnIVY=矩阵A反映了网络的拓扑约束，Yb反映了网络的支路特性约束，所以节点导纳矩阵集中了网络两种约束的全部信息。边界条件如何表示整个网络——节点电压方程SSIYbVYbVbIb+-=SIs)=0YbVA(YbVbAIb+-=2023/9/28高等电力网络分析21

关联矢量的引入一般串联支路22广义关联矢量和变压器/移相器支路的数学描述变压器/移相器支路的节点方程：2.2电力网络方程：节点导纳矩阵反映了电力网络的参数及接线情况由导纳矩阵所构成的节点方程式是电力网络广泛应用的一种数学模型。节点方程式节点自导纳Yii

＝节点i加单位电压，其它节点接地时，节点i向电网注入的电流。节点互导纳Yji＝节点i加单位电压，其它节点接地时，节点j向电网注入的电流。节点导纳矩阵特点：当不含移相器时，导纳阵为对称矩阵导纳矩阵为稀疏矩阵出线数2－4条，每行非对角元中仅有2－4个非零元例如，节点数分别10、1000的两个网络，平均出线为3前者非零元40个，占总数40％。后者非零元4000个，占总数0.4％。计算时充分利用对称及稀疏性2.2电力网络方程：节点导纳矩阵Y——以地为参考点的节点导纳矩阵A——Nxb阶节点支路关联矩阵Ml——A的第l个列矢量按支路扫描，累加每条支路对导纳矩阵的贡献，最后就得到Y矩阵。

节点导纳矩阵的形成2.2电力网络方程：节点导纳矩阵=ipjq对互感支路，应将互感支路组成一组，共同考虑它们对节点导纳矩阵的贡献。1、支路的移去和添加2、节点合并pqP’导纳矩阵中相应的行列相加，网络方程降低一阶

节点导纳矩阵的修改3、节点消去消去节点p，只需对Y阵中和p有支路相连的节点之间的元素进行修正，其他节点之间的元素不需要修正。或者写成4、节点电压给定的情况展开得：5、变压器变比发生变化的情况（略）6、一条支路导纳参数发生变化的情况（略）7、移去和添加带互感支路的情况添加一条和原网络中支路k有互感的连支支路l时，可分两步进行修正：1）将支路k移出；2）将支路l和k成组追加进去。2.3线性方程组的解法常用方法有高斯消去法和因子表法1、高斯消去法设有n阶线性方程组a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2...(1)an1x1+an2x2+…+annxn=bn或缩记为：

AX=B

(2)按列消元按行回代的算法增广A阵AB求解的具体步骤如下：第一步：按列消去。消去第1列第1行规格化：

得：消去第1列下三角元素：则变成A1B1第k行规格化：

消去第k列下三角元素：则变成一般地，消去第k列：最后可得：AnBn写成方程组形式：它与原方程同解第二步：按行回代第n行

将结果代入第n-1行，得一般地，将代入第i个方程，得设有n阶线性方程组a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2...(1)an1x1+an2x2+…+annxn=bn或缩记为：AX=B

(2)在实际计算中，经常遇到这种情况：对于方程组需要多次求解，每次仅改变其常数项B，而系数矩阵A是不变的。这时，为了提高计算速度，可以利用因子表求解。2.3线性方程组的解法2、因子表法因子表法的基本概念因子表可以理解为高斯消去法解线性方程组的过程中对常数项B全部运算的一种记录表格。高斯消去法分为消去过程和回代过程。回代过程的运算由对系数矩阵进行消去运算后得到的上三角矩阵元素确定，公式：为了对常数项进行消去运算（又叫前代过程），还必须记录消去过程运算所需要的运算因子。第k行规格化：

消去第k列下三角元素：则变成消去过程中的运算又分为规格化运算和消去运算，以按列消去过程为例，消去第k列第n+1列：规格化：（i=1,2,…,n）将上式中的运算因子及

逐行放在下三角部分，和消去过程得到的上三角矩阵元素合在一起，就得到了因子表。消去：(k=1,2,…,i-1)

（i<j）(j<i)因子表中下三角部分的元素就是系数矩阵在消去过程中曾用以进行运算的元素，因此只要把它们保留在原来的位置，并把对角元素取倒数就可以得到因子表的下三角部分。而因子表中上三角部分的元素就是系数矩阵在消去过程完成后的结果。下三角上三角阵对角阵记即则因子分解迭代格式：用因子表法求解线性方程组对于方程组，需要多次求解，每次仅改变其常数项B而系数矩阵A是不变的情况，应首先对其系数矩阵A进行消去运算，形成因子表。有了因子表，就可以对不同的常数项B求解。这时，可以直接应用因子表中的元素。消去:

（i=k+1,…,n）回代:1、由于电力网络结构的特点，每个节点仅与3~5个节点相连，因此描述网络结构的矩阵是稀疏矩阵。

n*m的矩阵，非零元τ个，稀疏度等于τ/(n*m)

如果系统有N=500个节点，平均每个节点与5条支路相连，则稀疏度=6*500/（500*500）=1.2%2、计算中，我们仅关心一部分的变量：稀疏矢量。3、与稀疏矩阵和稀疏矢量相关的运算中，零元素不参与存储和计算——排零存储和排零计算2.4电力网络求解的稀疏技术特点：排零存储，即只存储其中的非零元和有关的检索信息。要求：节省内存方便地检索和存取考虑网络结构变化时能方便地对存储的信息加以修改稀疏矢量：存储矢量中的非零元值和相应的下标稀疏矩阵：考虑稀疏结构和所采用的算法2.4电力网络求解的稀疏技术：稀疏存储VAa11a12a14a21a22a23a33a42a43a44IA1112223444JA1241233234散居格式a1313

常用存储方式散居格式按行（列）存储格式三角检索存储格式链表存储格式例：VAa11a12a14a21a22a23a33a42a43a44JA1241233234IA1478按行存储格式VAa11a12a13a14a21a22a23a33a42a43a44JA12341233234IA1589修改后三角检索存储格式Ua12a14a23JU243IU1344La21a42a43IL244JL1234Da11a22a33a44Ua12a13a14a23JU2343IU1455La21a42a43IL244JL1234Da11a22a33a44修改后链表存储格式（按行存储）VAa11a12a14a21a22a23a33a42a43a44JA1241233234LINK23056009100IA1478VAa11a12a14a21a22a23a33a42a43a44a13JA12412332343LINK2110560091003IA1478修改后存储单元检索修改散居格式3τ工作量大易按行存储格式2τ+n按行检索难三角检索存储格式2τ+n按行（列）检索难链表格式3τ+n按行检索易1、稀疏矩阵的因子分解采用高斯消去法进行计算1）按行规格化2）消去运算2.4电力网络求解的稀疏技术：排零计算非稀疏存储格式采用三角检索存储格式时例U7-3JU24IU1333L5-2IL24JL1233D2456U3.5-1.57.5JU244IU1344L5-2IL24JL1233D2-13.556U3.5-1.5-0.555JU244IU1344L5-2IL24JL1233D2-13.554.889U3.5-1.5-0.555JU244IU1344L5-2IL24JL1233D2-13.554.8893=p2、利用稀疏矩阵因子表求解稀疏线性代数方程组1）前代过程计算流程除法运算回代运算计算流程采用三角检索存储格式时采用按列存储格式Uu12u24u34u15u25u45IU123124JU122471、注入元素的多少与消去节点的顺序或节点编号有关2.5电力网络求解的稀疏技术：节点优化编号所谓节点优化编号，就是寻找一种使注入元素数目最少的节点编号方式。2、三类节点编号优化方法静态按最少出线支路数编号——静态优化法（Tinney-1编号方法）编号之前，首先统计电力网络各节点的出线支路数，然后按出线支路数少的节点顺序编号，当有n个节点的出线支路数相同时，则可以按任意次序对这n个节点编号。依据：在导纳矩阵中，出线支路数最少的节点所对应的行中非零元素也最少，因此在消去过程中产生注入元素的可能性也最小。缺点：未考虑节点消去过程中，每消去一个节点，与该节点相连的各节点的出线支路数将发生变化。

动态地按最少出线支路数编号——半动态优化法（Tinney-2编号方法）针对静态优化法的缺点，在每消去一个节点后，立即修正尚未编号节点的出线支路数，然后选其中出线支路数最少的一个节点进行编号。缺点：只能使消去过程中出现新支路的可能性减少，但并不一定保证在消去这些节点时出现的新支路最少。

动态按增加出线数最少编号——动态优化法（Tinney-3编号方法）针对上述缺点，采用按消去节点后增加出线数最少的原则编号。具体做法：首先，根据星网变换原理，按下式分别统计消去网络节点时增加的出线数，选其中增加出线数最少的被消节点编为第1节点。如果与节点k相连的节点数为，则网形网络的支路数为，原有支路数为，则新增支路数从网络消去该节点，相应修改其余节点的出线数目。然后重复以上过程，一直到编完为止。缺点：工作量大。例：

静态优化法统计各节点出线支路数节点ABCDEFGH出线数11322231F点总是编在C和G之前，故CG两点之间出现新支路难以避免。

半动态优化法节点ABCDEFGH被编节点节点号各节点出线数的变化情况(1)111(1)3332222(1)22(1)2(1)222222(1)33332(1)1111(1)AEDBHGFC12345678没有出现新支路。结论：对于树形网络来说，半动态优化法永远只编出线为1的节点，因此这种任意性不会影响优化结果。

动态优化法被消节点ABCDEFGH出现新出线数00311130A:1被消节点BCDEFGH出现新出线数0310130重复。工作量比半动态优化法大得多，但对于树形网络，效果和半动态优化一样。E:2推广：网络类型静态半动态动态树形可能出现新支路无新支路无新支路简单环网（m边形）m-3新支路复杂环网无明确的一般性结论在对大规模互联电力系统进行统一分析时，分块计算是一种提高计算速度的有效处理手段。电力系统本身所具有的分层分区结构也特别适合分块计算的应用。根据协调变量的不同，网络分块计算主要分为两类：支路切割法：通过切割原网络中的某些支路把原网络分解；节点撕裂法：将原网络的部分节点撕裂开，将网络分解2.6大型电力网络的分块计算1、节点分裂法在该网络中选择部分节点，把这些节点撕裂，则把原网络可以分解成几个小的独立子网络，这些节点称为分裂点，用下标t表示。2.6大型电力网络的分块计算