20182019学年高中数学第1章导数及其应用1.1导数的概念1.1.2瞬时变化率导数讲义含解析苏教版选修2220190416330

1．1.2瞬时变化率——导数 曲线上一点处的切线如图Pn的坐标为(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4…)，P的坐标为(x0，y0)．问题1：当点Pn→点P时，试想割线PPn如何变化？提示：当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置．问题2：割线PPn斜率是什么？提示：割线PPn的斜率是kn＝.问题3：割线PPn的斜率与过点P的切线PT的斜率k有什么关系呢？提示：当点Pn无限趋近于点P时，kn无限趋近于切线PT的斜率．问题4：能否求得过点P的切线PT的斜率？提示：能．1．割线设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线．2．切线随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l也称为曲线在点P处的切线. 瞬时速度与瞬时加速度一质点的运动方程为S＝8－3t2，其中S表示位移，t表示时间．问题1：该质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度是多少？提示：该质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度为＝－6－3Δt.问题2：Δt的变化对所求平均速度有何影响？提示：Δt越小，平均速度越接近常数－6.1．平均速度运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度．2．瞬时速度一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．3．瞬时加速度一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率． 导数1．导数设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．2．导数的几何意义导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．3．导函数(1)若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)，在不引起混淆时，导函数f′(x)也简称f(x)的导数．(2)f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．1．利用导数的几何意义，可求曲线上在某点处的切线的斜率，然后由点斜式写出直线方程．2．函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，所以求函数在一点处的导数，一般先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值． 求曲线上某一点处的切线[例1]已知曲线y＝x＋上的一点A，用切线斜率定义求：(1)点A处的切线的斜率；(2)点A处的切线方程．[思路点拨]先计算，再求其在Δx趋近于0时无限逼近的值．[精解详析](1)∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2＋Δx＋－＝＋Δx，∴＝＋＝＋1.当Δx无限趋近于零时，无限趋近于，即点A处的切线的斜率是.(2)切线方程为y－＝(x－2)，即3x－4y＋4＝0.[一点通]根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线过某点的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，Δx无限趋近于0时，无限趋近的常数．1．曲线y＝－x2－2在点P处的切线的斜率为________．解析：设P，Q，则割线PQ的斜率为kPQ＝＝－Δx－1.当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于－1，所以曲线y＝－x2－2在点P处的切线的斜率为－1.答案：－12．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线的斜率为16，则P点坐标为________．解析：设P点坐标为(x0，y0)，则＝＝4x0＋4＋2Δx.当Δx无限趋近于0时，4x0＋4＋2Δx无限趋近于4x0＋4，因此4x0＋4＝16，即x0＝3，所以y0＝2×32＋4×3＝18＋12＝30.即P点坐标为(3,30)．答案：(3,30)3．已知曲线y＝3x2－x，求曲线上一点A(1,2)处的切线的斜率及切线方程．解：设A(1,2)，B(1＋Δx,3(1＋Δx)2－(1＋Δx))，则kAB＝＝5＋3Δx，当Δx无限趋近于0时，5＋3Δx无限趋近于5，所以曲线y＝3x2－x在点A(1,2)处的切线斜率是5.切线方程为y－2＝5(x－1)，即5x－y－3＝0. 瞬时速度[例2]一质点按规律S(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t＝2s时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值．[思路点拨]先求出质点在t＝2s时的平均速度，再根据瞬时速度的概念列方程求解．[精解详析]因为ΔS＝S(2＋Δt)－S(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，所以＝4a＋aΔt.当Δt无限趋近于0时，无限趋近于4a.所以t＝2s时的瞬时速度为4am/s.故4a＝8，即a＝2.[一点通]要计算物体的瞬时速度，只要给时间一个改变量Δt，求出相应的位移的改变量ΔS，再求出平均速度＝，最后计算当Δt无限趋近于0时，无限趋近常数，就是该物体在该时刻的瞬时速度．4．一做直线运动的物体，其位移S与时间t的关系是S＝3t－t2，则此物体在t＝2时的瞬时速度为________．解析：由于ΔS＝3(2＋Δt)－(2＋Δt)2－(3×2－22)＝3Δt－4Δt－(Δt)2＝－Δt－(Δt)2，所以＝＝－1－Δt.当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数－1.故物体在t＝2时的瞬时速度为－1.答案：－15．如果一个物体的运动方程S(t)＝试求该物体在t＝1和t＝4时的瞬时速度．解：当t＝1时，S(t)＝t2＋2，则＝＝＝2＋Δt，当Δt无限趋近于0时，2＋Δt无限趋近于2，所以v(1)＝2；∵t＝4∈[3，＋∞)，∴S(t)＝29＋3(t－3)2＝3t2－18t＋56，∴＝＝＝3·Δt＋6，∴当Δt无限趋近于0时，3·Δt＋6→6，即→6，所以v(4)＝6. 导数及其应用[例3]已知f(x)＝x2－3.(1)求f(x)在x＝2处的导数；(2)求f(x)在x＝a处的导数．[思路点拨]根据导数的定义进行求解．深刻理解概念是正确解题的关键．[精解详析](1)因为＝＝＝4＋Δx，当Δx无限趋近于0时，4＋Δx无限趋近于4，所以f(x)在x＝2处的导数等于4.(2)因为＝＝＝2a＋Δx，当Δx无限趋近于0时，2a＋Δx无限趋近于2a，所以f(x)在x＝a处的导数等于2a.[一点通]由导数的定义知，求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤如下：(1)求函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率＝；(3)令Δx无限趋近于0，求得导数．6．函数y＝x＋在x＝1处的导数是________．解析：∵函数y＝f(x)＝x＋，∴Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝1＋Δx＋－1－1＝，∴＝，当Δx→0时，→0，即y＝x＋在x＝1处的导数为0.答案：07．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.解析：∵＝＝a，∴f′(1)＝a，即a＝2.答案：28．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh时，原油的温度(单位：℃)为f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．求函数y＝f(x)在x＝6处的导数f′(6)，并解释它的实际意义．解：当x从6变到6＋Δx时，函数值从f(6)变到f(6＋Δx)，函数值y关于x的平均变化率为：＝＝＝5＋Δx.当x→6时，即Δx→0，平均变化率趋近于5，所以f′(6)＝5，导数f′(6)＝5表示当x＝6h时原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度．也就是说，如果保持6h时温度的变化速度，每经过1h时间，原油温度将升高5℃.1．利用导数的几何意义求过某点的切线方程(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，则先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(2)若题中所给的点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．2．f′(x0)与f′(x)的异同 区别 联系f′(x0) f′(x0)是具体的值，是数值 在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这点的函数值f′(x) f′(x)是f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数 [对应课时跟踪训练(二)]一、填空题1．一质点运动的方程为S＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度为________．解析：∵当Δt无限趋近于0时，－3Δt－6无限趋近于常数－6，∴该质点在t＝1时的瞬时速度为－6.答案：－62．函数f(x)＝1－3x在x＝2处的导数为________．解析：Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝－3Δx，＝－3，则Δx趋于0时，＝－3.故f(x)在x＝2处的导数为－3.答案：－33．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.解析：由题意知f′(1)＝，f(1)＝＋2＝，所以f(1)＋f′(1)＝＋＝3.答案：34．曲线f(x)＝x2－2在点处的切线的倾斜角为________．解析：∵＝＝＝Δx＋1.∴当Δx无限趋近于0时，无限趋近于常数1，即切线的斜率为1.∴切线的倾斜角为.答案：5．已知曲线y＝2ax2＋1过点P(，3)，则该曲线在P点处的切线方程为________．解析：∵y＝2ax2＋1过点P(，3)，∴3＝2a2＋1，即a2＝1.又∵a≥0，∴a＝1，即y＝2x2＋1.∴P(1,3)．又＝＝＝4＋2Δx.∴当Δx无限趋近于0时，无限趋近于常数4，∴f′(1)＝4，即切线的斜率为4.由点斜式可得切线方程为y－3＝4(x－1)，即4x－y－1＝0.答案：4x－y－1＝0二、解答题6．已知质点运动方程是S(t)＝gt2＋2t－1(g是重力加速度，常量)，求质点在t＝4s时的瞬时速度(其中s的单位是m，t的单位是s)．解：＝＝＝＝gΔt＋4g＋2.∵当Δt→0时，→4g＋2，∴S′(4)＝4g＋2，即v(4)＝4g＋2，所以，质点在t＝4s时的瞬时速度为(4g＋2)m/s.7．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程．解：∵＝＝2＋3·Δx，∴当Δx→0时，2＋3·Δx→2，∴f′(1)＝2，所以直线的斜率为2，所以直线方程为y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.8．已知