2021年中考数学复习-数式规律(解析版)

类型一数式规律1．探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它的体积小，密度大，吸引力强，任何物体到它那里都别想再“爬出来”，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新的数，然后把这个新数每个数位上的数字再立方，求和…，重复运算下去，就能得到一个固定的数T=，我们称它为数字“黑洞”，T为何具有如此魔力通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！此短文中的丁是（）A．363B．153C．159D．456【答案】B;【解析】把6代入计算，第一次立方后得到216；第二次得到225；第三次得到141；第四次得到66；第五次得到432；第六次得到99；第七次得到1458；第八次得到702；第九次得到351；第十次得到153；开始重复，则T=153.故选B.【点评】此题只需根据题意，任意找一个符合条件的数进行计算，直至计算得到重复的数值，即是所求的黑洞数.可以任意找一个3的倍数，如6.第一次立方后得到216；第二次得到225；…；第十次得到153；开始重复，则可知T=153.12 342.（1）有一列数—-,-,- ,—，…，那么依此规律，第7个数是；251017（2）已知1 12 1 13 1 14 1a- 1—=一,a- 1—=一,a- 1—=—,a一-；二二11X2X3 23 2 2X3义4 38 3 3义4义5 415 4 4义5*615+————,…,524依据上述规律，则a-997【答案】（1）—50（2）1009999【解析】（1）符号：单数为负，双数为正，所以第7个为负.分子规律：第几个数就是几，即第7个数分子就是7，分母规律：分子的平方加1，第7个数分母就是50.所以第77个数是一501 1 100（2）a- + - .9999X100X1011009999【点评】(1)规律：(－1)(2)规律：nn• n2+11(n为正整数); 1

n(n+1)(n+2)n+1n+1(n为正整数).n(n+2)13．(1)先找规律，再填数：11 1111—+——1=—，—+——12 23421111 1111 1 ,—+———= ,—+———= ,

1256330784561则需+上2011x2012Iab(a>b,a丰0)(2)对实数a、b,定义运算★如下：a*b=<Ia-b(a<b,a丰0)1例如2^3=2-3=-.计算[2*(-4)]X[(-4)^(-2)]=81【答案】⑴1006(2)1；【解析】(1)规律为：11一+ nn+1n+1 n(n+1)r(n为正整数).(2)[2^(-4)]X[(-4)^(-2)]=2-4X(-4)2=1.1114.a是不为1的有理数，我们把—1—a称为a的差倒数.如：2的差倒数是—=—1,—1．．．1-2113，的差倒数是1-(-1) 2-.已知a=-a2是a1的差倒数,a3是a2的差倒数a是a的43差倒数，…，依此类推，则〃2009【答案】因为a=—111T-11

1-413,11-(一!=4,……..三个一循环，因此13，1，．a5a23—,a4 31口4.=4,a=一3—,a461.44一a2a200911—(—―)3345．在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了.下面两个图框是用法国“小九九”计算8X9和6X7的两个示例.SXO=?左手II右手;两手伸出的手揩数的和为7,未伸出的手指数的积为2』Sx9=72.I座x9=lClx©+4)+2xl=72)，|右手！■「两手伸出的手指数的和为一未伸出的手指数的积为二,Sx7=42.x7=iax(l+2)+4x3=(1)用法国“小九九”计算7X8,左、右手依次伸出手指的个数是多少?(2)设a、b都是大于5且小于10的整数，请你说明用题中给出的规则计算aXb的正确性?【答案】2,3【解析】(1)按照题中示例可知：要计算7X8,左手应伸出7-5=2个手指，右手应伸出8-5=3个手指；(2)按照题中示例可知：要计算aXb,左手应伸出(a-5)个手指，未伸出的手指数为5-(a-5)=10-a；右手应伸出(b-5)个手指，未伸出的手指数为5-(b-5)=10-b两手伸出的手指数的和为(a-5)+(b-5)=a+b-10,未伸出的手指数的积为(10-a)X(10-b)=100-10a-10b+aXb根据题中的规则，aXb的结果为10X(a+b-10)+(100-10a-10b+aXb)而10X(a+b-10)+(100-10a-10b+aXb)=10a+10b-100+100-10a-10b+aXb=aXb所以用题中给出的规则计算aXb是正确的..将正偶数按下表排列：第1列第2列第3列第4列第1行 2第2行 4 6第3行 8 10 12第4行 14 16 18 20根据上面的规律，则2006所在行、列分别是【答案】第45行第13列【解析】观察数列2,4,6,8,10,...每个比前一个增大2,2006是这列数字第1003个.每行数字的个数按照1,2,3,4,5,n递增，根据等差数列求和公式，第n行（包括n行）以前的所有数字的个数一（n+l）n如果2006在第n行，那么'/21。。3（n+1）n设=1003，解得n约为44.5,n取整数，因此n=45。44到第44行（含44行）共有数字（44+1）乂-=990个；45到第45行（含45行）共有数字（45+1）乂-=1035个；2006是第1003个，在45行13列..在数学活动中，小明为了求1+1-+1-+1-+…+1-的值（结果用n表示），设22223 24 2n计如图（1）所示的几何图形.（1）请你利用这个几何图形求三+—+—+—+---+—的值为 .222 2324 2n（2）请你利用图（2）再设计一个能求1+1-+1-+1-+…+1-的值的几何图形.22223 24 2n(1) C2)【答案】.细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题(l)+1=2,S二包

1 25)+1=3,S2=今(；3)+1=4,S=邑3 2(1)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律;(2)推算出0Al0的长；(3)求出Sj+S22+S32+…+S/的值.【答案】(1)由题意可知，图形满足勾股定理，(1+1=n+1,S=①n2(2)因为0A1=1,0A2=、2,OA3=f3…，所以OA10=,:10(3)S12+S22+S32+…+S102八1、2八2、2不、2 /<10=(—)2+(—)2+(—)2+...+(——

2 2 2 2)2=4(1+2+3+…+10)55了9.根据以下10个乘积，回答问题：11义29； 12义28； 13义27； 14义26；16义24； 17X23； 18义22； 19义21；15义25；20X20.(1)试将以上各乘积分别写成一个“口2-02”(两数平方差)的形式，并写出其中一个的思考过程；(2)将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；(3)试由(1)、(2)猜想一个一般性的结论.(不要求证明)【答案】(1)11X29=202-92；12X28=202-82；13X27=202-72；14X26=202-62；15X25=202-52；16X24=202-42；17X23=202-32；18X22=202-22；19X21=202-12；20X20=202-02；例如：11X29；假设HX29二口2-0；因为口?-。口(口+。)(口-。)所以，可以令口-OH,0+0=29解得，口:20,0=9,故nX29=2O9?(或11X29=(20-9)(20+9)=202-92)(2)这10个乘积按照从小到大的顺序依次是：11X29<12X28<13X27<14X26<15X25<16X24<17X23<18X22<19X21<20X20.(3)①若a+b=40,a,b是自然数,则ab<202=400.②若a+b=40,则ab<202=400.③若a+b=m,a,b是自然数，则?ab<(-f④若a+b=m,则2⑤若a]+b]=a2+b2=a3+b3=,-=a+b=40,且|a1-b11三|a2-b21三la.bj三…三|a-b|,则a1b1<a2b2<a3b3<-<anbn-⑥若ai+bi=a2+b2=a3+b3=".=an+bn=m，且1aJbj三1a2-3三1a3-b31三…三H-bj，则WWa2b2^a3b3<・Wa”10、有一组数：1,2,5,10,17,26,……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为.【答案】：50【解析】仔细观察这一数列中的各个数字的构成特点，不难发现如下；第一个数是1,第二个数数1+1,第三个数是1+1+3,第四个数是1+1+3+5,第五个数是1+1+3+5+7,第六个数是1+1+3+5+7+9,为了使规律凸显的明显，我们不妨把第一个数1也写成两个数的和的形式，为1+0,这样，就发现数字1是固定不变的，规律就蕴藏在新数列0,1,4,9,16中，而0,1,4,9,16 这些数都是完全平方数，并且底数恰好等于这个数字对应的序号与1的差，即1=1+(1-1)2,2=1+(2-1)2,5=1+(3-1)2,10=1+(4-1)2,17=1+(5-1)%26=1+(5-1)3这样，第n个数为1+(n-1) 找到数列变化的一般规律后，就很容易求得任何一个序号的数字了。因此，第八个数就是当n=8时，代数式1+(n-1)2的值，此时，代数式1+(n-1)z的值为1+(8-1)2=50o所以，本空填50。H.古希腊数学家把1,3,6,10,15,21,……，叫做三角形数，根据它的规律,则第100个三角形数与第98个三角形数的差为.【答案】：199【解析工本题中数列的数字，不容易发现其变化的规律。我们不妨利用函数的思想去试一试。当序号为1时，对应的值是1,有序号和对应的数值构成的点设为A,则A(1,1)；当序号为2时，对应的值是3,有序号和对应的数值构成的点设为B,则B(2,3)；当序号为3时，对应的值是6,有序号和对应的数值构成的点设为C,则C(3,6)；3-1-6-3- 3-16-3—=2——=3 「W成立，所以，对应的数值y是序—— —— —— —号n的二次函数，因此，我们不妨设y=an2+bn+c,把A(1，1)，B(2，3)，C(3，6)分别代入丫=2必+匕9+。中，得：a+b+c=1，4a+2b+c=3，9a+3b+c=6，解得：a=—，b=—，c=0，11所以，y=T-n2+yn，因此，当n=100时，y=-X1002+2X100，11 11 11当n=98时，y=2X982+2X98,因此(-X1002+2X100)-(2X982+2X98)=199，所以该空应该填199。12、为庆祝“六U一"儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛.如图所示:按照上面的规律，摆吊个“金鱼”需用火柴棒的根数为( )A.2+3B.日+6- c.4+4"D,%【答案1A【解析工第一个图需要火柴的根数是8,有序号和对应的数值构成的点设为A,则A(l,8)；第二个图需要火柴的根数是14,有序号和对应的数值构成的点设为B,则B(2,14)；第三个图需要火柴的根数是20,有序号和对应的数值构成的点设为C,则C(3,20)；14—8,20—14,=6,―——=6,所以有:—— 3—214—820—14成立，所以，每个图形2—1 3—2中所需要的火柴的总根数y是这个图形的序号n的一次函数，因此，我们不妨设y=kn+b，把A(1，8)，B(2，14)分别代入丫二圆+匕中得：k+b=8，2k+b=14，解得：k=6，b=2,所以，y=6n+2。因此选A。13、下列图案是由边长为单位长度的小正方形按一定的规律拼接而成。依此规律，第5个图案中小正方形的个数为【答案】50【解析】仔细观察第一个图，正方形的个数为1,第二个图形中正方形的特点是中间是3个，左右两边各一个，即为1+3+1个，第三个图形中正方形的特点是中间是5个，左右分别是1+3个，即为1+3+5+3+1,分析到这里，相信你一定想到了这里面的变化规律了吧。是的，第n个图形中正方形的个数为1+3+5++(2n-1)+ +5+3+1=2n2-2n+1,这样，第5个图形中正方形的个数，也就是当n=5时，代数式2n2-2n+1的值，所以，代数式的值为：2n2-2n+1=2X52-2X5+1=41个。所以，本空填50。14、按如下规律摆放三角形：△△△△△△△△⑵△△△△△则第(4)堆三角形的个数为；第(n)堆三角形的个数为.【答案】：14,3n+2【解析工仔细观察第一个图形，三角形排列的特点是中间3二(1+2)个,左右各1个,即图1中三角

形的总数为1+(1+2)+1,第二个图形中三角形形的特点是中间是4二(2+2)个，左右两边各2

个，即为2+(2+2)+2个，第三个图形中三角形的特点是中间是5二(3+2)个，左右分别是3个,

即为3+(3+2)+3,分析到这里，相信你一定想到了这里面的变化规律了吧。是的，第n个图

形中三角形的个数为n+(n+2)+n=3n+2,这样，第4个图形中三角形正方形的个数，也就

是当"4时，代数式3n+2的值，所以，代数式的值为：3ri+2=3X4+2=14个。所以，本题的

两个空分别填14和3n+2o15、下列图中有大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中

有5个，则第〃幅图中共有个。O<<€><380…<30…O12 3 n【答案】2n+1【解析】仔细观察第一个图形，有一个菱形，第二个图形中有3个菱形，第三个图形中有5个菱

形，仔细观察这些数的特点，恰好是奇数构成的数列，由此，就清楚了变化的规律了。

所以，第n个图形中有2n+1个菱形。16、试观察下列各式的规律，然后填空:(二一1)(元+1)=/-1(X-1)(/+X+1)=X3-1(二一1)(元*+1+元+1)=x4-1贝 +/+……+工+1)=o【答案】：Xll-1【解析工要想找到式子的变化规律，同学们应该仔细观察式子的特点，找出式子中，哪些量是在固定不变的，哪些量是在不断变化。这对解题很关键。仔细观察式子，不难发现等式左边中的(X-1)是个固定不变的量。左边式子中第二个括号中多项式的次数是不断变化的，且多项式的次数等于对应等式的序号数，即第一个等式中的多项式的次数是1,第二个等式中的多项式的次数为2,所以，第n个等式中的多项式的次数为n,这是等式左边的变化规律；等式右边的规律，容易找些，多项式中的常数项是保持不变的，字母x的指数随等式的序号变化而变化，且满足字母x的指数等于等式的序号加1。所以，第10个等式的结果为xii-1o17、观察下列各式：153=lx(l+l)xlOO+53=225252=2x(2+l>100+52=625=3x(3+1>100+=1225……依此规律，第n个等式(n为正整数)为。【答案】：(10n+5)2=n(n+1)X100+52。【解析】要想找到式子的变化规律，同学们应该仔细观察式子的特点，找出式子中，哪些量是在固定不变的，哪些量是在不断变化。这对解题很关键。等式左边底数的特点是，个位数字都5,是个不变的量，十位数字与对应的序号一致，分别是1、2、3、4 ；等式右边的特点是：第一个数字与对应的序号是一致的，括号里的数字的特点是对应的序号与常数1的和；第三个数字又是一个固定的常数100；第四个数字是常数5的平方，也是固定不变的。通过分析，我们知道在这里对应的序号是问题的根本。而第n个等式的序号为n,所以第n个等式应该是：(10n+5)2=n(n+1)X100+52。18、观察下列等式:第一行 3=4-1第二行 5=9-4第三行 7=16-9第四行 9=25-16… …按照上述规律，第n行的等式为【答案工2n+l=(n+1)2-rp。【解析工等式的左边的特点是：奇数3、5、7、9…，这些奇数可以用对应的序号表示，3=2X1+1,5=2X2+1,7=2X3+1,9=2X4+1,其中1、2、3、4等恰好是对应的序号，所以，第n个奇数为2n+l,这样，我们就把等式左边的规律找出来了；等式右边的特点是：被减数为4、9、16、25、…恰好是22,32,42,52,…等对应的幕,幕的底数与对应的序号的关系是：底数二对应序号+1,这样，我们就又找到了