苏教版学高中数学必修二立体几何初步直线与平面的位置关系直线与平面平行讲义

学习目标核心素养１．通过直观感知、操作确认直线与平面的位置关系及线面平行的判定定理．（重点）２．理解并会证明直线与平面平行的性质定理．（难点）３．会用图形语言和符号语言描述直线和平面平行的判定定理和性质定理．（重点、易错点）通过学习本节内容提升学生的直观想象、逻辑推理数学核心素养.１．直线和平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示aαa∩α＝Aa∥α图形表示２．直线与平面平行的判定定理（１）自然语言：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．（２）图形语言：如图所示．（３）符号语言：eq\b\lc\\rc\}（\a\vs４\al\co１（a⊄α,bα,a∥b））⇒a∥α．３．直线与平面平行的性质定理（１）自然语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．（２）图形语言：如图所示．（３）符号语言：eq\b\lc\\rc\}（\a\vs４\al\co１（l∥α,lβ,α∩β＝m））⇒l∥m．１．思考辨析（１）若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α. （）（２）若直线a在平面α外，则a∥α. （）（３）若直线a∩b＝，bα，则a∥α. （）（４）若直线a∥平面α，则直线a平行于平面α内的无数条直线． （）[答案]（１）×（２）×（３）×（４）√[提示]（１）l也可能在平面α内．（２）直线a也可能和平面α相交．（３）a∥α或aα或a与平面α相交．２．如果直线a∥b，且a∥平面α，那么b与平面α的位置关系是________．b∥α或bα[若a∥b，且a∥平面α，则b与平面α的位置关系如图所示．]３．能保证直线a与平面α平行的条件是__________（填序号）．（１）bα，a∥b；（２）bα，c∥α，a∥b，a∥c；（３）bα，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD；（４）aα，bα，a∥b.（４）[由线面平行的判定定理可知（４）正确．]４．如图所示的三棱柱ABC­A１B１C１中，过A１B１的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是__________．平行[∵ABC­A１B１C１是三棱柱，∴A１B１∥AB又∵A１B１平面ABC，AB平面ABC，∴A１B１∥平面ABC.∵A１B１平面A１B１ED，平面A１B１ED∩平面ABC＝DE，∴A１B１∥DE，∴DE∥AB.]直线与平面的位置关系【例１】（１）下列说法中，正确的有__________．（填序号）１如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；２如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线垂直；３过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行；４一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面．（２）下列命题中，a，b，l表示直线，α表示平面．１若aα，bα，且a，b不相交，则a∥b；２若aα，bα，a∩b＝A，lα，且l和a，b均不相交，则l∥α；３若点Aa，则过点A可以作无数个平面与a平行；４若a与α内的无数条直线不相交，则a∥α.其中正确的命题有______．（把你认为正确的序号都填上）思路探究：利用线面平行的定义，借助图形分析判断．（１）２（２）３[（１）如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，所以１错；如果一条直线与一个平面相交，在这个平面内作过交点的直线垂直于这条直线，那么在这个平面内与所作直线平行的直线都与已知直线垂直，有无数条，所以２正确；３显然错误；而４，也有可能相交，所以也错误．（２）１错误．如图（a），满足aα，bα，且a，b不相交，但a与b不平行．２错误．如图（b），满足aα，bα，a∩b＝A，lα，且l和a，b均不相交，但l与α相交．３正确．如图（c），点Aa，过点A可以作无数个平面与a平行．４错误．当a与α相交时，也有a与α内的无数条直线不相交．]空间中直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种．在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．１．下列命题中正确的个数是________个．１若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；２若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；３如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；４若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．１[１中，l可与α相交，故１错．２中，α内的直线可能与l异面，故２错．３中，另一条直线可能在这个平面内，故３错．４中，由l与α平行的定义知４正确．]直线与平面平行的判定定理的应用【例２】如图，M，N分别是底面为矩形的四棱锥P­ABCD的棱AB，PC的中点，求证：MN∥平面PAD.思路探究：取PD中点E，证明ENAM.[证明]如图所示，取PD的中点E，连结AE，NE.∵N是PC的中点，∴ENeq\f（１,２）DC.又∵AMeq\f（１,２）CD，∴NEAM.∴四边形AMNE是平行四边形．∴MN∥AE.又∵AE平面PAD，MN平面PAD，∴MN∥平面PAD.利用判定定理证明直线与平面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．２．如图，S是平行四边形ABCD平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且eq\f（AM,SM）＝eq\f（DN,NB）.求证：MN∥平面SBC.[证明]连结AN并延长交BC于P，连结SP，∵AD∥BC，∴eq\f（DN,NB）＝eq\f（AN,NP），又∵eq\f（AM,SM）＝eq\f（DN,NB），∴eq\f（AM,SM）＝eq\f（AN,NP），∴MN∥SP，又MN平面SBC，SP平面SBC，∴MN∥平面SBC.线面平行的性质定理的应用[探究问题]１．若a∥α，bα，那么a与b的位置关系是怎样的？a与b有没有可能平行？在什么条件下平行？[提示]a与b平行或异面，当a，b同在一平面内时，a∥b.２．如图，若a∥b，aα，bα，α∩β＝c，且c∥a.那么a与β，b与β是什么关系？[提示]a∥β，b∥β.３．一个长方体木块如图所示，要经过平面A１C１内一点P和棱BC将木块锯开，[提示]在平面A１C１内，过点P作EF∥B１C１，分别交A１B１，C１D１于E，F.连结BE，CF，则BE，CF和EF就是所要画的线，【例３】如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：PA∥GH.思路探究：要证线线平行，先证线面平行，再证另一线为过已知直线的平面与已知平面的交线．[证明]如图，连结AC交BD于点O，连结MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点．又M是PC的中点，∴AP∥OM.根据直线和平面平行的判定定理，则有PA∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，根据直线和平面平行的性质定理，∴PA∥GH.证明与平行有关的问题时，线面平行的判定定理、性质定理、公理４常结合起来使用，并常利用下面的关系：线线平行eq\o（→,\s\up１6（判定定理））线面平行eq\o（→,\s\up１6（性质定理））线线平行．运用线面平行的性质定理时，应寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线需作出辅助平面．３．如图所示，已知两条异面直线AB与CD，平面MNPQ与AB，CD都平行，且点M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上，求证：四边形MNPQ是平行四边形．[证明]∵AB∥平面MNPQ，且过AB的平面ABC交平面MNPQ于MN，∴AB∥MN.又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ，∴AB∥PQ，∴MN∥PQ.同理可证NP∥MQ.故四边形MNPQ是平行四边形．１．本节课的重点是会判断直线与平面的位置关系，会用符号语言和图形语言表示直线与平面的位置关系，难点是会用直线与平面平行的判定定理和性质定理求解相关题目．２．本节课重点掌握的规律方法（１）直线与平面位置关系的判断方法．（２）证明直线与平面平行的方法．３．本节课的易错点是判断直线与平面的位置关系，以及直线与平面平行的判定定理和性质定理的应用．１．以下说法（其中a，b表示直线，α表示平面）正确的个数为________．１若a∥b，bα，则a∥α；２若a∥α，b∥α，则a∥b；３若a∥b，b∥α，则a∥α；４若a∥α，bα，则a∥b.0[１错，a∥α或aα；２错，a与b也可能相交；３错，a∥α或aα；４错，a与b也可能异面．]２．长方体ABCD­A１B１C１D１中，E为AA１的中点，F为BB１的中点，与EF３[如图，∵EF∥A１B１，∴EF∥平面A１B１C１D１同理EF∥平面ABCD，EF∥平面DD１C１３．直线a∥平面α，过α内一点A的所有直线中与直线a平行的直线条数为__________．１[过直线a和点A的平面与平面α有一条交线l，只有l满足在平面α内过点A且与a平行．]４．如图，正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各取一点P，Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.[证明]如图所示，在平面ABEF内过P作PM∥AB交BE于点M，在平面ABCD内过点Q作QN∥AB交BC于点N，连结MN.∵PM∥AB