【ch06】开放系统退相干

高等量子力学开放系统退相干第六章普通高等教育“十三五”规划教材天津工业大学学位与研究生教育改革项目资助01退相干函数在其最纯的形式中，退相干产生于某些类型的系统一库(环境)相互作用。这些是测量类型的相互作用，被用于描述开放系统的一个理想的、间接测量，而环境起量子探针的作用(注意：这里不谈论涉及态矢约化的直接的量子测量，而仅仅考虑某种类型的系统一库相互作用，作用的形式是间接测量形式)。这种相互作用的特征是约化系统影响环境，这导致某种系统一库关联，然而库反作用于某个系统态是非常小的，可以忽略不计。结果在一个具体表象中的密度矩阵布居的阻尼很小，而相于经常被发现在极短的时间内强烈地衰减。因此，我们从如下哈密顿量入手开始讨论。其中相互作用哈密顿量为这个相互作用哈密顿量挑出了约化系统正交基矢的一个特殊集合，而

一步假设，系统哈密顿量Hs对易于投影算符

,则得到退相干函数01所以，系统算符An是守恒量。其结果是平均能量为常数，即因此，相互作用绘景下的相互作用哈密顿量取如下形式：式中，

。而相互作用绘景下复合系统的时间演化算符可以写为式(6.6)表明，作为对易关系式(6.3)的一个立即的结果，基矢

不被耦合动力学影响，并且初态演化为(其中)是一个任意库状态)退相干函数01式中式(6.8)的态是系统一库纠缠态。由于是测量型相互作用，库携带着系统状态信息。然而，

仍然是关于在初始态

就出现的所有系统态

的叠加。作为一个结果，相干仍然出现在约化系统密度矩阵中，即其中，Ps(t)服从幺正性，以至于

。因此，ps(t)的对角元是时间的常数。然而，一般来说ps(4)的非对角元随时间变化。矩阵元

的时间依赖关系由相应的库态

和

的重叠性给出，有对于n≠m,

描述了约化密度矩阵的非对角行为，称作退相于函数。退相干函数

在时间依赖方面，一般强烈地依赖于系统一库的具体耦合形式、微观模型的各种参数及初态的性质。对于许多物理系统，由系统一库相互作用驱动的不可逆动力学导致，当n≠m时，

快速减小。这种行为的几个例子将在下一节讨论。这里考虑极端情况，对于n≠m,当比退相干时间

大之后，态

的重叠性减到零，有退相干函数01这导致约化系统密度矩阵作为和环境相互作用的结果，密度矩阵在基矢

上的相干性消失。当时间在

之后，约化系统态Ps(t)行为像态

的不相干混合。在这个意义上，干涉项

(其中n≠m)不再出现在任意系统可观测量A的期望值中。因此态

的叠加局部地被破坏，这意味着对所有仅在系统S上的测量，它们是不可观测的。由式(6.13)表达的动力学转换称作退相干。按照这个关系，约化密度矩阵在一个特殊的基矢

的集合上成为对角的，这个基矢集合有时被称作优势基。很清楚，这些基矢由系统和环境的相互作用形式(见式(6.2))及包含于式(6.12)中的退相干函数的行为来区分。再者，利用条件式(6.3),优势基由那些在演化过程中不受影响的态组成。因此，这些态对于系统和环境的相互作用是稳定的。更一般地，我们来研究复合系统初态为以下形式的问题：退相干函数01式中式(6.15)为系统的初始态。PB(0)是任意库密度矩阵，如为热平衡态。那么，t时刻约化系统的密度可以写为因此退相干函数取如下形式：其中，期望值是定义在库的初态Pm(0)上的。正如在方程式(6.4)中看到的那样，对于这里研究的简单类模型，系统平均能量是时间的常数。对比之下，一般地，约化系统的熵依赖于时间。这是因为初始纯态在这个时间过程中被转化成了统计混合。下面来看线性熵行为(关于线性熵的概念和性质见附录C),有式(6.18)说明，线性熵可以由初始布居

和退相干函数

表示。注意到

,这是因为我们是从纯的初始态开始的。对于完全退相干，在长时间限上得到退相干函数01例如，如果初始态式(6.15)是最大纠缠态，此时

,我们发现，线性熵在D维空间达到了其最大可能值，有相互作用式(6.2)挑出了一个具体的基矢集合

。这个基矢不受环境作用的影响，因为投影

是守恒量。相比之下，这些基矢的叠加一般来说极其敏感于这个相互作用。让我们再来考虑相互作用

,取

如下算符：它从系统态空间Hs挑出了维度为dn≥1的正交分解线性子空间A,Hs。设如下初始条件：求解含时薛定谔方程，立刻得到约化密度矩阵为退相干函数01利用完全退相干条件表达式(6.12),上式成为因此，我们看到在约化系统密度矩阵中，对于不同的j和固定的n,状态|nj)之间的相干性仍然存在。换句话说，对于一个和相同子空间AnHs的相干将不被环境作用影响。因此，环境作用使系统希尔伯特空间正交分解成为相干子空间AnHs，有因此，相干只是在一个及相同子空间内的局域可观测量。对于形如

,的任意系统可观测量的测量，也就是任意对易于投影An的系统可观测量的测量，构成了在状态式(6.24)上的QND测量。这是环境驱动超选择规则的一般框架，被著名物理家Zurek称作einselection。最后我们来看退相于函数的短时间行为。考虑一个简单而重要的情况：库算符Bn在初始态

上的平均值为零，即

。然而，使用方程式(6.9)引入幺正演化算符V(t)的短时间展开式，容易得到退相干函数01这表明

在短时间内正比于t的平方。相应地，线性熵式(6.18)的短时间行为是随时间的平方增长。退相干函数0102一个精确可解模型考虑一个耦合到谐振子库的两态系统。薛定谔绘景下，总哈密顿量为

总系统的时间演化01式中，是两态系统的能级间隔，k表明了频率

的库模式，

分别是产生(湮灭)算符，满足关系

;是系统与库的耦合常数。哈密顿量给出了一个自旋—玻色子系统模型的非常简单的例子。模型的引进最初是为了研究退相干对量子计算机的影响。注意，对于这个模型，泡利算符σz对应着守恒量，因为它与总哈密顿对易，即[H,σ₂]=0。由此，布居是时间的常数，即式中，p(t)是总系统的密度矩阵。为了决定这个模型的退相干函数，首先来看相互作用绘景下哈密顿量，有由此，幺正时间演化算符在相互作用绘景下被给出，有因为两个不同时间相互作用哈密顿量的对易是c数函数，有所以得到式中，幺正算符V(t)被定义为总系统的时间演化01其中因此可以看到，除了一个整体的、依赖时间的相因子外，总系统的时间演化由上面定义的算符V(t)支配。对于任意库状态

,有其中是相干态生成元。因此，系统和它的环境相互作用分别在系统态

与库态

之间产生了关联。如果库初始在真空态，我们发现库态成为式(6.40)是振幅为

的相干态的乘积，其中

作用产生位移的符号由系统态的量子数引起。总系统的时间演化01假设总系统的初始态为相干的衰减和退相干因子02这里，热库处在温度为T的热平衡态。其中

是库的配分函数。系统密度矩阵的矩阵元可以由如下关系式给出：式中，i,j=0,1。容易证明，布居是时间的常数，

,而相干项为由方程式(6.35)和式(6.42)可得到退相干函数为式中，

定义了对于热分布PB的期望值，令式(6.45)是浴模k的维格纳特征函数。由定义容易得到它代表高斯函数，有因此，有引入频率为

的模的密度

,并且定义谱密度为则退相干函数可以写为因此，对于现在的模型，我们得到了一个退相干函数的解析表达式。显然，

依赖于环境温度T和谱密度

的形式。为了说明退相干函数的动力学行为，取如下形式的谱密度：相干的衰减和退相干因子02其中，我们假设了对于小频率

的线性增加，并且假设在截止频率Ω处的一个指数频率截止。谱密度的这样一个形式在量子光学中是典型的情况，其中

,并且假设浴模的一维场有常数模函数密度

常数。注意到，对于这种情况，有一个无量纲的耦合常数，即密度矩阵的常数因子A是无量纲的，并且将取为1。为了确定退相干函数，我们把它分成真空部分

和热部分

,有真空部分可以被解析地确定，有

不依赖于温度，并且描述了场的真空涨落怎样影响开放系统的相干性，这部分依赖于截止频率Ω。退相干函数的热部分为相干的衰减和退相干因子02如果假设kBT<Ω,则热贡献部分为式(6.54)计算中用到了如下公式：并且引入了热关联时间最后，我们给出退相干函数为由上面我们得到三个时间范围内的不同情况。(1)短时间范围t<<Ω-¹。在这个范围内，

的值随时间t的平方增加相干的衰减和退相干因子02这直接来自时间演化算符(见方程式(6.26))的短时间展开。注意，在这个范围的短时间行为完全由真空部分

决定。(2)真空范围

。这里，退相干函数可以近似地写为在这个时间范围内，退相干效应主要是由于场的真空涨落。(3)热范围

。这个范围也可以称作马尔科夫范围，因为退相于函数的数值随时间线性增加，有这意味着约化密度矩阵的非对角元以t的比率指数衰减。相干的衰减和退相干因子02上面的简单模型也可以被用来说明相于子空间的产生和退相干函数对于系统大小的依赖。为此，考虑N个量子比特(qubit,由j来标注),通过方程式(6.28)中的相互作用形式与库发生作用。因此，总哈密顿量为相干子空间和系统大小的关系03此处假设量子比特彼此之间没有直接作用，耦合常数

描述第j个量子比特与库的k模式的耦合。进一步假设，量子比特在空间上有固定的位置

,以及库可以由某个关联长度r。来表征。然后我们可以区分两个极端情况。首先，考虑量子比特间的最小距离大于库的关联长度r。的情况。那么可以假设每个量子比特独立地作用于它的库。定义具体的量子比特构型为

,其中

取0或1。则N个量子比特密度矩阵的矩阵元为因此，退相干函数为式中，

是由方程式(6.44)给出的单个量子比特的退相于函数。因此，上述退相干函数是单个量子比特退相干函数的整数倍。对于所有量子比特，当且仅

时，退相干函数消失。如果正好两个量子比特的量子数不同，则退相干函数由单个量子比特表示；如果所有量子比特的量子数不同，则退相干函数正比于总量子比特数，这种情况下有式(6.64)对应于最大退相干。让我们先来看N个量子比特系统的线度比关联长度r。小的情况。此时量子比特集体与库发生作用，即可以假设对于固定模式k,所有的

彼此相等。因此，量子比特系统通过集体算符

与库相互作用。因此，退相干函数为相干子空间和系统大小的关系03式中，

这表明对于N个量子比特系统，退相干函数正比于量子数

的差的平方。相干子空间由条件

定义，这是一个特殊的相干子空间，它由

为固定值的基矢

生成。例如，如果N=2,则两个量子比特态

构成一个非平庸的、两维相干子空间。式(6.65)表明，集体相互作用可能导致一个退相干的很强放大。当

或

时可得最大退相干，有总之，在独立于库相互作用的情况下，最大退相干随系统大小N线性增长；而在集体相互作用的情况下，它随着系统大小的平方N²增长。相干子空间和系统大小的关系0303退相干的马尔科夫机制退相干率01考虑下面一般形式的主方程：其中式(6.67)引起总质量为m的量子客体的质心坐标

的自由演化。如下节将看到的，约化密度矩阵Ps在位置表象中的非对角元的衰减常常在极短的时间内发生，这个时间常比相应的对角的阻尼和约化系统自由演化的时间要短。因此对于一级近似，可以完全忽略自由演化，并且不考虑哈密顿量来求解主方程。由此得到表明非对角元被因子

所阻尼，其中测量密度矩阵对角元的距离。A称作退相干率，其量纲为(时间)-¹x(长度)-²。因此退相干函数为由此定义退相干时间为01退相干率下面我们讨论由马尔科夫主方程式(6.67)描述的退相干三个基本物理机理。它们分别是：高温限下的量子布朗运动、通过自发和热致内部自由度转换的退相于和被入射粒子流散射的退相干。我们将看到，所有三种情况的退相干率取特征率和波数平方乘积的形式，即其中“率”表征了引起退相干的物理过程，即它等于弛豫率、转换率或散射率。波数分别由退相于客体的热波长、发射辐射的波长或散射粒子的德布罗意波长决定。退相干率01量子布朗运动02作为讨论的第一种情形，我们来看退相干出现在集体自由度的运动可以由Caldeira-Leggett量子主方程式(5.318)描述的情况。在无反冲限条件下，集体自由度x的主方程化简为式(6.67)的形式，其中退相干率为(将h重新引入)引入热波长和对应的波数

,退相干率可以写成一般形式(见式(6.73))这正是预料的结果。由于忽略了自由演化和阻尼效应，密度矩阵的对角元在时间演化过程中不受影响，而非对角元强烈地衰减。一般地，我们定义弛豫时间

是粒子动量平方的衰减时间。按照方程式(5.330),自由布朗粒子的动量遵照

弛豫，则可得到

。因此由方程式(6.72)和式(6.76)得到退相干时间与弛豫时间的比为02量子布朗运动由于宏观客体的热波长非常小，这可以表明退相干时间与弛豫时间相差很多个数量级。例如，考虑室温中(T=300K)质量m=1g的粒子，设△x=1cm,容易发现，两个时间的比率的数量级为：

。因此，即使选取

为宇宙年龄的数量级

,退相干时间也是极其小的，即

。03内部自由度质心密度矩阵相干的破坏可以由复合体系内部自由度的自发跃迁或受激跃迁引起。我们再次定义体系的质心坐标为

，两个内部能级(激发态)和

(基态)由转换频率

分隔，环境取温度为T的热辐射场。因此，我们有发射率为

的自发发射和热致发射与吸收过程。包括质心、内部自由度的体系密度矩阵p(4)的马尔科夫主方程取为Lindblad方程形式，有量子布朗运动02内部自由度03其中，

是普朗克分布，并且积分对光子发射方向

上的立体角dΩ进行，为简单起见取各向同性。Lindblad算符

提取了内部态e→g的转换，并且动量反冲由波矢

的光子发射引起。动量反冲由算符

描述，它通过

改变客体系统的动量。因此有式中，

。在主方程式(6.78)中，由多普勒效应和反冲引起的频移被忽略，这在体系总质量m很大的限制条件下是合理的。现在的目标是推导出质心坐标的约化密度矩阵的有效主方程，有式中，取迹是对内部自由度进行的。取

,由方程式(6.78)立刻得到式中，

分别是激发态和基态能级的布居。因为支配内部自由度的动力学从质心运动退耦合，人们立即发现如果客体系统初始处于激发态，即

,则求得解为方程式(6.81)对角度积分，可以得到下列位置空间表象支配质心密度矩阵的主方程：这是描述复合体系质心坐标

运动的主方程。式中，

是发射辐射的波数。我们可以区别两个重要的限定情况。首先，假设

。在这个限制下方程式(6.84)第二项近似为内部自由度03表明非对角元衰减率不依赖于△x。因此，退相干饱和于对角元的距离远大于辐射波长处。再者，我们注意到退相干率近似等于自发发射率

、感应发射

和感应吸收率(贡献

)之和。方程式(6.85)给出的比率通过方程式(6.82)给出的内在动力学依赖于时间。然而，对于很短的时间，

,并且具有条件

,退相干时间为例如，在零温度N=0,简单地可以得到

。这是一个明显的结果：如果辐射波长小于两个重叠的局域波包质心坐标间的距离

到，单个光子的发射已经能够实现体系的近似定位，并且由此导致叠加相干性的部分破坏。因此在零温度，退相于时间必须等于一个光子发射的平均时间，也就说是与自发发射率成反比。现在考虑另一种极端情况，k△x<1,这意味着

。由方程式(6.84)中1-sin(k△x)/k△x项展开，可以得到一个一般形式(见式(6.67))的主方程，其退相干率为如下形式：再一次看到，退相干率依赖于时间。然而，对于高温，N>>1,我们得到了一个时间无关的退相干率，有内部自由度03这个退相干率再一次属于式(6.73)的一般形式：特征波数k属于转换辐射的特征波数，而特征比率由热感应过程的比率给出。另一方面，在低温并且时间满足γot<<1的情况下，如果系统初始处于激发态，则退相干率为为了有一个直观的认识，考虑下面的例子：氢原子的能级跃迁2p→1s。对于氢原子，有

,其中

是精细结构常数。因此氢原子转换退相干率的估计值为04粒子的散射最后考虑复合体系由粒子的散射而产生的相干性破坏。一般来说，许多类型的散射反应对退相干有贡献。例如，在光子入射的情况下，可能有Thomson散射、弹性Rayleigh散射或非弹性Raman散射。为了推导质心运动的约化密度矩阵主方程，这里假设散射是弹性的，并且忽略反冲效应。这意味着在散射反应中，只有被散射粒子的状态发生改变，而目标客体的状态不变。如果取量子客体的质心坐标是位置的本征态尿),则可以将散射反应表示为内部自由度03其中，

是入射波函数，S为散射矩阵，出射波函数由

定义，它代表散射中心位置

的散射波。注意，这里假设散射时间

小于系统演化的典型时间范围。单个散射反应的结果，使客体质心坐标的密度矩阵进行如下变换：因此，矩阵元

和彩散射波的重叠相乘得到。为了决定散射波的重叠，我们假设：S—矩阵对易于总动量，即与客体动量万和散射粒子动量q的和对易，有将初始状态表示为因此，由总动量守恒给出粒子的散射04式中，So定义了在

处散射的S矩阵。散射波的重叠因此被写为下面假设入射粒子态

为一个动量本征态,它是在量子化体积

内归一化的态。由下式引入T矩阵：并且利用S矩阵的幺正性容易推得取下列连续限代换式及那么，利用被定义为如下T矩阵的散射幅

:散射波的重叠可以化为粒子的散射04由式(6.102),我们可以给出在时间间隔△t内由一个散射事件引起的密度矩阵的改变△ps对应的表达式为现在假设在时间间隔△t内发生了多次散射，这意味着△t必须按如下方式选择：△t比

大很多，并且比系统的自由演化特征时间小很多。另外，我们也假设入射态可以由动量本征态的非相干混合描述，并且相应的入射动量分布是各向同性的。为了描述入射态，我们定义dk(k)为入射动量在间隔[k,k+dk]内的通量，即dkI(k)I²△t是时间间隔△t内的入射粒子数，并且有动量在间隔[k,k+dk]内。密度矩阵的总变化率由对所有积分和对所有方向取平均获得。因此有将表达式(6.103)代入式(6.104)并添加自由演化项，得到密度矩阵方程为式中粒子的散射04依照前面的做法，我们将区别两种限度情况讨论问题。首先，假设k0△x》1,其中k0是散射粒子的典型波数。表达式(6.106)中指数平均为零，由此得到式中，σ(k)是总横截面，sc是总散射率，类似于两个内部能级转换引起的退相于，散射引起的退相干饱和于大的距离△x,并且以等于总散射率的比率发生。退相干函数的饱和容易被获知：对于k△x>1,散射粒子的波长小于距离△x。因此，一个单个的散射反应对定位客体系统即已提供了充足的信息。进一步增加△x不可能增强这个信息。其次，对于小距离，k0△x<1,我们发现引入球坐标以至于

,则有粒子的散射04式中式(6.110)被视为有效横截面。例如，如果微分横截面是各向同性的，则有这些表达式给出了由散射离开客体描述的退相干的退相干率可以表示为式(6.112)又一次表明可以表示为式(6.73)的一般形式。显然，这里的相关波函数等于散射粒子布洛赫波函数的平均,特征率由总散射率

给出。作为具体例子，我们考虑通过温度为T的光子气体散射的退相干。如果气体中光子的热波长比客体的半径a大，则可以假设散射横截面由Rayleigh横截面给出。用光子气体的普朗克分布估算式(6.112),可以得到退相干率的如下估计结果：粒子的散射04注意到，此结果强烈地依赖于客体的大小和气体的温度。退相干率随着客体半径α的六次方增加，这是由于在长波限下Rayleigh横截面对a的依赖性。A随温度T的九次方增加可以通过如下说明来了解。首先，光子通量I正比于T的三次方，这正是Stefan-Boltzmann黑体辐射定律。其次，σ(k)k²的平均随着热波数km=kgT/hc的六次方增加。这是因为Raylcigh横截面随波函数的四次方增加。例如，对于线度a=10⁶cm的大分子物体，在温度T=3K(宇宙背景辐射)时得到A=10-1²cm-²s¹,并且当T=300K(室温)时可得A=10⁶cm-²s¹。对于小的尘埃颗粒，比如a=10⁵cm,相应的退相干率在T=3K时增加为A=10⁶cm-²s-¹,在T=300K时变为A=10¹²cm-²s¹。对于线度大于波长的物体，它的横截面积近似等于几何横截面，退相干率的估算值可由下式给出：在这个范围内，A随a的二次方和T的五次方增加。对于a=10-¹cm的物体，可以得到在T=300K时A~10²⁴cm-²s-¹。粒子的散射0404阻尼谐振子真空退相干01在零温度下主方程式(5.254)可以表示为所周知，在时间演化下相干态保持不变，这使得对于真空情况问题的解特别简单。因此我们设式中，α(0)=α和β(0)=β,并且f(t)是c数函数，f(0)=1,由此

。利用关系以及相干态是湮灭算符的本征态的事实，可以证明由式(6.119)给出的α(t)去解主方程式(6.118)时，只要下列微分方程被满足即可：01热噪声由这些方程容易解得总之，主方程式(6.118)对应于初始态式(6.117)的解取如下形式：现在可将退相干函数T(t)定义为因子f(t)的模的对数，有可以看到，

正比于初始相干态复平面上振幅α和β距离的平方。对于γ0f》1,退相干函数接近于值

接近于初始态重叠的绝对值

。对于分得很开的相干态，这个重叠是极小的，意味着在长时间限下相干实际上消失了。另一方面，对于

,退相干函数正比于时间，有真空退相干01这使得我们可以通过如下关系定义一个退相干时间

:其中用到了弛豫时间

。可以看到，退相于时间与弛豫时间的比值反比于初态在复平面上距离的平方。方程式(6.129)是许多退相于微观模型中会遇到的一个重要关系。它告诉我们，对于分得很开的初始态，其退相干时间，即由于和环境相互作用而相干被破坏的时间远小于弛豫时间，也就是小于系统由于耗散而失去能量的特征时间。为了从物理上解释关系式(6.129),我们简单地假设β=0,这意味着叠加态之一是振子的基态。由此式(6.129)化为其中，

。然后问题成为，为什么上面获得的退相干时间是弛豫时间的1m,即是初态的量子平均数的倍数分之一?首先我们注意到，在零温度时，环境在真空基态被定义为

。因此，有下列复合系统初始态(忽略重叠

):真空退相干01这个初始态的能量量子发射率近似等于

。相应地，一个量子发射时间的量级为

。在这个时间之后，初始态近似演化成如下状态：其中，

在发射一个量子之后的态，而

定义了库中包含一个能量量子的状态。振子的约化密度矩阵则为上述推导中用到了库态

的正交性。这表明，相干性在一个量子发射之后就已经被破坏了，即在时间量级为

时相干性被破坏。而能量的耗散要n个量子发射，即时间量级为

。这即是方程式(6.130)所表达的内容。02热噪声容易推测，热噪声将导致退相干增强。为了确定有限温度情况下的退相干时间，我们将主方程式(5.254)对应于初始态式(6.117)的解写为真空退相干01热噪声02其中，我们引入了我们的方法是研究在位置空间的概率密度，并且去确定来自表达式p(x,t)中于涉项约化的退相干函数。其中矩阵元为事实上，P(x,t)可写为在方程式(6.141)中，头两项代表叠加波包非相干的和，而第三项描述了干涉图样。下面我们来确定由式(6.139)和式(6.140)定义的值。当然，这可以通过确定主方程式(5.254)对应于初始条件式(6.117)的解来获得。然而，我们将用一个更直接的方法得到所要的结果，这个方法对处理其他模型也有用。这里的关键是

是高斯函数。由于这里考虑的系统是线性的，这种情况下，对于时间演化高斯特征保持不变。因此，我们说由式(6.139)和式(6.140)定义的值必须具有x的高斯函数形式，并且所有我们要做的就是求解其平均值和方差。例如，函数

可以写为这里，x(t)和x²(t)是需由伴随主方程(见下面)决定的海森伯绘景算符。当然，类似的表达式对于

要归一化。最后，函数

必须写为热噪声02注意到，式(6.145)是复值高斯函数并且归一化到初始相干态的重叠。下面我们来计算上面公式中的平均值和方差，为此我们求解附有初始条件的伴随主方程。初始条件即t=0时，海森伯和薛定谔算符一致，因此有热噪声02式中，a⁺、a是薛定谔绘景算符，并且

。利用这些关系，容易发现可以看到，方差彼此相等并且σ²(0)等于波包的初始宽度，有最后，我们将最终的表达式

代入方程式(6.138),通过简单的重排之后，得到退相干函数为热噪声02以及相位将关系式(6.151)～式(6.154)代入上两式，最后得到方程式(6.158)中的

是不依赖于空间的相位，其表示如下：而热噪声02代表叠加态中心闻的初始空间距离。然而我们发现，利用方程式(6.165),在高温限下，

,得到这里我们引入了热波长

。相同的结果从前面的高温布朗运动主方程(与方程式(6.77)比较)中得到过。热噪声02是叠加波包平均动量之差。对于γot<1,从方程式(6.158)和式(6.160)可得这个表达式描述了系统一环境耦合消失情况下于涉发生的图样。方程式(6.159)表明在零温(N=0)限下，

约化到表达式(6.127)。在长时间限下，表达式(6.159)接近叠加的初始态的重叠给出的独立于温度的值，有对于短时间限，γot<1,我们发现因此，退相干时间与弛豫时间的比率为将这个表达式与方程式(6.129)进行比较可以看到，热噪声的存在使退相干时间

减小到了原来的1/(2N+1)。假设α和β是实的，这意味着叠加态的初始动量消失，并且有热噪声0205电磁场态原子与腔场模相互作用01原子与腔场模相互作用实验装置如图6.1所示，两个原子A₁和A₂具有一时间间隔T,穿过由两个微波谐振腔R₁和R₂及一个频率为y的超导微波腔C组成的装置。

的高腔品质因数导致腔的弛豫率为

,原子可以由分别定义为

的里德伯原子(能级主量子数为n=51和n=50)描述，对应的转换频率φ失谐于腔频率的量是△,谐振腔R₁和R₂的腔场由频率为ax的相同的经典微波源提供。最后，原子的状态在场离化检测器

中被分析。原子能级草图画在图6.2中。首先，让我们简单描述实验的基本思想。第一个谐振器R₁用来制备原子在状态

的某个叠加态。初始时刻，腔C包含一个较小的相干态

。正像下面将要说明的，原子和腔C中的场相互作用有效地驱动场态的相移

,其中的符号由原子态诱发。因此，第一个原子A,和腔C中的场相互作用导致两个原子态和两个相分量

之间的纠缠。第二个谐振器R₂驱动A₁状态的进一步混合，以至于在场发射探测器D。和D。驱动中原子态最终测量不给出任何有关态的信息。结果，A,上的状态测量投影C中的场在一个两相分量的薛定谔猫型叠加态上，两相分量在复平面上被

分开。忽略瞬时场阻尼、归一化因子及再相因子，这个态实质上取如下形式：其中，如果X₁被发现处于

态则X₁=0;如果处于

态则X₁=π。此后，类似的变换由第二个原子和腔场相互作用驱动，因此腔场最后的状态为式中，x₂如前述X₁取0或π,依赖于A₂的测量结果。所以，如果发现两个原子处于相同的态(x₁=x₂),则场态式(6.170)成为原子与腔场模相互作用01如果两原子处于不同状态(x₁≠x₂),则场态为我们看到，场和两个原子的相互作用导致当两原子被检测到处于相同态时的一种相分量

的相长干涉。如果原子被检测到处于不同的态，则相分量

干涉性破坏并且从最终态中消失。在这个实验中，条件概率

被测量，这被定义为在A,已经被发现处于态|s)条件下发现原子A₂处于

状态的概率，其中

。详细分析表明，在缺少场阻尼的情况下，发现两个原子处于相同态(即有相长干涉)的概率大于处于不同态(相消干涉)的概率。因此，如果场阻尼和薛定谔猫态式(6.169)的退相干被考虑，对于增加的延迟时间T,条件概率的这种差别衰减到零。所以通过测量条件概率作为两原子间隔时间T的函数间的差别，即可以测量薛定谔猫态的退相干。在对实验做详细理论分析之前，我们先研究在腔C中原子—场相互作用引起的动力学。原子—场相互作用可以由JC哈密顿量描述，有原子与腔场模相互作用01注意，这里的Rabi频率2(t)依赖于时间。这是由于腔C中场模函数的空间依赖性的缘故。因此，当原子穿过腔的时候会感到对场模耦合的时间变化。因此注意到，这里对应的是含时哈密度量。对于固定时间，即原子在腔内的固定位置，JC哈密顿量的本征值由下列线性近似给出：对应的缀饰态为在给定的实验环境下，腔C中非共振原子一场相互作用主要是绝热的，这意味着缀饰原子态之间的真实转换可以忽略，仅需考虑虚过程。应用量子力学绝热定理我们看到，穿过腔的原子的缀饰态获得了一个由积分动力学相位给出的相因子

。因此，除了来自非扰动能量的贡献，原子和场模a的相互作用导致的相移由下式给出：其中原子与腔场模相互作用01和于是，我们可以将状态

的变换写为如下形式：上述结果将用于描述在这个实验中研究退相干的场态叠加的制备。02薛定谔猫态下面我们来详细分析这个实验。(1)A₁的初态和在R₁中的相互作用。首先，原子A,被制备在状态

并且在谐振器R,中经历了一个π/2的脉冲，在与C相互作用之前获得下列原子一场系统状态：(2)在C中原子一场相互作用。原子A₁进入中心腔C,C中的场模诱发的相移可以被变换式(6.180)和式(6.181)描述，式(6.182)表示的状态转换为原子与腔场模相互作用01薛定谔猫态02(3)在R₂中相互作用和对A₁的测量。在R₂中的第二个π/2脉冲诱导原子A₁的状态做如下变化：其中，

是原子A₁在R₁和R₂之间飞行

时间获得的动力学相差。因此，原子一场态在原子A,离开谐振器R₂后取下列形式：原子A₁状态的测量将场态投影到状态其中，

的测量意味着x=0,而

的测量意味着x=π。归一化因子为(4)C中的场阻尼。式(6.186)的状态对应密度矩阵式中，

。在这个实验中，环境温度对应于场模平均热光子数，N=0.05,使用真空光学主方程式(6.118)。在时间间隔T,场模演化为如下密度矩阵：式中(与方程式(6.123)～式(6.125)比较得)值得注意的是，由于是在相互作用绘景，所以不存在动力学相因子。可以看到退相干函数为由此得到退相干时间为(5)A₂的初态和在R1中的相互作用。原子A₂被制备在初态

,并且在R,中经历了π/2脉冲，由此在原子正要进入腔之前，A₂和场的状态为薛定谔猫态02(6)C中原子一场相互作用。原子A₂和C中场的相互作用可得如下状态：(7)在R₂中的相互作用和对A₂的测量。原子A₂穿过谐振腔R₂,将状态式(6.196)转换为最后，测量原子A₂的状态及确定条件概率

这里，

定义为原子A:被检测到处于

条件下发现原子A₂在|e)状态的概率，原子A,的状态依赖于对A;的测量结果。利用上述

表示式，有薛定谔猫态02其中，如果ε=g则x=0;ε=e则x=π。利用场密度矩阵式(6.189)我们发现方程式(6.199)中的1+Acosx源于场密度算符的归一化因子，而B、C和D源于方程式(6.198)中的四个标积，即项B由下列积得到：薛定谔猫态02因此，B由第一个原子产生的初始叠加的两个分量的重叠决定，而相分量被

角分开。项C源于如下积：项D由如下积决定：因此，D由分成

角的两个相分量的重叠决定，而C由分成相同角的两个分量的重叠获得。由关系式(6.200)～式(6.203)可以看到，对于

,则A、B和D是对|a|²指数小的。因此有实验中，条件概率的下列差被确定：或更确切地说角平均被决定：薛定谔猫态02利用方程式(6.199)则有因为C代表

的主要贡献并且不依赖于

。对于C,表达式(6.202)表明，它等于f(T)(见方程式(6.192))的实部乘以薛定谔猫态式(6.189)的干涉项。因此，得到这是所希望的将实验观测可(T)与退相于函数T(T)联系起来的表达式。按照方程式(6.211)条件概率的差η直接与场密度矩阵非对角元相关，因此与退相干函数T(T)相关。这个关系使得能对薛定谔猫的退相干直接观测，并且是对理论的一个漂亮的量化证明。薛定谔猫态0206Caldeira-Leggett模型一般退相干公式01为了决定对应于两个高斯波包

叠加的退相于函数

,我们应用与6.4节相同的技术。一个简单的考虑表明，方程式(6.156)也可以被用于Caldeira-Leggett模型针对任意谱密度、温度和耦合强度的一个精确处理。原因是，对于这个方程的推导仅仅依赖于初态和传播函数的高斯特性。因此，方程式(6.156)在仅对于

这些量做更改的一般情况下也成立。现在这些量用精确的海森伯绘景算符x(1)的期望值来定义，有这里取迹是针对整个系统的。我们也注意到，如同在量子光学主方程情况下，有因此我们可以确定方差σ²(t),例如用状态

。为简单起见，我们假设初始系统一浴没有关联。为了确定退相干函数，首先用叠加波包的初始分离来表示方程式(6.156)中的量

即，在位置空间有在动量空间有这样得到如下等式：我们知道海森伯绘景下，位置算符x(t)和对应的动量算符p(t)遵循运动方程p(1)=mi(t)和方程式(5.366)。正如5.5.3节那样，我们引进方程式(5.366)的基本解G₁(t)+G₂(t),此解满足初始条件G₁(t)=G₂(t)=1和G(0)=G₂(0)=1,并将海森伯算符x(1)写为式中，x₂(t)定义了齐次方程的解，而I(t)是满足初始条件I(0)=i(0)=0的非齐次方程的解。利用方程式(6.220)我们发现一般退相干公式01并且方差为式(6.224)为利用所用模型谱密度

表示的噪声核，将方程式(6.219)、式(6.221)和式(6.222)代入式(6.156),得到一般退相干公式01这个方程给出了退相干函数T(t)的一个一般表达式。它可以被用于坐标一坐标耦合、具有高斯初始态及任意耦合强度和谱密度的所有线性模型。在方程式(6.225)中，退相干函数已经被用叠加波包的初始宽度

表达。如果

是通过方程式(6.155)与振子频率相关联的，则叠加波包就代表振子的相干态。然而，因为

可以被任意选取，则方程式(6.225)对压缩初始态也有效。显然，

趋向于长时间限下初始重叠给出的值，在这个限制下给出了

。再者，我们有下列关系：因此，确定退相干函数T(t)的问题简化到对于海森伯运动方程的齐次部分的基本解G₁(t)和G₂(t),以及非齐次部分的平方的库平均

的确定。一般退相干公式01Ohmic环境021.高温限在高温限下，即

情况下，我们得到(见方程式(5.363)和式(5.364))为了给出一个具体例子，下面我们来研究自由布朗运动，对于这个问题我们有基本解：G₁(t)=1和G₂(t)=

，这导致如下结果：将这些关系代入方程式(6.225)中去，即可获得高温自由布朗运动的退相干函数。现在考虑

的时间范围。引入

,发现这表明，退相干函数的行为主要依赖于叠加波包的初始宽度。例如，如果噪声对方差σ²(4)的贡献比波包的初始宽度σ0²贡献小，并且如果自由传播

可以被忽略，我们得到表明

的值随t的三次方增加。在消失的初始宽度限下(见方程式(6.226)和式(6.231)),有除去因子1/3,这个关系已经被用于6.3.1节中对退相干率的估计上。另一方面，如果初始宽度趋于无穷大(见方程式(6.233)),则有可见，退相于函数的值随时间的三次方增长，这个结果对应于平面波干涉的情况。2.谐振子由海森伯运动方程的齐次部分Ohmic环境02容易得到如下基本解：其中为欠阻尼情况下的特征频率。在过阻尼情况下v为虚数，可以写为由此基本解取如下形式：Ohmic环境02用方程式(6.224),由方程式(6.223)得到上述表达式对过阻尼和欠阻尼情况均适用。将方程式(6.242)和式(6.236)、式(6.237),或式(6.240)、式(6.241)代入式(6.225)中，可获得谐振子的退相干函数，所获得的表达式对于任意耦合强度和温度均有效。然而，方程式(6.242)中频率积分的一般分析是十分困难的。尤其是对于大的截止频率，积分对数依赖于Ω。但是对于某些限制情况，可以获得简单的表达式。在下面的讨论中，我们设

,对应于初始相干态叠加。在弱阻尼限下，我们有

处有两个尖峰，并且在y→0限下可以近似地得到其中，我们已经通过关系

引入了普朗克分布，

,剩余频率积分可以用余数法确定，这将导致如下结果：Ohmic环境02将式(6.245)代入一般退相干公式(6.225)中，并注意到在弱阻尼限下像我们期望看到的那样，对于退相干函数，这个表达式化简到量子光学限下得到的式(6.159)。注意到，弛豫常数通过γo=2γ产生关联。下面讨论对任意耦合时的高温限。利用方程式(6.229)获得将这个表达式代入式(6.225)即可得到高温退相于函数

,所得结果对欠阻尼情况均有效。对于欠阻尼情况，正像期望看到的那样，精确的相干函数按照

的量级不同于量子光学的结果。弱耦合限下，即满足

,则有相应地，退相干时间

与弛豫时间

的比率为Ohmic环境02我们来将这个结果与强过阻尼情况做一比较。强过阻尼被定义为在

以至于

限制情况下。退相干函数通过将

代入方程式(6.247)来确定。我们来考虑时间t满足如下关系的情况：那么，对于强过阻尼粒子的退相干函数为我们注意到，这个表达式与弱阻尼情况的结果式(6.248)有

因子的不同。然而必须注意在弱阻尼情况下，弛豫率是

,而在强阻尼限下它取如下形式：由此强阻尼退相干的时间

满足关系因此，我们得到了一个明显的结果：对于弱和强阻尼情况，退相干时间和弛豫时间的商相同，并且它与量子光学限的结果式(6.168)一致。Ohmic环境0207退相干和量子测量指针基的动力学选择01我们来研究通过相互作用哈密顿量

耦合到仪器或仪表M的量子系统S。仪器的自由度由量子力学描述，由此复合系统的希尔伯特空间是张量积空间

。在相互作用绘景下相互作用哈密顿量为其中，

,为系统和仪器自由哈密顿量之和。正如6.1节所述，经过时间x后，系统和仪器相互作用使复合体系做如下演化(参见方程式(6.7)和式(6.8)):这正是间接、QND测量的动力学类型。系统S代表量子客体，而仪器M作为量子探针。初始探针状态是

,并且被测量是或是它的某些函数

。在方程式(6.255)中，假设反作用逃逸条件成立，有正像所知道的那样，这确保了基矢

不受系统和仪器态相互作用的影响。我们假设仪器相互正交(至少近似成立),由此，有(只考虑非简并情况)将投影假设应用于仪器量然后以概率

获得读出结果bn

并且在这个测量事件中系统波函数随后由

给出。因此，在间接测量方案的框架内，我们可以说，在仪器系统上进行的测量导致了系统量

的一个测量，并且按照投影假设诱导系统态矢约化。在测量之后，S的约化密度矩阵取如下形式：它描述了在非选择情况下的测量。虽然从式(6.255)中

的分解看出，以上推理是正确的，但是由下面的原因知道，上述解释并不完全。在系统一仪器相互作用之后，复合系统以纠缠态

结束，此态描述了系统态

和仪器态

之间的完全关联。然而，

仍然是这些关联态的叠加。这些态共存于

中，并且没有约化假设应用到仪器系统M中，就没有一个先验的理由接受仅态

之一作为物理实在。事实上，并没有理由肯定对可观测量的测量是在M上做出的，我们可以考虑基矢的另外一个集合：指针基的动力学选择01其中，我们通过如下关系已经引入了新的归一化系统状态：我们现在给出仪器可观测量导致系统可观测量的测量为或某些函数

的测量。问题在于，虽然我们没有改变系统一仪器的相互作用，并且虽然约化系统的密度矩阵明显一致，即但上面待测系统可观测量是模糊的。因为，一般来说

是非对易的，即所以，问题是：我们有一个测量仪器，是测量

?一旦仪器态基矢

给定，式(6.262)中相应的态

即被定义为相关态。一般地，它们不是彼此正交的，但是它们可以归一化。可以假设，在方程式(6.262)中

是实的、非负的，有指针基的动力学选择01并且因此，相关态

的内积为我们注意到，对于非正交相关态，方程式(6.264)仍然定义了自共轭算符，然而那里的

不是它的本征值。再者，方程式(6.265)代表系统的密度矩阵，测量之后作为纯态混合在两种选择的方式中，第二种情况下这些纯态不是正交的。如果所有非零系数

的叠加中有相同的绝对值，即如果

是最大纠缠态，则上述问题将变得特别尖锐。在这种情况下，

正比于由相应态

张成的子空间的同一性，有进一步假设，相应的基矢

跨越相同的子空间，利用方程式(6.269)立即发现，对于仪器基矢的任何选择(当然符合上述限制条件)相关态是正交的，即指针基的动力学选择01通过变化仪器基矢，我们能够测量任何系统的基矢态。因此，我们得出了一个令人惊奇的结论：测量仪器能够测量系统的任何可观测量。必须认识到，上面讨论的问题与正统的量子力学解释并不矛盾。因为它只有在人们拒绝对仪器的可观测量给出肯定的决定和拒绝应用约化假设的时候才会有上面的讨论结果。然而，情况还是有些不能令人满意，因为按照日常经验，如果一个测量设备被设计出来用于测量某物理量，如动量，则它只能测量动量，而不能测量位置。测量系统可观测量的这种模糊性明显是由于系统一仪器相互作用不固定在仪器的希尔伯特空间H(或某个子空间)唯一的基矢

上。这种模糊性，只有对于某些原因，当一个具体基矢被挑出，即只有一个具体的物理量(或是它的某个函数)可能在M上被测量，才有可能避免。系统可观测量

由仪器测量，然而却由对