《结构力学》教案 第十章 结构动力计算基础

PAGE第十章结构动力计算基础（6学时）主要内容10-1综述10-2单自由度体系的自由振动10-3单自由度体系的强迫振动10-4阻尼的影响10-5两个自由度体系的自由振动知识点10-1综述动力计算：动荷载的特点、动力计算的目的、方法；动荷载类型：周期荷载、冲击荷载、随机荷载；动力自由度：集中质量法、广义坐标法、有限元法。10-2单自由度体系的自由振动自由振动微分方程、自由振动微分方程的解、结构的自振周期与频率。10-3单自由度体系的强迫振动强迫振动微分方程；简谐荷载下强迫振动微分方程的解；简谐荷载下强迫振动的动力系数；一般荷载下的强迫振动：突加荷载、短时突加荷载、线性渐增荷载。10-4阻尼的影响阻尼的概念与分类、有阻尼的自由振动：ξ<1、ξ=1、ξ>1；有阻尼的强迫振动：突加荷载、简谐荷载。10-5两个自由度体系的自由振动刚度法、挠度法：振动方程、振动方程的解、振幅方程、频率方程、振型。重点难点10-1综述重点：动力自由度的判断。10-2单自由度体系的自由振动重点：掌握刚度法和柔度法建立振动微分方程的基本原理；熟练掌握这些动力特性的计算。难点：理解单自由度体系自由振动的动力特性。10-3单自由度体系的强迫振动重点：掌握单自由度体系在简谐荷载作用下强迫振动的计算。难点：理解自由振动和强迫振动的本质区别。10-4阻尼的影响重点：掌握阻尼对动力特性（自振频率、振幅等）的影响。难点：公式的推导。10-5两个自由度体系的自由振动重点：掌握刚度法和柔度法建立两个自由度体系自由振动微分方程的方法。难点：理解频率方程和主振型等概念。第十章结构动力计算基础PAGEPAGE4010.1综述知识点动力计算：动荷载的特点、动力计算的目的、方法；动荷载类型：周期荷载、冲击荷载、随机荷载；动力自由度：集中质量法、广义坐标法、有限元法。重点动力自由度的判断。知识点：动力计算（1）定义：动荷载是荷载（大小、方向、作用位置）随时间变化的量。（2）动荷载与静荷载的区别：考虑其对结构的动力响应（惯性力），与荷载变化的快慢无关。（3）计算方法的区别：根据达朗伯原理，平衡形式相同，但力系中包括了惯性力，并且能求出的结果是时间的函数。从计算方法上看，静力学所解的是线性方程组，而动力学所解的是偏微分或常微分方程组。（4）结构动力计算的目的：对动力荷载作用下的位移，内力等进行分析。知识点：动荷载的分类（1）周期荷载：简谐荷载—机械振动（图10.1a）；非简谐荷载（图10.1b）。图10.1a图10.1b（2）冲击荷载：在很短的时间内，荷载值急剧增大或急剧减小。如爆炸荷载等（3）随机荷载：地震（唐山地震，图10.2）、风图10.2知识点：动力计算中体系的自由度（1）定义：在动力计算中，一个体系的自由度是指为了确定运动过程中任一时刻全部质量的位置所需确定的独立集合参数的数目。（2）意义：在动力问题中需要考虑惯性力，而惯性力与质量有关，因此确定任一时刻质量的位置就是动力学研究的关键之一。（3）方法：第一种：集中质量法：把连续分布的质量集中为几个质点，这样就可以把一个原来无限自由度的问题简化成为有限自由度的问题。例：梁，刚架，图10.3图10.3注意：自由度的个数与集中质量的个数并不一定彼此相等。第二种：广义坐标法：将无限自由度体系的位移曲线用一组形状函数的叠加表示，则这组形状函数可以看成是确定质量位置的坐标系，而其幅值则称为广义坐标。例：简支梁：第三种：有限单元法，图10.4图10.4，8自由度学习结构动力学的重要意义（1）结构动力设计计算的基础知识动力荷载作用下结构设计，城市建设环境评价（如轨道交通环境评价）等等。（2）工程防灾(抗风抗震)的重要先修内容10.2单自由度体系的自由振动知识点自由振动微分方程、自由振动微分方程的解、结构的自振周期与频率。重点难点重点：掌握刚度法和柔度法建立振动微分方程的基本原理；熟练掌握这些动力特性的计算。难点：理解单自由度体系自由振动的动力特性。知识点：自由振动微分方程的建立（1）模型图10.5（2）单元分析:弹性力—,与位移的方向相反；惯性力—,与加速度的方向相反。（3）平衡方程：+=这是从力系平衡角度建立的自由振动微分方程，这种方法称为刚度法。根据位移协调条件，惯性力=,用表示柔度系数，即在单位力作用下所产生的位移，则质量的位移为：这种根据位移协调条件建立自由振动微分方程的方法称为柔度法。知识点：自由振动微分方程的解将原方程写为：+=其中：=其解为：其中由初始条件确定。如果设时，质点有初始位移和初始速度，即：则可求得：=,即：上式为由引起的位移和由初始速度引起的位移的叠加。如果将其解写为：的形式，其中称为振幅，称为初始相位角，则可导出：=,=或=,=知识点：结构的自振周期由其位移函数我们知道这是一个周期函数，其周期为：=由此周期，频率，角频率的相关公式可表示成：====其中：=,(为W作用时的静位移)结构自振周期的一些重要性质：（1）自振周期与结构的质量和刚度有关，与外界的影响无关，也就是说自振周期反映了结构自身的特性；（2）自振周期与质量的平方根成正比，与刚度的平方根成反比；因此要改变结构的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度入手；（3）自振周期是结构动力性能的一个重要数量标志。实例：例1：求图10.6a体系的频率及自振周期。图10.6a图10.6b解：单位荷载下的弯矩图（图10.6b），柔度系数：例2：求图10.7悬臂杆的自振频率。（杆件截面积A，惯性矩I，弹性模量E，自身质量不计，杆顶重物重量为W）图10.7a图10.7b解：单位荷载下的弯矩图（图10.7b），柔度系数：例3:求图10.8a结构自振频率。（EI为常数，杆件自身质量不计）图10.8a图10.8b解：单位荷载下的弯矩图（图10.8b），柔度系数：例4：计算图10.9a刚架的频率和周期。图10.9a图10.9b解：图10.9b，10.3单自由度体系的强迫振动知识点强迫振动微分方程；简谐荷载下强迫振动微分方程的解；简谐荷载下强迫振动的动力系数；一般荷载下的强迫振动：突加荷载、短时突加荷载、线性渐增荷载。重点难点重点：掌握单自由度体系在简谐荷载作用下强迫振动的计算。难点：理解自由振动和强迫振动的本质区别。知识点：强迫振动微分方程的建立（1）定义：结构在动荷载作用下的振动称为强迫振动或受迫振动。（2）模型：图10.10（3）平衡方程设=，则上式变为：+=知识点：简谐荷载下强迫振动微分方程的解设其中：为简谐荷载的圆频率，为荷载的幅值，运动方程为：+=上式为非齐次常微分方程。其特征值，故可按两种情况来讨论。（1）时，不是方程的根，故其特解为：=可求得：，=故其通解为：（2）当时，则是特征方程的根，故设=可求得：==此时的通解为：从上式可以看出当时，位移随时间的增大而增大，即产生共振现象，这种情况是在结构设计过程中应避免的。知识点：简谐荷载下强迫振动的动力系数时，在通解中设其初始条件为，，则可得：=，=故=（）上式表明，强迫振动时的振动由两部分叠加而成，第一部分按荷载频率振动，第二部分按自振频率振动。由于阻尼的存在，按自振频率振动的部分会逐渐消失，而只出现按荷载频率振动的部分。这时我们可把振动分为两个阶段，即“过渡阶段”和“平稳阶段”。对平稳阶段，任一时刻的位移为：=其最大位移为：=最大位移与最大静位移的比值称为动力系数，用表示，即：(图10.11)==图10.11讨论以下几种情况：①时，②时，③时，④时，的绝对值随的增大而减小。实例：例：一无重简支梁，在跨中有重W＝20kN的电机，电机偏心所产生的干扰力P(t)＝10sinθt，电机每分钟转数n=500r/min，梁EI＝1.008×104kN.m2。求梁的最大位移和弯矩。图10.12解：（1）自振频率（2）荷载频率（3）动力系数（4）最大位移与最大弯矩知识点：一般荷载下的强迫振动（1）荷载模型PP(t)t0dpP(t)tS=pd0d图10.13（2）公式推导设体系在时处于静止状态，则冲量,初速度=,则此时的位移为：=设在=时作用瞬时冲量,则>时的位移为：=（上式中设初位移为零）因此，有=对上式进行叠加得：=上式称为杜哈梅积分。原理：任意荷载作用下的任一时刻的位移等于从荷载作用开始至该时刻的动力响应的叠加（或积分）。当初始位移和初始速度不为时，则：=++（3）应用突加荷载PP(t)t=图10.14==,表示在静荷载作用下所产生的位移。此时，动力系数。短时荷载PP0P(t)utP(t)=图10.15当时，=当时，自由振动，计算方法可分为两种。第一种以时刻达到位移和速度作为起始位移和起始速度，即可得。另外，也可直接用杜哈梅积分计算。===下面讨论体系的最大响应，分以下两种情况①（加载持续时间大于半个自振动周期），此时，动力系数；②，此时最大反应发生在自由振动阶段。综上所述，有即：设按的不同情况，绘出图形（图10.16）。图10.16线形渐增荷载PP(t)trtP0图10.17计算结果如下：图10.18动力系数介乎1与2之间。如果升载时间很短，例如tr<T/4，则动力系数β接近于2.0，即相当于突加荷载的情况。如升载时间很长，如tr>4T，则β接近于1.0，相当于静荷载情况。10.4阻尼的影响知识点阻尼的概念与分类有阻尼的自由振动：ξ<1、ξ=1、ξ>1；有阻尼的强迫振动：突加荷载、简谐荷载。重点难点重点：掌握阻尼对动力特性（自振频率、振幅等）的影响。难点：公式的推导。知识点：阻尼的概念与分类振动中阻尼力有多种来源，例如振动过程中结构与支承之间的摩擦，材料之间的内摩擦，周围介质的阻力等。阻尼力对质点运动起阻碍作用，从方向上看，它总是与质点的速度方向相反，从数值上看它与质点速度有如下的关系：阻尼力与质点速度成正比，称为粘滞阻尼。阻尼力与质点速度的平方成正比（例如，固体在流体中运动受到的阻尼）。阻尼力的大小与质点速度无关（摩擦力）。（1）力学模型图10.19（2）控制方程知识点：有阻尼的自由振动令则有：特征方程为：其解为：根据三种情况可得：（1）特征方程有一对共轭复根，令则有：其解为：设初始条件为则有：上式也可写为：其中位移曲线为：yytT图10.20讨论：振幅的衰减，自振频率的影响。对自振频率的影响对振幅的影响所以：如果，则这里称为振幅的对数递减率。同样，用表示两个相隔几个周期的振幅，可得：实际工程中，很小，通常用来计算。（2）时其解为：由初始条件有：位移曲线如下：y(t)y(t)t图10.21结论：时，自由振动具有衰减性质。时，不产生振动，这时的阻尼称为临界阻尼，用表示。表示阻尼常数C与临界阻尼Cr的比值，叫做阻尼比。（3）时，不出现振动，故不再讨论。知识点：有阻尼的强迫振动有阻尼体系（设，此时一般称为小阻尼体系）承受一般动力荷载时，它的反应也可用杜哈梅积分表示，与无阻尼时的推导过程相似。由前面已经学过的知识，我们知道初始速度引起的振动为：冲量，故时，故=上式即为处于静止状态的单自由度体系在任意荷载作用下所引起的有阻尼的强迫振动。如果还有初始位移和初始速度，则总位移为：=下面讨论突加荷载和简谐荷载两种情况。突加荷载=y(t)y(t)图10.22简谐荷载由于，故可设特解为：可求得：其通解为：由于阻尼的存在，经过一段时间后，振动按荷载频率振动，这时称为平稳振动。此时位移可表示为：其中动力系数图10.23①与的关系②时，③在阻尼体系中，共振时的动力系数不等于最大的动力系数。④相位角的关系：，与同步，（低频振动），（临界状态）（高频振动）10.5两个自由度体系的自由振动知识点刚度法、挠度法：振动方程、振动方程的解、振幅方程、频率方程、振型。重点难点重点：掌握刚度法和柔度法建立两个自由度体系自由振动微分方程的方法。难点：理解频率方程和主振型等概念。多自由度体系的求解方法有两种，刚度法与柔度法。刚度法通过建立力的平衡方程求解，柔度法通过建立位移协调方程求解。知识点：刚度法先讨论两个自由度的体系，然后推广到n个自由度的体系。(1)两个自由度的体系模型：图10.24平衡方程：弹性力：是结构的刚度系数，表示j点产生单位位移时在i点引起的反力。由此可得：求解：设其解为其特点：（1）具有相同的频率与相位角，Y1,Y2为振幅；（2）=常数这种结构位移形状保持不变的振动形式称为主振型或振型。代入可得：上式有非零解的条件为系数行列式为零，即上式称为频率方程或特征方程。上式展开得整理后得其解为由此可得两个自由度体系的两个自振频率，用w1表示其中最小的圆频率，称为第一圆频率或基本圆频率。另一个圆频率w2为第二圆频率。由此可得（17—39任一式）其中Y11,Y21分别表示第一振型中质点1和2的振幅。同样可得其中Y12，Y22分别表示第二振型中质点1和2的振幅。振型曲线如下：图10.25在一般情况下，两个自由度体系的自由振动可看作是两种频率及其主振型的叠加，即根据初始条件可求得A1,与结论：（1）对多自由度问题，确定自振频率与主振型；（2）多自由度体系的自振频率个数与自由度的个数相等。（3）各个自振频率有自己相应的主振型。主振型就是多自由度体系能够按单自由度振动时所具有的特定形式。（4）自振频率和主振型是体系本身的固有性质，与外荷载无关。实例：例：图10.26a两层刚架，其横梁为无限刚性。设质量集中在楼层上，第一、二层的质量分别为m1、m2。层间侧移刚度（层间产生单位相对侧移时所需施加的力）分别为k1、k2。求刚架水平振动时的自振频率和主振型。图10.26a图10.26b解：（1）求刚度系数，见图10.26b（2）求自振频率（3）求主振型第一主振型：第二主振型：图10.27讨论：当n=90，鞭梢效应第一主振型：第二主振型：（2）n个自由度体系模型图10.28平衡方程：刚度方程：的意义同前运动方程：用矩阵可表示为：或简写为：其中分别为位移向量，加速度向量，质量矩阵和刚度矩阵。求解：设其解为这里是位移幅值向量，即代入运动方程得：同理，系数行列式为零，即由此可求得体系的n个自振频率。令表示与频率相应的主振型向量，代入特征方程得：令=1，2，……，n，可得出n个向量方程，由此可求出n个主振型。知识点：柔度法基本方法：根据位移协调条件来建立平衡方程模型：以两个自由度为例，图10.29基本思路：在自由振动过程中的任一时刻t，质量m1，m2的位移y1(t)，y2(t)应当等于体系在当时惯性力作用下所产生的静力位移。控制方程：式中是体系的柔度系数，表示在j质点处作用单位力时在i质点处所产生的位移。设解为：代入上式得：上式表明，主振型的位移幅值（Y1,Y2）就是体系在此主振型惯性力幅值作用下所引起的静力位移。将上式整理得：如果Y1,Y2不全为零，则有：将上式展开即可求得求体系的主振型。由平衡方程实例：例：求图10.29a等截面简支梁的自振频率和主振型，EI为常数。图10.29a图10.29b解：（1）求挠度系数，图10.29b（2）求自振频率（3）求主振型第一主振型：第二主振型：图10.29c例2：求图10.30a结构的自振频率和主振型。质量m，分布质量不计，EI=常数，l=4m。图10.30a图10.30b解：（1）求挠度系数，图10.30b（2）求自振频率（3）求主振型第一主振型：第二主振型：图10.30c本题可利用对称性，第一、二频率和主振型分别按图10.30d、图10.30e计算。图10.30d图10.30en个自由度体系柔度法的一般方程可采用两种方法来推导。一种是如上述所示用柔度法直接推导，另一种是利用刚度法的方程间接导出。由刚度方程，有；然后用[K]-1前乘上式，并利用刚度矩阵与柔度矩阵之间的如下关系：得：令，得：由此得频率方程：其展开形式为：由此可得到关于λ的n次代数方程，可解出n个根。最后求与各个频率相应的主振型。为此，将代入前式，得：令i=1，2，……，n，可得n个向量方程，由此可求出n个主振型。

小结动荷载与静荷载的区别：是否考虑惯性力。动力自由度是指为了确定运动过程中任一时刻全部质量的位置所需确定的独立集合参数的数目。单自由度体系的自由振动：（1）微分方程：刚度法+=；柔度法（2）方程的解：其中：自振频率：=单自由度体系的强迫振动：（1）微分方程：（2）方程的解：简谐荷载：，一般荷载：=++，突加荷载低阻尼的自由振动：共振：；最大值：两个自由度体系的自由振动：（1）刚度法振动方程：方程的解：频率方程