新湘教版八年级数学第二章三角形复习

新湘教版八年级数学第二章三角形复习第一页，共47页。基本概念1、叙述什么是命题？什么是真命题？什么是假命题？2、命题的题设和结论？改写命题3、命题的逆命题4、定理的逆定理第一页第二页，共47页。1、可以判断出它是正确的还是错误的句子叫做命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。2、在数学中，许多命题是由题设（或已知条件）、结论两部分组成的。题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项3、要判断一个命题是真命题，可以用逻辑推理的方法加以论证；而要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题题设而不符合该命题结论的例子就可以了，在数学中，这种方法称为“举反例”第二页第三页，共47页。4、数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理

,不用证明，也无法用推理进行证明5、数学中有些命题可以从公理出发用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为推断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理

第三页第四页，共47页。6、边角边公理：如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写成“边角边”或简记为（S.A.S.）7、角边角公理：如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简记为“角边角”或简记为(A.S.A.)。

8、角角边定理：如果两个三角形的两个角及其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等．简写成：“角角边”或简记为(A.A.S.)。9、边边边公理：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写为“边边边”，或简记为（S.S.S.）。第四页第五页，共47页。注意：边边角不能判定三角形全等，如：第五页第六页，共47页。边—边—角(S.S.A.)——三角形不一定全等边1边1边2边2角角另一种情况是角不夹在两边的中间，形成两边一对角（简称S.S.A.）——不一定全等第六页第七页，共47页。一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题．每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可得到原命题的逆命题．但是原命题正确，它的逆命题未必正确．例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，此命题就是假命题．如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理

原命题：题设+结论互逆命题逆命题：题设+结论第七页第八页，共47页。逆定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简写成“等角对等边”）性质定理：等腰三角形的底角相等（简称：等边对等角）等腰三角形第八页第九页，共47页。角平分线定理及逆定理

角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

角平分线性质定理的逆定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上线段的垂直平分线定理及逆定理性质定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等

逆定理：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．第九页第十页，共47页。注意：判断就是命题.命题可能正确,也可能错误.命题一般用陈述句叙述，疑问句、祈使句、感叹句等不是命题。所有命题都有逆命题，原命题正确，它的逆命题不一定正确；所有定理都是真命题，它的逆命题不一定是真命题。所有定理不一定都有逆定理，只有定理的逆命题是真命题才有逆定理。第十页第十一页，共47页。命题构成：1)在数学中，许多命题都是由（）（或条件）

和（）两部分组成.

（）是已知事项，（）是由已知事项推出的事项．2)命题常写成“如果······那么······”的形式.其中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论．题设结论题设结论第十一页第十二页，共47页。例1把命题“在一个三角形中，等角对等边”改写成“如果……那么……”的形式，并分别指出命题的题设与结论．例题

解这个命题可以写成：“如果在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.”这里的题设是“在一个三角形中有两个角相等”，结论是“这两个角所对的边也相等”.第十二页第十三页，共47页。请你试试看——命题的改写把下列命题改写成“如果……那么……”的形式1、正方形的两条对角线相等如果一个四边形是正方形，那么这个正方形的两条对角线相等2、四个角相等的菱形是正方形

如果菱形的四个角相等，那么这个菱形是正方形3、全等的两个三角形，三条对应边相等如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等第十三页第十四页，共47页。请你试试看——命题与逆命题，定理与逆定理写出下列命题的逆命题并判定真假1、正方形的两条对角线相等两条对角线相等的四边形是正方形（）2、两直线平行，同位角相等

同位角相等，两直线平行（）3、全等的两个三角形，三条对应边相等三条对应边相等的两个三角形全等（）假命题真命题真命题第十四页第十五页，共47页。练习1：指出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题。1、如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余.一个三角形是直角三角形.结论：逆命题：题设：它的两个锐角互余.如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形.第十五页第十六页，共47页。2、等边三角形的每个角都等于60°题设：一个三角形是等边三角形.结论：它的每个角都等于60°逆命题：如果一个三角形的每个角都等于60°，那么这个三角形是等边三角形.3、全等三角形的对应角相等.题设：两个三角形是全等三角形.结论：它们的对应角相等.逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等.第十六页第十七页，共47页。4、到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.题设：一个点到一个角的两边距离相等.结论：它在这个角的平分线上.逆命题：角平分线上一点到角两边的距离相等.5、线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.题设：一个点在一条线段的垂直平分线上.结论：它到这条线段的两个端点的距离相等.逆命题：到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.第十七页第十八页，共47页。6、直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半

题设：直角三角形中，一个锐角等于30°结论：30°角所对的直角边等于斜边的一半逆命题：直角三角形中，如果一个锐角所对的直角边等于斜边的一半，那么这个角等于30°第十八页第十九页，共47页。7、直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方题设：直角三角形中结论：两直角边的平方和等于斜边的平方逆命题：三角形两边的平方和等于另一边的平方，这个三角形是直角三角形第十九页第二十页，共47页。知识回顾对应边相等①AB=DE②BC=EF③CA=FD对应角④∠A=∠D⑤∠B=∠E⑥∠C=∠FABCDEF1、什么叫全等三角形？能够完全重合的两个三角形叫

全等三角形。2、全等三角形有什么性质？第二十页第二十一页，共47页。想一想：两个三角形全等，通常需要3个条件，其中至少要有1组

对应相等。分为：3、三角形全等的判定条件边①两边一角②两角一边③三条边②三个角两个三角形全等的条件是：应该具备三组对应的元素（边或角）；如果只有一组或者两组对应的元素（边或角），这两个三角形不一定全等第二十一页第二十二页，共47页。知识点三角形全等的证题思路：第二十二页第二十三页，共47页。问题：如果要证明两个三角形全等，题中只给出两个条件，现在又不允许添加条件，你有办法证明两个三角形全等吗？例：如图AB=AC，AD=AE,你能指出图中哪些三角形全等？ABEDC缺什么条件，题中能找到吗？公共角——∠AABCD例：如图AB=AC，BD=CD,你能指出图中哪些三角形全等？公共边——AD第二十三页第二十四页，共47页。例:已知，如图，ＢＣ＝ＢＤ，∠Ｃ＝∠Ｄ，求证：ＡＣ＝ＡＤ．有一同学证法如下：

证：连结AB在⊿ABC和⊿ABD中

BC=BD∠C=∠D

AB=AB∴⊿ABC≌⊿ABD(S.A.S.)∴AC=AD你认为这位同学的证法对吗？如果错误，错在哪里，应怎样证明？

答：证法错误。S.A.S.定理应用错误。第二十四页第二十五页，共47页。基本作图在几何里,把限定用直尺和圆规来画图,称为尺规作图.最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图.其中,直尺是没有刻度的;一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的.以前学过的”作一条线段等于已知线段”,就是一种基本作图.下面介绍几种基本作图:第二十五页第二十六页，共47页。已知三角形的三边求作三角形设置疑问已知:线段a,b,ca

bc求作:△ABC,使BC＝a,AC＝b,AB＝c作法示范作法(1)做线段BC＝a,

BMAC(2)以C为圆心,b为半径画弧

(3)以B为圆心,C为半径画弧两弧相交于点A(4)连接AB,AC则△ABC为所求作的三角形示范第二十六页第二十七页，共47页。已知底边及底边上的高，求作等腰三角形。已知：线段a，h求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=hahBCA第二十七页第二十八页，共47页。4、连接AB，ACBCAah作法：1、作线段BC=a2、作BC的垂直平分线MN，垂足为D3、在垂直平分线MN上取一点A，使AD=hD△ABC即为所求作的等腰三角形。MN第二十八页第二十九页，共47页。做一做1．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形．已知：线段a,c,.求作：△ABC，使BC=a

AB=c,∠ABC=.ac第二十九页第三十页，共47页。作法示范（1）作一条线段BC=a；（2）以B为顶点，以BC为一边，作．BCBCBCBC（3）在射线BD上截取线段BA=c；（4）连接AC．△ABC就是所求作的三角形．ADDA第三十页第三十一页，共47页。做一做2．已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形．已知：，，线段c．c求作：△ABC，使∠A=，∠B=，AB=c.第三十一页第三十二页，共47页。请按照给出的作法作出相应的图形．作法示范

（1）作．AF（2）在射线AF上截取线段AB=c；CDBADFABDF（3）以B为顶点，以BA为一边，作，BE交AD于点C．则△ABC就是所求作的三角形．E第三十二页第三十三页，共47页。（1）如图，∠ACB=90°，AC=CB，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD=2.5cm,DE=1.7cm。求：BE的长。练习：解：∵∠BCE=∠ACB-∠ACD=90°-∠ACD∠DAC∠ADC-∠ACD=90°-∠ACD∴∠BCE=∠DAC

又∵AC=CB,∠ADC=∠CEB∴△CEB≌ADC(A.A.S.)∴AD=CE=2.5cm∴

BE=CD=CE-DE=2.5-1.7=0.8cm第三十三页第三十四页，共47页。（2）如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AO是角平分线,点D在AC的延长线上,DE过点O且DE⊥AB,垂足为E.(1)请你找出图中一对相等的线段,并说明它们相等的理由;解：∵∠ACB=90°∴BC⊥AC∵AO平分∠BAC

又DE⊥ABBC⊥AC∴OE=OC（角平分线上的点到角两边的距离相等

（2）图中共有多少对相等线段，一一把它们找出来，并说明理由ACDOBE第三十四页第三十五页，共47页。练习：3、如图，∠B=∠C=90度，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DABADCBME证明：过点M作ME⊥AD,∵∠C=90度

∴

ME=MC（角平分线性质定理）又∵∠B=90度

MC=MB（M是BC的中点）∴ME=MB（等量代换）∴AM平分∠DAB（角平分线性质定理的逆定理）第三十五页第三十六页，共47页。求作：以m为边长的等边三角形。试根据下面的作图语言完成作图：

（1）作线段AB=m,

（2）分别以A、B为圆心，m长为半径画弧，两弧在射线AB同侧相交于C;

则△

ABC就是所要求作的等边三角形。4、已知：线段m.

（3）连接AC、BC；m练习：第三十六页第三十七页，共47页。1805年，拿破仑率领大军与德军在莱茵河畔激战，德俄联军在河的北岸设防，而法军则在南岸集结，中间隔一条很宽的莱茵河，法军要使炮弹准确落到对方阵地，就必须知道河有多宽，当时双方剑拔弩张，坐船测量河宽是根本不可能的。拿破仑为解决这个难题在南岸观望，一时束手无策．忽然，他发现河水与北岸的边线，在视野里恰好擦着自己的帽舌边缘，于是他眉头一皱计上心来，他先一步一步向后退去，一直退到莱茵河与南岸的边线正好擦着他的帽舌时，便立定，叫人把这个地方到莱茵河南岸水边的距离测一下．他知道，量得的距离一定等于河的宽度，于是他命令部下根据量得的距离确定射击目标，向北岸的德俄联军发起炮击，果然炮弹像长了眼睛，每发都击中了目标．士兵们不仅仅是佩服拿破仑的知识，更重要的是拿破仑运用数学知识的能力．拿破仑测莱茵河河宽第三十七页第三十八页，共47页。第三十八页第三十九页，共47页。试一试已知：A、B两点之间被一个池塘隔开，无法直接测量A、B间的距离，请给出一个适合可行的方案，画出设计图，说明依据。第三十九页第四十页，共47页。ECDCDCD第四十页第四十一页，共47页。试一试,你准行

已知：AB=AC，EB=EC，AE的延长线交BC于D，试说明：BD=CDABDCE解：在△ABE和△ACE中AB=AC，EB=EC，AE=AE∴△ABE≌△ACE(S.S.S.)∴∠BAE＝∠CAE在△ABD和△ACD中∵AB=AC∠BAE=∠CAEAD=AD∴△ABD≌△ACD(S.A.S.)∴BD=CD第四十一页第四十二页，共47页。做一做

1、如图，要识别△ABC≌△ADE，除公共角∠A外，把还需要的两个条件及其根据写在横线上。ABCED（1）

，

（）（2）

，

（）（3）