江苏专版2023-2024学年新教材高中数学第4章数列培优课等差数列性质的综合问题分层作业苏教版选择性必修第一册

培优课等差数列性质的综合问题分层作业A层基础达标练1.（多选题）已知数列的前项和为，，则下列说法正确的是()A.为等差数列 B.C.的最小值为 D.为单调递增数列2.（多选题）记为等差数列的前项和.若，则下列结论一定正确的是()A. B.的最大值为 C. D.3.（多选题）已知等差数列的公差，且，的前项和为，若是的最大值，则的可能取值为()A.6 B.7 C.12 D.134.（多选题）设等差数列的前项和为，公差为.已知，，，则下列结论正确的是()A.B.C.D.设的前项和为，当时，的最大值为275.已知数列的前项和满足，，且.（1）求证：数列是常数列；（2）求数列的通项公式.若数列的通项公式为，将数列与的公共项按从小到大的顺序排列得到数列，求数列的前项和.B层能力提升练6.古代有这样一个问题：“今有墙厚22.5尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多半尺，小鼠前三天每天打洞长度比前一天多一倍，三天之后小鼠每天打洞长度与第三天打洞长度相同，问两鼠几天能打通墙相逢？”两鼠相逢最快需要的天数为()A.4 B.5 C.6 D.77.已知数列是等差数列，若，且它的前项和有最大值，则使得的的最大值为()A.11 B.12 C.21 D.228.（多选题）首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，下列四个命题中正确的是()A.若，则B.若，则使的最大的为15C.若，，则中最大D.若，则9.等差数列2,5,8,,与4,9,14,,的公共项（具有相同数值的项）的个数为.10.对数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，规定为{}的二阶差分数列，其中（1）若数列{}的通项公式为，试判断，}是否为等差数列，请说明理由；（2）各项均为正数的数列{}的前项和为，且，对满足，的任意正整数，，都有，且不等式恒成立，求实数的最大值.C层拓展探究练11.设等差数列的各项均为整数，首项，且对任意正整数，总存在正整数，使得.这样的数列的个数为.12.将正整数数列1,2,3,中凡是被4整除以及被4除余1的项全部删去,剩下的数按从小到大的顺序排成数列,,,,再将数列{}中,凡是下标被4整除以及被4除余1的项全部删去,剩下的项按从小到大的顺序排成数列,,,.证明:每个大于1的奇平方数,都是数列{}中的两个相邻项的和.培优课等差数列性质的综合问题分层作业A层基础达标练1.AD2.AC3.AB4.BC5.（1）证明由，得，将上述两式相减，得，即，所以，则，所以数列是常数列.（2）解由（1）可知，当时，，所以，当时，也符合上式，所以，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列.又数列是以1为首项，3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，6为公差的等差数列，所以的前项和为.B层能力提升练6.C7.C8.BC[解析]对于,若，则，那么，故错误.对于,若，则.又因为，所以前8项为正，从第9项开始为负，因为，所以使的最大的为15，故正确.对于,若，，则，，则中最大，故正确.对于，若，则，而，不能判断的正负情况，故错误.故选.9.13410.（1）解因为，所以，所以.因为，所以是首项为3，公差为2的等差数列.因为，所以是首项为2，公差为0的等差数列.（2）因为，所以，所以，所以是等差数列.设的公差为，则.若，则，与题意矛盾.若，则当时，，与数列的各项均为正数矛盾，故.由等差数列的前项和公式可得，所以，.因为，所以，所以，则当时，不等式都成立.当时，令，，则，，则因为，，所以当时，，即.综上，的最大值为2.C层拓展探究练11.5[解析]设的公差为.由条件知（是某个正整数），则，即，因此必有，且，则，此时对任意正整数，，为中的一项.因此，仅需考虑使成立的正整数的个数.2019为两个素数3与673之积，则可取，1，3，673，这5个值，对应得到5个满足条件的等差数列.12.证明易知,,,2,3,，因此,,,,，将中的项及删去之后,所得到的数列的通项为,,,1,2