初中数学九大几何模型

初中数学九大几何模型初中数学九大几何模型初中数学九大几何模型初中数学九大几何模型一、手拉手模型----旋转型全等D（1）等边三角形OOCECA图1BA图2【条件】：△OAB和△OCD均为等边三角形；【结论】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=60°；③OE均分∠AEDD（2）等腰直角三角形OCEABA图1

DEBDOECB图2【条件】：△OAB和△OCD均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=90°；③OE均分∠AED（3）顶角相等的两任意等腰三角形DOOC【条件】：△OAB和△OCD均为等腰三角形；DE且∠COD=∠AOBE【结论】：①△OAC≌△OBD；C②∠AEB=∠AOB；③OE均分∠AEDA图1BA图2BOO二、模型二：手拉手模型----旋转型相似（1）一般状况D【条件】：CD∥AB，CD将△OCD旋转至右图的地点AB【结论】：①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD；②延长AC交BD于点E，必有∠BEC=∠BOAO（2）特别状况CD【条件】：CD∥AB，∠AOB=90°将△OCD旋转至右图的地点AB【结论】：①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD；②延长AC交BD于点E，必有∠BEC=∠BOA；③BDODOBtan∠OCD；④BD⊥AC；ACOCOA⑤连接AD、BC，必有AD2BC222；⑥S△BCDABCD三、模型三、对角互补模型（1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC均分∠AOB

ECABDOCEABACBD2ACDOEB图1【结论】：①CD=CE；②OD+OE=2OC；③S△DCES△OCDS△OCE1OC2A2证明提示：CM①作垂直，如图2，证明△CDM≌△CEND②过点C作CF⊥OC，如图3，证明△ODC≌△FEC※当∠DCE的一边交AO的延长线于D时（如图4）：ONEB图2以上三个结论：①CD=CE；②OE-OD=2OC；A1OC2AMC③S△OCES△OCD2CDONBEO图3EFBD图42）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC均分∠AOB【结论】：①CD=CE；②OD+OE=OC；③S△DCES△OCDS△OCE3OC24证明提示：①可参照“全等型-90°”证法一；②如右以下图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明△OCF为等边三角形。ACACFFOEBOEFB（3）全等型-任意角ɑ【条件】：①∠AOB=2ɑ，∠DCE=180-2ɑ；②CD=CE；【结论】：①OC均分∠AOB；②OD+OE=2OC·cosɑ；③S△DCES△OCDS△OCEOC2sinαcosα※当∠DCE的一边交AO的延长线于D时（如右以下图）：原结论变为：①；②；③。可参照上述第②种方法进行证明。请思虑初始条件的变化对模型的影响。ACDAOEBCOEBD对角互补模型总结：①常有初始条件：四边形对角互补，注意两点：四点共圆有直角三角形斜边中线；②初始条件“角均分线”与“两边相等”的差别；A③注意OC均分∠AOB时，C∠CDE=∠CED=∠COA=∠COB如何指引？DO四、模型四：角含半角模型90°（1）角含半角模型90°---1【条件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；【结论】：①EF=DF+BE；②△CEF的周长为正方形ABCD周长的一半；也可以这样：【条件】：①正方形ABCD；②EF=DF+BE；【结论】：①∠EAF=45°；ADAFBECGBE（2）角含半角模型90°---2【条件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；【结论】：①EF=DF-BE；ADADACCEBEBEB

EBDFCDCFFF（3）角含半角模型90°---3【条件】：①Rt△ABC；②∠DAE=45°；【结论】：BD2CE2DE2（如图1）若∠DAE旋转到△ABC外面时，结论BD2CE2DE2依旧建立（如图AAFBDECBDFECAADBECDBE（4）角含半角模型90°变形ADA【条件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；HF【结论】：△AHE为等腰直角三角形；证明：连接AC（方法不独一）G∵∠DAC=∠EAF=45°，BCBE∴∠DAH=∠CAE，又∵∠ACB=∠ADB=45°；∴△DAH∽△CAE，∴DAACAHAE∴△AHE∽△ADC，∴△AHE为等腰直角三角形

2）CDHFGEC模型五：倍长中线类模型（1）倍长中线类模型---1【条件】：①矩形ABCD；②BD=BE；DF=EF；

ADADFFBCEHBEH【结论】：AF⊥CF模型提取：①有平行线AD∥BE；②平行线间线段有中点DF=EF；可以构造“8”字全等△ADF≌△HEF。（2）倍长中线类模型---2【条件】：①平行四边形ABCD；②BC=2AB；③AM=DM；④CE⊥AB；【结论】：∠EMD=3∠MEA辅助线：有平行AB∥CD，有中点AM=DM，延长EM，构造△AME≌△DMF，连接CM构造等腰△EMC，等腰△MCF。（经过构造8字全等线段数目及地点关系，角的大小转变）FAMAMDDEEBCBC模型六：相似三角形360°旋转模型1）相似三角形（等腰直角）360°旋转模型---倍长中线法【条件】：①△ADE、△ABC均为等腰直角三角形；②EF=CF；【结论】：①DF=BF；②DF⊥BF辅助线：延长DF到点G，使FG=DF，连接CG、BG、BD，证明△BDG为等腰直角三角形；打破点：△ABD≌△CBG；CC难点：证明∠BAO=∠BCGFGFDDABABE（2）相似三角形（等腰直角）360°旋转模型---补全法C【条件】：①△ADE、△ABC均为等腰直角三角形；②EF=CF；CG【结论】：①DF=BF；②DF⊥BF辅助线：构造等腰直角△AEG、△AHC；F辅助线思路：将DF与BF转变到CG与EF。FDDABABEEH3）任意相似直角三角形360°旋转模型---补全法【条件】：①△OAB∽△ODC；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE；【结论】：①AE=DE；②∠AED=2∠ABO辅助线：延长BA到G，使AG=AB，延长CD到点H使DH=CD，补全△OGB、△OCH构造旋转模H型。转变AE与DE到CG与BH，难点在转变∠AED。OGOADDABBECEC4）任意相似直角三角形360°旋转模型---倍长法【条件】：①△OAB∽△ODC；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE；【结论】：①AE=DE；②∠AED=2∠ABO辅助线：延长DE至M，使ME=DE，将结论的两个条件转变为证明△AMD∽△ABO，此犯难点，将△AMD∽△ABC连续转变为证明△ABM∽△AOD，使用两边成比率且夹角相等，此处难点在O证明∠ABM=∠AODODADABEBCEC模型七：最短行程模型M（1）最短行程模型一（将军饮马类）A总结：右四图为常有的轴对称类最短行程问题，最后都转变到：“两点之间，线段最短：解决；

B特色：①动点在直线上；②起点，终点固定PA+PBlPB'A'l1APAA'AA'BPl1BQl2lQl2PA+PQ+BQPQPA+PQ+BQB'PA+PQ+BQB'B（2）最短行程模型二（点到直线类1）【条件】：①OC均分∠AOB；②M为OB上必定点；③P为OC上一动点；④Q为OB上一动点；【问题】：求MP+PQ最小时，P、Q的地点？辅助线：将作Q关于OC对称点Q’，转变PQ’=PQ，过点M作MH⊥OA，A则MP+PQ=MP+PQ’MH(垂线段最短）AHQ'PPOQMB（3）最短行程模型二（点到直线类2）【条件】：A(0,4),B(-2,0),P(0,n）【问题】：n为什么值时，PB5PA最小？5求解方法：①x轴上取C(2,0),使sin∠OAC=5；②过B作BD⊥AC，交y轴于点E，即为5所求；③tan∠EBO=tan∠OAC=1，即E（0，1）2yA

yAPPDEBOxBOCx（4）最短行程模型三（旋转类最值模型）【条件】：①线段OA=4，OB=2；②OB绕点O在平面内360°旋转；【问题】：AB的最大值，最小值分别为多少？【结论】：以点O为圆心，OB为半径作圆，以以下图，将问题转变为“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”。B最大值：OA+OB；最小值：OA-OBA最小值地点O最大值地点【条件】：①线段OA=4，OB=2；②以点O为圆心，OB，OC为半径作圆；③点P是两圆所构成圆环内部（含界限）一点；【结论】：若PA的最大值为10，则OC=6；若PA的最小值为1，则OC=3；若PA的最小值为2，则PC的取值范围是0<PC<2CBAOP【条件】：①Rt△OBC，∠OBC=30°；OC=2；③OA=1；④点P为BC上动点（可与端点重合）；⑤△OBC绕点O旋转【结论】：PA最大值为123；PA的最小值为OBOA31OA+OB=12以以下图，圆的最小半径为O到BC垂线段长。CCPPAOBAOB模型八：二倍角模型【条件】：在△ABC中，∠B=2∠C；辅助线：以BC的垂直均分线为对称轴，作点A的对称点A’，连接AA’、BA’、CA’、则BA=AA’=CA’(注意这个结论）此种辅助线作法是二倍角三角形常有的辅助线作法之一，不是独一作法。AAA'BCBCA模型九：相似三角形模型（1）相似三角形模型--基本型D平行类：DE∥BC；BA字型结论：ADAEDE(注意对应边要对应）ABACBC（2）相似三角形模型---斜交型【条件】：如右图，∠AED=∠ACB=90°；E【结论】：AE×AB=AC×ADB【条件】：如右图，∠ACE=∠ABC；2【结论】：AC=AE×ABB2

EDAAEDECBCBC8字型A字型AAEDCCB斜交型斜交型DAEE斜交型CB双垂型2

AC第四个图还存在射影定理：AE×EC=BC×AC；BC=BE×BA；CE=AE×BE；（3）相似三角形模型---一线三等角型E【条件】：（1）图：∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°；（2）图：∠ABC=∠ACE=∠CDE=60°；A（3）图：∠ABC=∠ACE=∠CDE=45°；【结论】：①△ABC∽△CD