椭圆及其标准方程课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第3

章圆锥曲线的方程3.1.1椭圆及其标准方程1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)学习目标

我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是一个圆.如果改变圆锥的轴与截平面所成的角，那么会得到怎样的曲线呢?

如图，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.

椭圆是圆锥曲线的一种具有丰富的几何性质，在科研生产和人类生活中具有广泛的应用，那么椭圆到底有怎样的几何性质，我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础。问题背景与思考一、椭圆的定义

探究取一条定长的细绳,把它的两端都固定在图板的同一点,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板的两点F1,F2,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线?在这一过程中,移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么?通过动画演示可知，画出的轨迹是椭圆.在这一过程中,移动的笔尖(动点)满足的几何条件是：移动的笔尖M(动点)到固定在图板上的两定点F1,F2的距离之和是定值,并且这个定值大于两定点间的距离，即由此可得椭圆的定义.一、椭圆的定义

平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆.这两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距.焦距的一半称为半焦距.椭圆的定义:思考动点的轨迹是椭圆应满足什么条件？②动点M到两个定点F1,F2的距离之和是常数；

动点M的轨迹是线段F1F2

；动点M没有轨迹

.①在平面内----(这是前提条件)；当|MF1|+|MF2|=|F1F2|时：当|MF1|+|MF2|<|F1F2|时：一、椭圆的定义椭圆的定义集合表示:椭圆的光学性质：从F1（F2）发出的光线，经椭圆反射后聚焦于点F2（F1）.定义中的“常数”通常用2a表示，焦距用2c表示，故2a>2c>0，即a>c>0,因此，椭圆的定义可以用集合表示为：｛M||MF1|+|MF2|=2a｝,其中|F1F2|=2c，a>c>0(1)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距离和为10,则M点的轨迹是什么?(2)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距离和为6,则M点的轨迹是什么?(3)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距离和为5,则M点的轨迹是什么?椭圆线段AB不存在椭圆定义的限制条件：|MF1|+|MF2|=2a>|F1F2|=2c>0F1F2M••xyO

如图示,建立平面直角坐标系.设M(x,y)是椭圆上任一点,椭圆的焦距为2c(c>0),M与F1,F2的距离的和等于常数2a(a>0),则(x,y)由定义知：化简整理得由椭圆定义知：为了使方程形式更简单：①我们把方程①叫做椭圆的标准方程.二.椭圆的标准方程

上式两边同除以a2(a2-c2)得设a2-c2=b2(b>0),则方程形式变为二.椭圆的标准方程

椭圆的标准方程:如图示,若椭圆的焦点在x轴上,则椭圆的标准方程为其中焦点坐标为F1(－c,0),F2(c,0),

c2＝a2－b2.F1F2M••xyO(x,y)思考1观察图,你能从中找出表示a,b,c的线段吗？F1F2P••xyO由图可知，abc思考2如图示,如果焦点F1,F2在y轴上,且F1,F2的坐标分别为(0,－c),(0,c),a,b的意义同上,那么椭圆的方程是什么?(焦点在x轴上)(焦点在y轴上)二.椭圆的标准方程

定义焦点位置图形方程特点共同点不同点F1F2M••xyOF1F2M••xyO焦点在x轴上焦点在y轴上a>b>0,且a2=b2+c2焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0)方程中的a2是x2的分母焦点坐标F1(0,-c),F2(0,c)方程中的a2是y2的分母二.椭圆的标准方程

解1:(定义法)由于椭圆的焦点在x轴上，且关于O（0，0）对称，故可设椭圆方程为由椭圆的定义知c=2，则故所求椭圆的标准方程为三、题型与方法题型一求椭圆的标准方程解2:(待定系数法)由于椭圆的焦点在x轴上，且关于O（0，0）对称，故可设椭圆方程为解得故所求椭圆的标准方程为三、题型与方法题型一求椭圆的标准方程【方法说明】2.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤：1.求椭圆标准方程的主要方法有：3.a,b,c满足的关系有：根据焦点位置设方程，代入计算出待定字母的值.

用定义寻找a,b,c的方程；(1)

定义法：(2)待定系数法：（1）定“位”：即确定焦点的位置；(2)设方程：根据上述判断设方程(3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组．即求a,b

的大小

.或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．三、题型与方法三、题型与方法题型一求椭圆的标准方程跟踪训练：所以c2＝25－9＝16.故a2－b2＝16

①.由①②得a2＝36，b2＝20，所以所求椭圆的标准方程为法二：由题意可设所求椭圆的标准方程为解得λ＝11或λ＝－21(舍去)．跟踪训练：题型一求椭圆的标准方程三、题型与方法解(1)因为椭圆的焦点在x轴上，(2)因为椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为(3)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．

例2.（1）如图，在圆x2+y2=4上任意一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,线段PD中点M的轨迹是什么？为什么？三、题型与方法题型二

利用椭圆定义求轨迹方程xyPMO•D•解1：(相关点代入法)设点M的坐标为(x,

y)，点P的坐标为(x0,

y0)，则点D的坐标为(x0,0).由点M是线段PD的中点，得∵点P（x0,y0）在圆x2+y2=4上,把x0=x,y0=2y代入上式,得x2+(2y)2=4,即∴x02+y02=4∴点M的轨迹是椭圆。注：寻求动点M的坐标(x,y)中x,y与另一已知动点坐标x0,y0之间的关系,然后消去x0,y0,得到点M的轨迹方程.这种方法叫相关点法（代入法）.三、题型与方法题型二

利用椭圆定义求轨迹方程

例2.（1）如图，在圆x2+y2=4上任意一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,线段PD中点M的轨迹是什么？为什么？xyPMO•D•解2：(参数法)设点M的坐标为(x,y),∵

P

在圆x2+y2=4上，∴可设P(2cosθ,2sinθ),由题意有消去参数θ，得∴点M的轨迹是一个椭圆.标准方程参数方程：参数方程x2＋y2＝r2(x－a)2＋(y－b)2＝r2圆圆椭圆三、题型与方法xyBMOA•

解:设点M(x,y)，由A(-5,0),

B(5,0)，可得点M的轨迹为除去（-5，0），（5，0）两点的椭圆。三、题型与方法解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法1.直接法：直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x，y的形式，即F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0.3.相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．

2.定义法：用定义法求椭圆方程的思路是先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．三、题型与方法1.由例2（1）我们发现，可以由圆通过“压缩”或

“拉伸”

得到椭圆.由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗?2.由例2（2）我们发现，“平面内的动点到两个定点连线的斜率之积为常数m（-1<m<0）,则动点的轨迹是椭圆；两定点分别为该椭圆的顶点；有时我们称此为椭圆的第三定义。”问题背景三、题型与方法三、题型与方法跟踪训练：1.如图，已知动圆P过定点A(－3，0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其内切，求动圆圆心P的轨迹方程．题型二

利用椭圆定义求轨迹方程解：设动圆P和定圆B内切于点M，动圆圆心P到两定点A(－3,0)和B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8>|AB|，所以动圆圆心P的轨迹是以A，B为左、右焦点的椭圆，其中c＝3，a＝4，b2＝a2－c2＝42－32＝7，其轨迹方程为基本轨迹法相关点法三、题型与方法题型三

椭圆中的焦点三角形问题从而|F1F2|＝2c＝2.在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos∠PF1F2，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.

①由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4.

②三、题型与方法题型三

椭圆中的焦点三角形问题解（2）∵∠PF1F2＝90°，∴|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2.从而(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋4，(1)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形．解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，再结合正弦定理、余弦定理等知识求解．(2)焦点三角形的常用公式①焦点三角形的周长L＝2a＋2c.②在△PF1F