双曲线及其标准方程课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第3

章圆锥曲线的方程3.2.1双曲线及其标准方程1.掌握双曲线的标准方程及其求法.2.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题.

3.与椭圆的标准方程进行比较,并加以区分.学习目标1.椭圆的定义:平面内与两个定点|F1F2|的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.2.椭圆的标准方程:问题：如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差”那么动点的轨迹会发生怎样的变化？知识回顾一.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.通常情况下，我们把|F1F2|记为2c(c>0),

常数记为2a(a>0)，则双曲线定义还可以描述为若||MF1|-|MF2||=2a<2c，则点M的轨迹是双曲线.思考1

定义中为什么强调距离差的绝对值为常数？一、双曲线的定义如果不加绝对值，那得到的轨迹只是双曲线的一支.一.双曲线的定义新知探究①若2a=2c,即||MF1|-|MF2||=

|F1F2|，则轨迹是什么？②若2a>2c,即||MF1|-|MF2||>

|F1F2|，则轨迹是什么？③若2a=0,即|MF1|=|MF2|，则轨迹是什么？此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线此时轨迹不存在此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线分3种情况来看：

思考2

定义中为什么强调常数要小于|F1F2|且不等于0(即0<2a<2c)？如果不对常数加以限制，动点的轨迹会是什么？一.双曲线的定义

设M(x,y)为双曲线上任一点,双曲线的焦距为2c(c>0),那么焦点F1,F2的坐标分别为F1(-c,0),F2(c,0),又设||MF1|-|MF2||=2a(0<a<c),则有二、双曲线标准方程①

建系:如图所示，建立平面直角坐标系.②设点：③列式：④化简整理得：方程推导思考

类比椭圆，请思考焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？

这个方程也是双曲线的标准方程，它表示焦点在y轴上，焦点坐标分别是F1(0,-c),F2(0,c)的双曲线，这里c2=a2+b2.二、双曲线标准方程

我们把上述方程叫做双曲线的标准方程，它表示焦点在x轴上，焦点坐标分别是F1(-c,0),F2(c,0)的双曲线，这里c2=a2+b2.三.辨析和应用1．平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．

(

)2．平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．

(

)3．平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．

(

)4．在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同．

(

)概念辨析：××××

应用1

已知双曲线的焦点

F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到焦点的距离差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程.三.辨析和应用解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为：所以，双曲线的标准方程为：由2c=10,2a=6,得c=5,a=3,所以b2=52-32=16.

应用2

已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.三.辨析和应用解：建立平面直角坐标系，使两点A,B在x轴

上，并且原点与线段AB的中点重合，设炮弹炸点P的坐标为(x,y)，则|PA|-|PB|=340×2=680，即2a=680,a=340又|AB|=800，所以2c=800，c=400,b2=c2-a2=44400因为|PA|-|PB|=680>0，所以点P的轨迹是双曲线的右支，因此x≥340,所以，炮弹炸点的轨迹方程为：想一想：如果A,B两处同时听到爆炸声，那么爆炸点应在什么样的曲线上？答：爆炸点应在线段AB的中垂线上.

由应用2可知，利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差,就可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但是不能确定爆炸点的准确位置.

要想确定爆炸点的准确位置，还需增设一个观测点C，利用A,C(或B,C)两处测得的爆炸声的时间差,求爆炸点所在的另一个双曲线的方程.

解这两个双曲线方程组成的方程组,就能确定爆炸点的准确位置.

这是双曲线的一个重要应用.思考如何准确测出爆炸点的位置？

三.辨析和应用四.题型与方法题型一求双曲线的标准方程把点A的坐标代入，得b2＝9.无解；四.题型与方法题型一求双曲线的标准方程(3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0.因为点P，Q在双曲线上，解得四.题型与方法1．求双曲线标准方程的步骤(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解．2．双曲线标准方程的两种求法(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程．提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn＜0.四.题型与方法题型一求双曲线的标准方程四.题型与方法题型二

双曲线中焦点三角形问题(1)由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.故点M到另一个焦点的距离为10或22.四.题型与方法题型二

双曲线中焦点三角形问题(2)将|PF2|－|PF1|＝2a＝6两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，则|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理得四.题型与方法题型二

双曲线中焦点三角形问题四.题型与方法题型三

与双曲线有关的轨迹问题解：以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，(R为△ABC的外接圆半径)．∵2sinA＋sinC＝2sinB，∴2|BC|＋|AB|＝2|AC|，由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)．四.题型与方法题型三

与双曲线有关的轨迹问题求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．常见的方法：基本轨迹法寻找几何关系，结合双曲线的定义，待定系数法得出对应的方程．四.题型与方法题型三

与双曲线有关的轨迹问题[跟踪训练]3如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．解：圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5,0)，半径r1＝1.圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5,0)，半径r2＝4.设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3＜10＝|F1F2|.∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，双曲线两种标准方程的特点①方程用“－”号连接；②分母是a2,b2,且a>0,b>0，但a,b大小不定；③c2=a2+b2

；

④

如果x2的系数是正的，则焦点在x轴上；

如果y2的系数是正的，则焦点在y轴上.五.小结与练习课堂小结椭圆双曲线定义方程焦点在x轴上焦点在y轴上焦点a,b,c的关系F1(－c,0),F2(c,0)a>0,b>0,c2=a2+b2

a,b,c中c最大a>b>0,a2=b2+c2

a,b,c中a最大双曲线与椭圆之间的区别与联系||MF1|－|MF2||=2a(a<c)|MF1|+|MF2|=2a(a>c)F1(0,－c),F2(0,c)F1(－c,0),F2(c,0)F1(0,－c),F2(0,c)五.小结与练习达标训练五.小结与练习1．动点P到点M(1,0)的距离与点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是(

)A．双曲线

B．双曲线的一支

C．两条射线 D．一条射线2．已知F1(－8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则