选择性空间向量与立体几何专题05空间向量的坐标运算

空间向量与立体几何专题05空间向量的坐标运算一、学习目标：1.掌握空间向量运算的坐标表示2.通过向量坐标判断两向量特殊位置关系3.掌握向量长度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式4.培养学生类比思想、转化思想，提升学生“数学运算”和“逻辑推理”学科素养二、知识梳理1.空间向量运算的坐标表示：设，则2.空间向量垂直平行的坐标表示：当时，3.空间向量的模长与夹角（1）（2）已知，则（3）非零向量与夹角公式三、类型归纳类型一：空间向量的坐标运算类型二：空间向量的垂直、平行、模长问题类型三：利用空间向量解决简单的立体几何中的垂直、距离、夹角问题四、类型应用类型一：空间向量的坐标运算【例11】已知向量，，，求：(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)2(3)4【分析】（1）根据空间向量的坐标的线性运算即可求解，（2）（3）根据空间向量数量积的坐标运算即可求解，【详解】（1）由，得（2）（3）【变式训练11】已知向量,则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】推导出,利用向量坐标运算法则直接求解.【详解】∵向量,∴.故选:B.【变式训练12】已知向量则的坐标为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据空间向量的坐标运算求解.【详解】由题可得，故选:B.【变式训练13】若，，，则（

）A．11 B．3 C．4 D．15【答案】C【分析】先求出的坐标表示，再利用向量数量积的坐标表示计算即可【详解】由已知，，，∴.故选：C．类型二：空间向量的垂直、平行、模长问题【例21】已知，，且，则________．【答案】2【分析】根据空间向量垂直的坐标表示可解.【详解】因为，，所以，解得.故答案为：2【例22】设，若向量与向量平行，则__________.【答案】【分析】根据已知可得，求解即可得出答案.【详解】因为，所以有，且，所以，，所以.故答案为：.【例23】向量的模__________.【答案】【分析】直接计算模长得到答案.【详解】，则.故答案为：【例24】已知，，且，则向量与的夹角为__________【答案】【分析】根据向量数量积的坐标运算求出，再利用夹角公式求夹角.【详解】因为，，，所以，解得；，因为，所以.故答案为：.【变式训练21】，，则_______．【答案】6【分析】首先求出的坐标，再根据向量模的坐标表示计算可得.【详解】解：因为，，所以，所以；故答案为：.【变式训练22】在空间直角坐标系中，点到点的距离是_____．【答案】4【分析】利用空间两点间的距离公式即得．【详解】∵点和点，∴点到点间的距离是.故答案为：4.【变式训练23】设是实数，已知三点，，在同一条直线上，那么（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】求出，.进而根据三点共线得出，即可列出方程组，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，.因为三点共线，所以存在唯一实数，使得，所以，解得，所以.故选：D.【变式训练24】已知向量，，且，那么等于（

）A． B． C． D．5【答案】C【分析】先根据向量垂直数量积为零求坐标，再根据坐标求模长计算即可.【详解】因为，，且，所以，即，所以，所以，故选：C．【变式训练25】（多选）已知空间向量则下列结论正确的是（）A． B．与夹角的余弦值为C． D．【答案】AD【分析】由向量的数量积运算以及向量平行的坐标运算求解即可.【详解】对于A：，则，即，故A正确；对于B：与夹角的余弦值为，故B错误；对于C：，因为，所以与不平行，故C错误；对于D：，故D正确；故选：AD【变式训练26】已知向量，则向量在向量上的投影向量（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用投影向量的定义求解作答.【详解】向量，，，所以向量在向量上的投影向量.故选：B【例3】已知向量，，，且．(1)求实数的值；(2)若，求实数的值．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）由已知，使得.解方程组，即可得出答案；（2）求出，，根据向量垂直的坐标表示，列出方程，求解即可得出的值．【详解】（1）因为，所以，使得，所以有，解得，所以，.（2）由（1）知，，所以，.因为，所以，即，解得.【变式训练3】已知．(1)求；(2)已知点在直线上，求的值；(3)当为何值时，与垂直？【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据空间向量数量积的坐标运算直接求解；（2）利用空间向量共线的坐标表示求解；（3）利用空间向量垂直的坐标表示求解.【详解】（1），，．（2）因为点在直线上，与共线，则存在使得，即，，解得；（3），与垂直,，，时，与垂直．类型三：利用空间向量解决简单的立体几何中的垂直、距离、夹角问题【例41】分析：【详解】证明：如图，以为原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为1.则所以又所以所以所以【例42】如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且．求．【答案】【分析】利用空间向量法求两个向量所成角的余弦值.【详解】如图，建立空间直角坐标系D－xyz，D为坐标原点，则有，，，，，，，，所以，，.所以.【例43】如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且，H为C1G的中点．求||.【答案】【分析】利用空间向量法求向量的模长得到结果.【详解】如图，建立空间直角坐标系D－xyz，D为坐标原点，则有，，，，，，，，.【变式训练41】棱长为2的正方体中，E、F分别是、DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：(1)求证：；(2)求；(3)求的长．【答案】(1)证明见解析;(2);(3).【分析】（1）以D为坐标原点建立空间直角坐标系，首先求出相应点的坐标，再证明即可；（2）求出的坐标，再根据即可求得答案；（3）转化为求即可.【详解】（1）解：如图，以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则,因为，所以，所以，故；（2）解：因为，所以因为，且,所以；（3）解：因为是的中点，所以又因为，所以,.即.【变式训练42】如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点．(1)求的距离；(2)求的值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）以点C作为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用向量的模长公式计算即可；（2）利用向量夹角运算公式计算的值；【详解】（1）如图，以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，依题意得，，，．，∴∴．所以的距离为.（2）依题意得，，，，∴，，，，，∴．【变式训练43】在长方体中，已知，连接，如图，建立空间直角坐标系．(1)求与的坐标；(2)求向量在平面上的投影向量的坐标．【答案】(1)；；(2).【分析】（1）根据给定的空间直角坐