江苏专版2023-2024学年新教材高中数学第3章圆锥曲线与方程3.3抛物线3.3.2抛物线的几何性质分层作业苏教版选择性必修第一册

3.3.2抛物线的几何性质分层作业A层基础达标练1.顶点在原点，对称轴为轴，顶点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是()A. B. C. D.2.若直线与抛物线只有一个公共点，则实数的值为()A. B.0 C.或0 D.8或03.在同一平面直角坐标系中，方程与的曲线大致为()A. B. C. D.4.已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，若线段中点的纵坐标为2，则直线的斜率为.5.一条光线从抛物线的焦点射出，经抛物线上一点反射后，反射光线经过点，若，则抛物线的标准方程为.6.已知抛物线上一点到焦点的距离为4.（1）求实数的值；（2）若直线过的焦点，与抛物线交于，两点，且，求直线的方程.B层能力提升练7.已知直线过点，且与抛物线有且只有一个公共点，则符合要求的直线的条数为()A.0 B.1 C.2 D.38.已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，线段的中点为，则的方程为()A. B. C. D.9.已知圆与抛物线交于，两点，与抛物线的准线交于，两点.若四边形是矩形，则()A. B. C. D.10.设抛物线的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则抛物线的方程为()A.或 B.或C.或 D.或11.如图，过抛物线的焦点的直线依次交抛物线及准线于点，，若，且，则抛物线的方程为()A. B. C. D.12.点在直线上，若存在过点的直线交抛物线于，两点，且，则称点为“点”，则下列结论中正确的是()A.直线上的所有点都是“点”B.直线上仅有有限个点是“点”C.直线上的所有点都不是“点”D.直线上有无穷多个点（但不是所有的点）是“点”13.已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过点作的垂线交于点，且，，则抛物线的方程为.14.已知过点的直线与抛物线交于,两点，，则面积的最小值为.15.已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，直线与抛物线交于，两点，且.（1）求抛物线的标准方程.（2）在轴上是否存在一点，使为正三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.C层拓展探究练16.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.今有抛物线，如图，一平行于轴的光线射向抛物线上的点，反射后又射向抛物线上的点，再反射后又沿平行于轴的方向射出，且两平行光线间的最小距离为3，则抛物线的方程为.17.已知抛物线：的焦点为，,在抛物线上，且.（1）求抛物线的方程及的值；（2）若过点的直线与抛物线相交于，两点，为的中点，是坐标原点，且，求直线的方程.3.3.2抛物线的几何性质分层作业A层基础达标练1.D2.C3.D4.15.6.（1）解由题意可知，解得.（2）由（1）知抛物线，则焦点坐标为.由题意知，直线的斜率不为0，设直线，,，联立消去，得，则,,所以，所以，解得，所以直线的方程为或.B层能力提升练7.D8.A9.C10.C[解析]抛物线的焦点为,.设，由抛物线的定义，知，得，则以为直径的圆的圆心横坐标为，而圆的半径为，于是得该圆与轴相切于点，得圆心的纵坐标为2，则点的纵坐标为4，即,，从而有，整理，得，解得或，所以抛物线的方程为或.故选.11.A[解析]如图，分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点，,设与轴交于点.设，因为,所以.由抛物线的定义得，故.在中，因为，所以，，所以，所以，所以.因为，，所以，即，所以，所以抛物线的方程为.故选.答图12.A[解析]如图,设,，由题意可知点是的中点，则.因为,在上，所以消去，整理，得关于的方程.因为恒成立，所以方程恒有实数解，即对于任意的点，都存在使得.故选.13.[解析]如图，设准线与轴的交点为，准线方程为，焦点为,.由抛物线的定义知，又，所以为等边三角形，且，所以,则.又因为，所以，故抛物线的方程为.14.[解析]设直线的方程为，，，联立消去，得，所以，，所以，所以当时，取得最小值，最小值为.15.（1）解由题意，设所求抛物线的标准方程为，联立消去，得.设，，则，.由，得，解得或（舍去），所以抛物线的标准方程为.（2）设的中点为，则,.假设在轴上存在满足条件的点，连接.因为为正三角形，所以，即，解得，所以,，所以.又，所以在轴上不存在一点，使为正三角形.C层拓展探究练16.[解析]由抛物线的光学性质可得，必过抛物线的焦点,.当直线的斜率不存在时，易得;当直线的斜率存在时，设的方程为,,,联立得,整理得，所以,，所以.综上，当直线与轴垂直时，弦长最短.又因为两平行光线间的最小距离为3，故,所以抛物线的方程为.17.（1）解因为抛物线的焦点为，则其准线方程为.又,在抛物线上，由抛物线的定义知，解得，即抛物线的方程为.将,的坐标代入，得，所以抛物线的方程为，的值为2.