广东省东莞市第四高级中学等校2023届高三下学期2月大联考数学试题

2023届高三年级2月份大联考数学试题本试卷共4页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，则（）A．B．C．D．2．若复数满足，则（）A．的实部为3B．的虚部为4C．在复平面对应的点在第四象限D．的模长为3．（）A．B．C．D．4．某苹果园一般把当年所产的苹果，根据外形、甜度等品质，由高到低评定为A、B、C、D、E五个等级，分别以不同的价格出售．图1是2021年的等级结果，图2是2022年的等级结果，已知2022年的苹果产量是2021年的2倍．2022年与2021年比较，下列说法正确的是（）图1图2A．2022年A等级的苹果产量比2021年少B．2022年B等级的苹果产量是2021年的2.5倍C．2022年D等级的苹果产量是2021年的一半D．2022年E等级的苹果产量与2021年相同5．已知边长为1的正五边形，则（）A．B．C．D．6．已知函数，集合，则集合中元素的个数为（）A．4B．5C．6D．77．椭圆的左、右焦点为，过的直线交椭圆于两点．的三边构成等差数列，则椭圆的离心率为（）A．B．C．或D．或8．已知函数，直线，若有且仅有一个整数，使得点在直线上方，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．函数的周期为，下列命题正确的有（）A．点为的图象的一个对称中心B．是图象的一条对称轴C．在上单调递减D．的图象向左平移3个单位，得的图象10．已知函数，则（）A．在上是减函数B．的图象关于直线对称C．的图象关于点对称D．不等式的解集是11．在棱长为2的正方体中，分别是线段的中点，点分别满足，则（）A．对任意，平面平面B．当平面时，C．当时，四面体的外接球的表面积为D．对任意，三棱锥的体积为定值12．若直线经过点，则（）A．B．C．D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知，直线上有且只有一个点满足，写出满足条件的其中一条直线的方程__________．14．在的展开式中，含项的系数为__________．15．已知双曲线，四点中恰有三点在上，则双曲线的标准方程为__________．16．已知圆锥的顶点为，轴截面为锐角，则当__________时，圆锥的内切球与外接球的表面积的比值最大，最大值为__________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在①，②，③向量这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．在中，内角的对边分别为，且__________．（1）求角的大小；（2）是线段上的点，且，求的面积．18．（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列满足．（1）当时，求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．19．（本小题满分12分）如图，五棱锥中，，，，，，，，，分别是线段的中点，．（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值．20．（本小题满分12分）为了促进健康保险的发展，规范健康保险的经营行为，保护健康保险活动当事人的合法权益，提升人民群众健康保障水平，我国制定了《健康保险管理办法》．为了解某一地区中年居民（年龄在40～55岁）购买健康保险的情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到健康保险购买量（单位：万单）关于（年份）的线性回归方程为，且购买量的方差为，年份的方差为．（1）求与的相关系数，并据此判断健康保险购买业与年份的相关性强弱；（2）该机构还调查了该地区90位居民的性别与是否购买健康保险的情况，得到的数据如下表：性别没有购买健康保险购买健康保险总计男性39645女性301545总计692190依据小概率值的独立性检验，能否认为购买健康保险与居民性别有关；（3）在上述购买健康保险的居民中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中，男性的人数为，求的分布列和数学期望．参考公式：（ⅰ）线性回归方程：，其中；（ⅱ）相关系数：，若，则可判断与线性相关较强．（ⅲ），其中．附表：0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.82821．（本小题满分12分）点是抛物线的焦点，为坐标原点，过点作垂直于轴的直线，与抛物线相交于两点，，抛物线的准线与轴交于点．（1）求抛物线的方程；（2）设是抛物线上异于两点的两个不同的点，直线相交于点，直线相交于点，证明：三点共线．22．（本小题满分12分）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）已知函数有两个零点，求实数的取值范围．2023届高三年级2月份大联考数学参考答案及评分细则一、单选题1．C【解析】由题解得，所以，又因为，所以．故选C．2．C【解析】因为，所以的实部为4，虚部为．在复平面对应的点在第四象限，．故选C．3．A【解析】．故选A．4．B【解析】设2021年的苹果产量为，则2022年的苹果产量为，根据图表得出两年各个等级的苹果产量如下图所示：年份20212022由表可知A、C、D选项错误，B选项正确．故选B．5．B【解析】如图，设的中点为，连接，，，．故选B．6．D【解析】当时，，得或3；当时，，得或，所以若，则或或1或3，画出函数的图象如下，再画出直线，直线与函数的图象有一个交点，直线与函数的图象各有两个交点，共7个交点，所以集合中元素的个数为7．故选D．7．D【解析】设直角三角形的三边分别为成等差数列，则，解得：．若中，当时，不妨设，如图，根据椭圆定义可知，，所以，即，得，，所以，离心率，当时，不妨设，如图，根据椭圆定义可知，，所以，即，得，得，离心率．故选D．8．C【解析】点在直线上方，即，即有且仅有一个正整数解．函数，当时，单调递增；时，单调递减，所以函数在处取得极大值，时，；时，；时，时，时，，故可得函数如下图，直线过定点，若有且仅有一个正整数解，首先应有，且2是唯一的整数解，即，得：．故选C．二、多选题9．ABC【解析】因为函数的周期为，所以，所以．对于A，令，当时，．则是图象的一个对称中心，故A正确；对于B，令，当时，．则是图象的一条对称轴，故B正确；对于C，由，解得的单调递减区间为，取的一个单调递减区间为，因为，故C正确；对于D，的图象向左平移3个单位，得，故D错误．故选ABC．10．BD【解析】定义域为，，令，即，解得，所以在上是增函数，故A错误；因为，所以，所以，所以的图象关于直线对称，故B正确；因为，所以的图象不关于点对称，故C错误；由上述过程可知在上是增函数，且图象关于直线对称，所以在上是减函数，且，所以不等式的解集是，故D正确．故选BD．11．ABD【解析】如图，以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，，，，，，，，，，，，，因为，所以，所以，所以平面．因为，所以平面，又因为，所以平面平面，故A正确；，当平面时，，即，，，故B正确；如图，当时，分别是棱的中点，分别取棱的中点，则四面体的外接球即是长方体的外接球，其直径为，球的表面积为，故C不正确；三棱锥的体积，所以三棱锥的体积为定值，故D正确．故选ABD．12．BCD【解析】直线经过点，所以，且，对于，当时等号成立，故A错误；对于B：，所以，所以，故B正确；对于C：，当时等号成立，故C正确；对于D：，，且，由，得，当时等号成立，故D正确．故选BCD．三、填空题13．（答案不唯一）【解析】设，由，得，整理得，如图，即点的轨迹为圆，圆心为，半径，直线上有且只有一个点满足，即直线与圆相切，所以直线的方程可以为（答案不唯一）．故答案为（答案不唯一）．14．45【解析】依题意，，因此展开式中项为，所以含项的系数为45．故答案为45．15．【解析】由题意可知点两点关于原点对称，所以一定在双曲线上，而，因为，但，所以点不在双曲线上，所以点在双曲线上，则，解得，所以双曲线方程为．故答案为．16．【解析】如图，不妨设为线段的中点，连接，圆锥的内切球球心为，半径为；外接球球心为，半径为．圆锥的内切球与外接球的表面积的比值，在中，，，在中，，，当且仅当，时，等号成立，圆锥的内切球与外接球的表面积的比值的最大值为．故答案为．四、解答题17．解：选条件①，（1）因为，故，所以，即，又中，，所以，即，又，所以．选条件②，（1）因为，由正弦定理，得，由余弦定理，得，即，又，所以．选条件③，（1）向量，，由正弦定理得：，，，，则，，；（2）设，因为，所以，因为，所以，中，由正弦定理知：，即，化简得，即，所以，所以的面积为．18．解：（1）当时，因为，所以，所以，所以，所以，即，所以，由及得，所以，又当时，，所以当时，．（2）由（1）得当时，，所以，即数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以．故，设数列的前项和为，，①，②①-②得，，故．19．解：（1）因为是的中点，所以，因为，所以为等腰梯形，因为分别是的中点，所以，所以在同一条直线上，因为是线段的中点，所以，又因为，所以，所以，故，又因为，所以平面．（2）由（1）得两两垂直，所以以为原点，以的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，．设是平面的法向量，则，即，可取．设是平面的法向量，则，即，可取，于是，设二面角的大小为．因此二面角的正弦值是．20．解：（1）相关系数为，故与线性相关较强．（2）零假设为：购买健康保险与居民性别相互独立，即购买健康保险与居民性别无关．，所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为购买健康保险与居民性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05．（3）购买健康保险的居民男女之比为，所以7人中男性居民选取2人，女性居民选取5人，则的可能取值为0，1，2，，，，故的分布列为：012．21．解：（1）抛物线，因为，所以不妨令，所以或（舍），抛物线的方程为．（2）如图，不妨令，抛物线的准线与轴的交点，设，直线的方程为：，直线的方程为：，联立方程组，解得，，直线的方程为：，直线的方程为：，联立方程组，解得，，直线的斜率，直线的斜率，所以直线的斜率与直线的斜率相等，即，所以三点共线．22．解：（1），定义域为，，当时，令，得；令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增．当时，令，得；令，得