20182019学年高中数学第2章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.3推理案例赏析讲义含解析苏教版选修2220190416345

2.1.3推理案例赏析 归纳推理的应用[例1]观察如图所示的“三角数阵”：记第n行的第2个数为an(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为__________、__________、______________、______________、______________、______________；(2)依次写出a2、a3、a4、a5；(3)归纳出an＋1与an的关系式．[思路点拨](1)观察数阵，总结规律：除首末两数外，每行的数等于它上一行肩膀上的两数之和，得出(1)的结果．(2)由数阵可直接写出答案．(3)写出a3－a2，a4－a3，a5－a4，从而归纳出(3)的结论．[精解详析](1)由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数．[答案]6,16,25,25,16,6(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4，∴由此归纳：an＋1＝an＋n.[一点通]对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解了．1．设[x]表示不超过x的最大整数，如[]＝2，[π]＝3，[k]＝k(k∈N*)．我的发现：[]＋[]＋[]＝3；[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝10；[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝21；…通过归纳推理，写出一般性结论_______________________________________________________________________________________________________(用含n的式子表示)．解析：第n行右边第一个数是[]，往后是[]，[]，…，最后一个是[]．等号右边是n(2n＋1)．答案：[]＋[]＋[]＋…＋[]＝n(2n＋1)2．(1)如图(a)、(b)、(c)、(d)所示为四个平面图形，数一数，每个平面图形各有多少个顶点？多少条边？它们将平面围成了多少个区域？ 顶点数 边数 区域数(a) (b) (c) (d) (2)观察上表，推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？(3)现已知某个平面图形有999个顶点，且围成了999个区域，试根据以上关系确定这个平面图形有多少条边？解：(1)各平面图形的顶点数、边数、区域数分别为 顶点数 边数 区域数(a) 3 3 2(b) 8 12 6(c) 6 9 5(d) 10 15 7(2)观察：3＋2－3＝2；8＋6－12＝2；6＋5－9＝2；10＋7－15＝2，通过观察发现，它们的顶点数V，边数E，区域数F之间的关系为V＋F－E＝2.(3)由已知V＝999，F＝999，代入上述关系式得E＝1996，故这个平面图形有1996条边． 类比推理的应用[例2]通过计算可得下列等式：23－13＝3×12＋3×1＋1；33－23＝3×22＋3×2＋1；43－33＝3×32＋3×3＋1；…(n＋1)3－n3＝3×n2＋3×n＋1.将以上各等式两边分别相加，得(n＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n，即12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)．类比上述求法，请你求出13＋23＋33＋…＋n3的值．[思路点拨]类比上面的求法；可分别求出24－14，34－24,44－34，…(n＋1)4－n4，然后将各式相加求解．[精解详析]∵24－14＝4×13＋6×12＋4×1＋1，34－24＝4×23＋6×22＋4×2＋1，44－34＝4×33＋6×32＋4×3＋1，…(n＋1)4－n4＝4×n3＋6×n2＋4×n＋1.将以上各式两边分别相加，得(n＋1)4－14＝4×(13＋23＋…＋n3)＋6×(12＋22＋…＋n2)＋4×(1＋2＋…＋n)＋n∴13＋23＋…＋n3＝·＝n2(n＋1)2.[一点通](1)解题方法的类比通过对不同题目条件、结论的类比，从而产生解题方法的迁移，这是数学学习中很高的境界，需要学习者熟练地掌握各种题型及相应的解题方法．(2)类比推理的步骤与方法第一步：弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的(细微)差别．第二步：把两个系统之间的某一种一致性(相似性)确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚．3．二维空间中圆的一维侧度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，观察发现S′＝l；三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝πr3，观察发现V′＝S.则四维空间中“超球”的三维测度V＝8πr3，猜想其四维测度W＝________.解析：(2πr4)′＝8πr3.答案：2πr44．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面的面积，S4表示截面的面积，那么你类比得到的结论是________．解析：由于平面图形中的边长应与空间几何体中的面积类比，因此所得到的结论为：S＝S＋S＋S.答案：S＝S＋S＋S 演绎推理的应用[例3]已知{an}为等差数列，首项a1>1，公差d>0，n>1且n∈N*.求证：lgan＋1lgan－1<(lgan)2.[思路点拨]对数之积不能直接运算，可由基本不等式转化为对数之和进行运算．[精解详析]∵{an}为等差数列，∴an＋1＋an－1＝2an.∵d>0，∴an－1an＋1＝(an－d)(an＋d)＝a－d2<a.∵a1>1，d>0，∴an＝a1＋(n－1)d>1.∴lgan>0.∴lgan＋1·lgan－1≤2＝2<2＝(lgan)2，即lgan＋1·lgan－1<(lgan)2.[一点通]三段论推理的根据，从集合的观点来讲，就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.5．如图，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.(1)证明：平面AB1C⊥平面A1BC1；(2)设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D∶DC1的值．要求：写出每一个三段论的大前提、小前提、结论．解：(1)因为菱形的对角线互相垂直(大前提)，侧面BCC1B1是菱形(小前提)，所以B1C⊥BC1(结论)．又线面垂直的判定定理(大前提)，B1C⊥A1B，且A1B∩BC1＝B(小前提)，所以B1C⊥平面A1BC1(结论)．又面面垂直的判定定理(大前提)，B1C?平面AB1C，B1C⊥平面A1BC(小前提)，所以平面AB1C⊥平面A1BC1(结论)．(2)设BC1交B1C于点E，连接DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线．根据线面平行的性质定理(大前提)，因为A1B∥平面B1CD(小前提)，所以A1B∥DE(结论)．又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点，即A1D∶DC1＝1∶1.6．求证：函数y＝是奇函数，且在定义域上是增函数．证明：y＝f(x)＝＝1－，所以f(x)的定义域为x∈R.f(－x)＋f(x)＝＋＝2－＝2－＝2－＝2－2＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．任取x1，x2∈R，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝2＝2·.因为x1<x2，所以2x1<2x2，2x1－2x2<0，所以f(x1)<f(x2)．故f(x)为增函数．1．通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常为我们提供证明的思路和方向．2．在数学推理活动中常常利用归纳和类比去发现结论，再想办法去证明或否定发现的结论．一、填空题1．设k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱对角面的个数为f(k＋1)＝f(k)＋________.解析：k棱柱增加一条侧棱时，则这条侧棱和与之不相邻的k－2条侧棱可构成k－2个对角面，而增加一条侧棱时也使一个侧面变成了对角面．所以f(k＋1)＝f(k)＋k－2＋1＝f(k)＋k－1.答案：k－12．如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有____条．这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)＝______；f(n)＝______.(答案用数字或含n的式子表示)解析：所有顶点确定的直线共有：棱数＋底边数＋对角线数，即n＋n＋＝.f(4)＝4×2＋×2＝12，f(n)＝n(n－2)＋×(n－2)＝.答案：123．(陕西高考)已知f(x)＝，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N*,则f2014(x)的表达式为________．解析：由f1(x)＝?f2(x)＝f＝＝；又可得f3(x)＝f(f2(x))＝＝，故可猜想f2014(x)＝.答案：4．对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23＝33＝43＝….仿此，若m3的“分裂数”中有一个是2015，则m＝________.解析：根据分裂特点，设最小数为a1，则ma1＋×2＝m3，∴a1＝m2－m＋1.∵a1为奇数，又452＝2025，∴猜想m＝45.验证453＝91125＝.答案：455．观察以下等式sin230°＋cos290°＋sin30°·cos90°＝；sin225°＋cos285°＋sin25°·cos85°＝；sin210°＋cos270°＋sin10°·cos70°＝.推测出反映一般规律的等式：____________________.解析：∵90°－30°＝60°，85°－25°＝60°，70°－10°＝60°，∴其一般规律为sin2α＋cos2(60°＋α)＋sinαcos(60°＋α)＝.答案：sin2α＋cos2(60°＋α)＋sinαcos(60°＋α)＝二、解答题6．试将下列演绎推理写成三段论的形式：(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，海王星是太阳系中的大行星，所以海王星以椭圆形轨道绕太阳运行；(2)所有导体通电时发热，铁是导体，所以铁通电时发热；(3)一次函数是单调函数，函数y＝2x－1是一次函数，所以y＝2x－1是单调函数；(4)等差数列的通项公式具有形式an＝pn＋q(p，q是常数)，数列1,2,3…，n是等差数列，所以数列1,2,3，…，n的通项具有an＝pn＋q的形式．解：(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，(大前提)海王星是太阳系中的大行星，(小前提)海王星以椭圆形轨道绕太阳运行．(结论)(2)所有导体通电时发热，(大前提)铁是导体，(小前提)铁通电时发热．(结论)(3)一次函数都是单调函数，(大前提)函数y＝2x－1是一次函数，(小前提)y＝2x－1是单调函数．(结论)(4)等差数列的通项公式具有形式an＝pn＋q(p，q是常数)，(大前提)数列1,2,3，…，n是等差数列，(小前提)数列1,2,3，…，n的通项具有an＝pn＋q的形式．(结论)7．平面几何与立体几何的许多概念、性质是相似的，如：“长方形的每一边与其对边平行，而与其余的边垂直”；“长方体的每一面与其相对面平行，而与其余的面垂直”，请用类比法写出更多相似的命题．(写出三种即可)解：(1)(平面)在平行四边形中，对角线互相平分；(立体)在平行六面体中，体对角线相交于同一点，且在这一点互相平分．(2)(平面)在平行四边形中，各对角线长的平方和等于各边长的平方和；(立体)在平行六面体中，各体对角线长的平方和等于各棱长的平方和．(3)(平面)圆面积等于圆周长与半径之积的1/2；(立体)球体积等于球表面积与半径之积的1/3.(4)(平面)正三角形外接圆半径等于内切圆半径的2倍；(立体)正四面体的外接球半径等于内切球半径的3倍．8．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)(2)(3)(4)为她们刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮；现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．(1)写出f(5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；(3)求＋＋＋…＋的值．解：(1)f(5)＝41.(2)因为f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5