电动力学第8讲23稳恒磁场的矢势-山东大学课件

山东大学物理学院宗福建《电动力学》第16讲第三章静磁场(1)§3.1静磁场的矢势教师姓名：宗福建单位：山东大学物理学院2015年11月06日山东大学物理学院宗福建《电动力学》第16讲第三章静磁山东大学物理学院宗福建2Maxwell方程组山东大学物理学院宗福建2Maxwell方程组山东大学物理学院宗福建3Maxwell方程组山东大学物理学院宗福建3Maxwell方程组山东大学物理学院宗福建4标势的Poisson方程山东大学物理学院宗福建4标势的Poisson方程山东大学物理学院宗福建5静电场的标势

若电荷连续分布，电荷密度为ρ

，设r为由源点x'

到场点x的距离，则场点x处的电势为山东大学物理学院宗福建5静电场的标势若电荷连续分布，电山东大学物理学院宗福建6山东大学物理学院宗福建6山东大学物理学院宗福建7山东大学物理学院宗福建7山东大学物理学院宗福建8本讲主要内容静磁场的矢势矢势的微分方程矢势的多极展开磁偶极子的场山东大学物理学院宗福建8本讲主要内容静磁场的矢势山东大学物理学院宗福建9静磁场的矢势

在稳恒电流（静磁场）情况下，电场与磁场无关，麦氏方程组的磁场部分为

山东大学物理学院宗福建9静磁场的矢势在稳恒电流（静磁场山东大学物理学院宗福建10静磁场的矢势

磁场的特点和电场不同。静电场是有源无旋场，电场线从正电荷出发而止于负电荷,静电场线永不闭合。静磁场则是有旋无源场，磁感应线总是闭合曲线。由于特性上的显著差异，描述磁场和电场的方法就有所不同。静电场由于其无旋性,可以引入标势来描述。磁场由于其有旋性，一般不能引入一个标势来描述。但是由于磁场的无源性，我们可以引入另一个矢量来描述它。

山东大学物理学院宗福建10静磁场的矢势磁场的特点和电场山东大学物理学院宗福建11静磁场的矢势

根据矢量分析的定理（附录Ⅰ.17式）,若则B

可表为另一矢量的旋度A

称为磁场的矢势。山东大学物理学院宗福建11静磁场的矢势根据矢量分析的定山东大学物理学院宗福建12静磁场的矢势

为了看出矢势A的意义，我们考察上式的积分形式。把B对任一个以回路L为边界的曲面S积分，得式中左边是通过曲面S的磁通量。由上式，通过一个曲面的磁通量只和这曲面的边界L有关，而和曲面的具体形状无关。山东大学物理学院宗福建12静磁场的矢势为了看出矢势A的山东大学物理学院宗福建13静磁场的矢势

矢势A的物理意义是它沿任一闭合回路的环量代表通过以该回路为界的任意曲面的磁通量。只有A的环量才有物理意义，而每点上的A(x)则没有直接的物理意义。山东大学物理学院宗福建13静磁场的矢势矢势A的物理意义山东大学物理学院宗福建14静磁场的矢势由矢势A可以唯一确定磁场B，但是由磁场B并不能唯一确定矢势A。即A+▽ψ与A对应于同一个磁场B。A的这种任意性是由于只有A的环量才有物理意义，而每点上的A本身没有直接的物理意义。

山东大学物理学院宗福建14静磁场的矢势由矢势A可以唯一确山东大学物理学院宗福建15静磁场的矢势由A的这种任意性，我们还可以对它加上一定的限制条件，由下面的推导可知，对A加上辅助条件是特别方便的。山东大学物理学院宗福建15静磁场的矢势由A的这种任意山东大学物理学院宗福建16静磁场的矢势我们先说明对A加以上条件总是可以的，也就是说总可以找到一个A，满足设有某一解A不满足上式，山东大学物理学院宗福建16静磁场的矢势我们先说明对A加以山东大学物理学院宗福建17静磁场的矢势我们另取一解A'的散度为山东大学物理学院宗福建17静磁场的矢势我们另取一解山东大学物理学院宗福建18静磁场的矢势取ψ

为泊松方程的一个解，代入上式，所得的A'

就满足▽·A'=0。对A所加的辅助条件称为规范条件。山东大学物理学院宗福建18静磁场的矢势取ψ为泊松方程山东大学物理学院宗福建19矢势微分方程

把B=▽×A

代入得矢势A的微分方程

山东大学物理学院宗福建19矢势微分方程把B=▽×山东大学物理学院宗福建20矢势微分方程

由矢量分析公式（附录Ⅰ.25式），若取A满足规范条件▽·A=0，得矢势A的微分方程

,又称矢势A的泊松方程。山东大学物理学院宗福建20矢势微分方程由矢量分析公式（山东大学物理学院宗福建21矢势微分方程

A的每个直角分量Ai

满足泊松方程这些方程和静电势

φ

的方程

有相同形式。

山东大学物理学院宗福建21矢势微分方程A的每个直角分量山东大学物理学院宗福建22矢势微分方程

静电势

φ

的方程

山东大学物理学院宗福建22矢势微分方程静电势φ的方山东大学物理学院宗福建23矢势微分方程

对比静电势的解，可得矢势A的泊松方程式特解

式中x‘是源点，x是场点，r为由x’

到x的距离。山东大学物理学院宗福建23矢势微分方程对比静电势的解，山东大学物理学院宗福建24矢势微分方程

求出A以后，取旋度即可求出B。

山东大学物理学院宗福建24矢势微分方程求出A以后，取旋山东大学物理学院宗福建25矢势微分方程

这就是毕奥-萨伐尔定律。过渡到线电流情形，设I为导线上的电流强度，作代换

JdV→Idl

得

山东大学物理学院宗福建25矢势微分方程山东大学物理学院宗福建26矢势的边值关系

在两介质分解面上磁场的边值关系为磁场边值关系可以化为矢势A的边值关系。对于非铁磁介质，矢势的边值关系为

山东大学物理学院宗福建26矢势的边值关系在两介质分解面山东大学物理学院宗福建27矢势的边值关系

在分界面两侧取一狭长回路计算A对此狭长回路的积分。当回路短边长度趋于零时，另一方面，由于回路面积分趋于零,有山东大学物理学院宗福建27矢势的边值关系在分界面两侧取山东大学物理学院宗福建28矢势的边值关系

因此，若取▽·

A=0规范，可得合起来得山东大学物理学院宗福建28矢势的边值关系因此，静磁场的唯一性定理与静电场类似，静磁场也有唯一性定理，基本的理念是对确定的体系场由边界条件唯一确定。对静电问题，边界条件可以是设定边界上标势值或者是场在边界上D的垂直分量(与导体上的表面电荷有关)。与此相对应，对静磁问题，边界条件可以是边界上的矢势A或者是H的切向分量(与导体上的表面电流相关)。静磁场的唯一性定理与静电场类似，静磁场也有唯一性定理，基本的静磁场的唯一性定理静磁场的唯一性定理山东大学物理学院宗福建31磁场的能量

由第一章，磁场的总能量为

山东大学物理学院宗福建31磁场的能量由第一章，磁场的总山东大学物理学院宗福建32磁场的能量

山东大学物理学院宗福建32磁场的能量山东大学物理学院宗福建33磁场的能量

山东大学物理学院宗福建33磁场的能量山东大学物理学院宗福建34磁场的能量

和静电情形一样，此式仅对总能量有意义，不能把

A·J/2

看作能量密度，因为我们知道能量分布于磁场内，而不仅仅存在于电流分布区域内。

山东大学物理学院宗福建34磁场的能量山东大学物理学院宗福建35矢势的多级展开

给定电流分布在空间中激发的磁场矢势为

山东大学物理学院宗福建35矢势的多级展开给定电流分布在山东大学物理学院宗福建36矢势的多级展开

如果电流分布于小区域V内，而场点x又距离该区域比较远，我们可以把A(x)作多级展开。取区域内某点O为坐标原点，把1/r的展开式得

山东大学物理学院宗福建36矢势的多级展开如果电流分布于山东大学物理学院宗福建37矢势的多级展开

展开式的第一项为由教材第46页，习题5知

山东大学物理学院宗福建37矢势的多级展开展开式的第一项山东大学物理学院宗福建38矢势的多级展开

所以，对于稳恒电流：此式表示和电场情形不同，磁场展开式不含磁单极项，即不含与点电荷对应的项。山东大学物理学院宗福建38矢势的多级展开所以，对于稳恒山东大学物理学院宗福建39矢势的多级展开

展开式的第二项为山东大学物理学院宗福建39矢势的多级展开展开式的第二项山东大学物理学院宗福建40矢势的多级展开

把并矢Jx’表示为对称部分与反对称部分之和，则对称部分对应于电四极矩对时间的导数，反对称部分对应于磁偶极矩。山东大学物理学院宗福建40矢势的多级展开把并矢Jx’表山东大学物理学院宗福建41矢势的多级展开

山东大学物理学院宗福建41矢势的多级展开山东大学物理学院宗福建42矢势的多级展开

首先，对称部分山东大学物理学院宗福建42矢势的多级展开首先，对称部分山东大学物理学院宗福建43矢势的多级展开

首先，对称部分,变化电四极矩的贡献。稳恒电磁场情况下，该部分的贡献为0。山东大学物理学院宗福建43矢势的多级展开首先，对称部分山东大学物理学院宗福建44矢势的多级展开

其次，反对称部分山东大学物理学院宗福建44矢势的多级展开其次，反对称部山东大学物理学院宗福建45矢势的多级展开

反对称部分，相当于电流环。磁偶极矩的贡献。山东大学物理学院宗福建45矢势的多级展开反对称部分，相山东大学物理学院宗福建46矢势的多级展开

则，m称为电流的磁矩山东大学物理学院宗福建46矢势的多级展开则，m称为电流山东大学物理学院宗福建47矢势的多级展开

对某闭合电流流线管

JdVIdl式中称为电流线圈的磁矩。山东大学物理学院宗福建47矢势的多级展开对某闭合电流流山东大学物理学院宗福建48矢势的多级展开

展开式中：第1项为0；第2项为磁偶极矩的贡献；其他更高次项，我们不予讨论。山东大学物理学院宗福建48矢势的多级展开山东大学物理学院宗福建49矢势的多级展开

山东大学物理学院宗福建49矢势的多级展开阿哈罗夫-玻姆（A-B）效应

1959年阿哈罗夫-玻姆提出在量子力学可适用的微观态中和有可观测的物理效应，这一效应被称为A-B效应。

A-B效应表明，在量子物理中磁场的物理效应不能完全用来描述，矢势可以对电子发生相互作用。但是由于的任意性，用它描述磁场显然又过多。机动目录上页下页返回结束阿哈罗夫-玻姆（A-B）效应1959年阿哈罗夫-玻姆提出在

带有螺线管电子衍射实验发现，能够完全且恰当的描述磁场的物理量是相因子：。若L为可缩小到一点的无穷小路径，则因此相因子描述等价于局域磁场的描述。但是当L为