（新高考）高考数学一轮复习讲练测第4章§4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式(含解析)

§4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式考试要求2.掌握诱导公式，并会简单应用．知识梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).2．三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口诀奇变偶不变，符号看象限常用结论同角三角函数的基本关系式的常见变形sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)使sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．(×)(2)若sin(kπ－α)＝eq\f(1,3)(k∈Z)，则sinα＝eq\f(1,3).(×)(3)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(×)(4)若α∈R，则tanα＝eq\f(sinα,cosα)恒成立．(×)教材改编题1．若cosα＝eq\f(1,3)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，则tanα等于()A．－eq\f(\r(2),4)B.eq\f(\r(2),4)C．－2eq\r(2)D．2eq\r(2)答案C解析由已知得，sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\r(1－\f(1,9))＝－eq\f(2\r(2),3)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－2eq\r(2).2．若sinα＋cosα＝eq\f(\r(2),2)，则sinαcosα等于()A．－eq\f(1,2)B．－eq\f(1,4)C.eq\f(\r(2),2)D．2答案B解析因为sinα＋cosα＝eq\f(\r(2),2)，所以(sinα＋cosα)2＝eq\f(1,2)，即sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝eq\f(1,2)，即1＋2sinαcosα＝eq\f(1,2)，所以sinαcosα＝－eq\f(1,4).3．化简eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α)))·cos(2π－α)的结果为．答案sinα解析原式＝eq\f(sinα,cosα)·cosα＝sinα.题型一同角三角函数基本关系例1(1)(多选)已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，则下列结论正确的是()A．θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) B．cosθ＝－eq\f(4,5)C．tanθ＝－eq\f(3,4) D．sinθ－cosθ＝eq\f(7,5)答案AD解析因为sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，①所以(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝eq\f(1,25)，则2sinθcosθ＝－eq\f(24,25)，因为θ∈(0，π)，所以sinθ>0，cosθ<0，所以θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，故A正确；所以(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝eq\f(49,25)，所以sinθ－cosθ＝eq\f(7,5)，②故D正确；由①②联立可得，sinθ＝eq\f(4,5)，cosθ＝－eq\f(3,5)，故B错误；所以tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝－eq\f(4,3)，故C错误．(2)已知cosα＝－eq\f(5,13)，则13sinα＋5tanα＝.答案0解析∵cosα＝－eq\f(5,13)<0且cosα≠－1，∴α是第二或第三象限角．①若α是第二象限角，则sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))2)＝eq\f(12,13)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\f(12,13),－\f(5,13))＝－eq\f(12,5).此时13sinα＋5tanα＝13×eq\f(12,13)＋5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,5)))＝0.②若α是第三象限角，则sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))2)＝－eq\f(12,13)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(－\f(12,13),－\f(5,13))＝eq\f(12,5)，此时，13sinα＋5tanα＝13×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)))＋5×eq\f(12,5)＝0.综上，13sinα＋5tanα＝0.(3)已知tanα＝2，则eq\f(3sinα－2cosα,sinα＋cosα)＝；eq\f(2,3)sin2α＋eq\f(1,4)cos2α＝.答案eq\f(4,3)eq\f(7,12)解析因为tanα＝2，所以eq\f(3sinα－2cosα,sinα＋cosα)＝eq\f(3tanα－2,tanα＋1)＝eq\f(3×2－2,2＋1)＝eq\f(4,3).eq\f(2,3)sin2α＋eq\f(1,4)cos2α＝eq\f(2,3)·eq\f(sin2α,sin2α＋cos2α)＋eq\f(1,4)·eq\f(cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2,3)·eq\f(tan2α,tan2α＋1)＋eq\f(1,4)·eq\f(1,tan2α＋1)＝eq\f(2,3)×eq\f(22,22＋1)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,22＋1)＝eq\f(7,12).思维升华(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.跟踪训练1(1)(2023·苏州模拟)已知eq\f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5，则cos2α＋eq\f(1,2)sin2α等于()A.eq\f(3,5)B．－eq\f(3,5)C．－3D．3答案A解析由eq\f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5，得eq\f(tanα＋3,3－tanα)＝5，可得tanα＝2，则cos2α＋eq\f(1,2)sin2α＝cos2α＋sinαcosα＝eq\f(cos2α＋sinαcosα,cos2α＋sin2α)＝eq\f(1＋tanα,1＋tan2α)＝eq\f(3,5).(2)若α∈(0，π)，sin(π－α)＋cosα＝eq\f(\r(2),3)，则sinα－cosα的值为()A.eq\f(\r(2),3)B．－eq\f(\r(2),3)C.eq\f(4,3)D．－eq\f(4,3)答案C解析由诱导公式得，sin(π－α)＋cosα＝sinα＋cosα＝eq\f(\r(2),3)，所以(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝eq\f(2,9)，则2sinαcosα＝－eq\f(7,9)<0，因为α∈(0，π)，所以sinα>0，所以cosα<0，所以sinα－cosα>0，因为(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝eq\f(16,9)，所以sinα－cosα＝eq\f(4,3).题型二诱导公式例2(1)已知x∈R，则下列等式恒成立的是()A．sin(3π－x)＝－sinxB．sin

eq\f(π－x,2)＝－cos

eq\f(x,2)C．coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋3x))＝sin3xD．coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－2x))＝－sin2x答案D解析sin(3π－x)＝sin(π－x)＝sinx，sin

eq\f(π－x,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(x,2)))＝cos

eq\f(x,2)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋3x))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋3x))＝－sin3x，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－2x))＝－sin2x.(2)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))＝eq\f(1,3)，且0<x<eq\f(π,6)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋x))－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋x))的值为．答案eq\f(4\r(2),3)解析∵0<x<eq\f(π,6)，∴eq\f(π,6)<eq\f(π,3)－x<eq\f(π,3)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))＝eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x)))＝eq\f(2\r(2),3).∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋x))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))＝eq\f(2\r(2),3)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋x))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))＝－eq\f(2\r(2),3).∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋x))－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋x))＝eq\f(4\r(2),3).思维升华诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．跟踪训练2(1)若eq\f(sin3π－α－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)－α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＋cos－π＋α)＝eq\f(1,3)，则tanα等于()A.eq\f(3,4)B．－eq\f(1,2)C．－eq\f(4,3)D.eq\f(1,2)答案D解析因为eq\f(sin3π－α－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)－α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＋cos－π＋α)＝eq\f(1,3)，所以eq\f(sinα－cosα,－sinα－cosα)＝eq\f(1,3)，所以eq\f(tanα－1,－tanα－1)＝eq\f(1,3)，解得tanα＝eq\f(1,2).(2)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(4,5)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))的值为()A.eq\f(3,5)B．－eq\f(3,5)C.eq\f(4,5)D．－eq\f(4,5)答案C解析由coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(4,5)，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(4,5).题型三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用例3(1)(2022·聊城模拟)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋β))＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sinα的值是()A.eq\f(3\r(2),5)B.eq\f(3\r(5),7)C.eq\f(3\r(10),10)D.eq\f(1,3)答案C解析由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3sinβ－2tanα＋5＝0，,tanα－6sinβ－1＝0，))消去sinβ，得tanα＝3，∴sinα＝3cosα，代入sin2α＋cos2α＝1，化简得sin2α＝eq\f(9,10)，又α为锐角，∴sinα>0，则sinα＝eq\f(3\r(10),10).(2)已知－π<x<0，sin(π＋x)－cosx＝－eq\f(1,5).则eq\f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)＝.答案－eq\f(24,175)解析由已知得，sinx＋cosx＝eq\f(1,5)，两边平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝eq\f(1,25)，整理得2sinxcosx＝－eq\f(24,25).因为(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝eq\f(49,25)，由－π<x<0知，sinx<0，又2sinxcosx＝－eq\f(24,25)<0，所以cosx>0，所以sinx－cosx<0，故sinx－cosx＝－eq\f(7,5).所以eq\f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)＝eq\f(2sinxcosx＋sinx,1－\f(sinx,cosx))＝eq\f(2sinxcosxcosx＋sinx,cosx－sinx)＝eq\f(－\f(24,25)×\f(1,5),\f(7,5))＝－eq\f(24,175).思维升华(1)利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．(2)注意角的范围对三角函数值符号的影响．跟踪训练3(1)(2023·衡水模拟)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＋cos(π－α)＝sinα，则2sin2α－sinαcosα等于()A.eq\f(21,10)B.eq\f(3,2)C.eq\f(\r(3),2)D．2答案D解析由诱导公式可得，sinα＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＋cos(π－α)＝－2cosα，所以tanα＝－2.因此，2sin2α－sinαcosα＝eq\f(2sin2α－sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tan2α－tanα,tan2α＋1)＝eq\f(10,5)＝2.(2)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(2π,3)))＝eq\f(2,3)，其中α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,3)))＝.答案－eq\f(2,3)－eq\f(4\r(5),9)解析方法一令t＝α－eq\f(2π,3)，所以sint＝eq\f(2,3)，α＝t＋eq\f(2π,3)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(2π,3)－\f(π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(π,2)))＝－sint＝－eq\f(2,3).因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以α－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(5π,6)))，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq\f(\r(5),3)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,3)))＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝2×eq\f(\r(5),3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝－eq\f(4\r(5),9).方法二因为sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(2π,3)))＝eq\f(2,3)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－α))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(2π,3)))＝－eq\f(2,3).以下同方法一．课时精练1．sin1620°等于()A．0 B.eq\f(1,2)C．1 D．－1答案A解析由诱导公式，sin1620°＝sin(180°＋4×360°)＝sin180°＝0.2．(2023·济南模拟)已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝eq\f(\r(3),2)，则tanα等于()A．－eq\r(3)B.eq\r(3)C．－eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(3),3)答案A解析由已知条件得coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sinα＝eq\f(\r(3),2)，即sinα＝－eq\f(\r(3),2)，∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，∴cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\r(1－\f(3,4))＝eq\f(1,2)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(－\f(\r(3),2),\f(1,2))＝－eq\r(3).3．已知角α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与直线2x＋y＋3＝0平行，则eq\f(sinα－cosα,sinα＋cosα)的值为()A．－2B．－eq\f(1,4)C．2D．3答案D解析因为角α的终边与直线2x＋y＋3＝0平行，即角α的终边在直线y＝－2x上，所以tanα＝－2，eq\f(sinα－cosα,sinα＋cosα)＝eq\f(tanα－1,tanα＋1)＝3.4．若sin(π＋α)－cos(π－α)＝eq\f(3,5)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))等于()A.eq\f(8,25)B．－eq\f(8,25)C.eq\f(16,25)D．－eq\f(16,25)答案A解析由sin(π＋α)－cos(π－α)＝eq\f(3,5)，可得－sinα＋cosα＝eq\f(3,5)，平方可得1－2sinαcosα＝eq\f(9,25)，所以sinαcosα＝eq\f(8,25)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cosαsinα＝eq\f(8,25).5．(多选)在△ABC中，下列结论正确的是()A．sin(A＋B)＝sinCB．sin

eq\f(B＋C,2)＝cos

eq\f(A,2)C．tan(A＋B)＝－tanCeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C≠\f(π,2)))D．cos(A＋B)＝cosC答案ABC解析在△ABC中，有A＋B＋C＝π，则sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，A正确；sin

eq\f(B＋C,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(A,2)))＝cos

eq\f(A,2)，B正确；tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanCeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C≠\f(π,2)))，C正确；cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，D错误.6．(2022·郑州模拟)已知角α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，且tan2α－3tanαsinα－4sin2α＝0，则sin(α＋2023π)等于()A.eq\f(\r(15),4)B.eq\f(1,4)C．－eq\f(3,4)D．－eq\f(\r(15),4)答案A解析因为tan2α－3tanαsinα－4sin2α＝0，所以(tanα－4sinα)(tanα＋sinα)＝0，因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，所以tanα<0且sinα<0，所以tanα－4sinα＝0，即eq\f(sinα,cosα)＝4sinα，所以cosα＝eq\f(1,4)，所以sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(\r(15),4)，所以sin(α＋2023π)＝－sinα＝eq\f(\r(15),4).7．已知sinθ＝eq\f(1,3)，则eq\f(tan2π－θ,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ)))＝.答案eq\f(9,8)解析原式＝eq\f(－tanθ,sinθ－cosθ)＝eq\f(1,cos2θ)＝eq\f(1,1－sin2θ)＝eq\f(1,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2)＝eq\f(9,8).8．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(\r(3),3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(4π,3)))的值为．答案0解析因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(\r(3),3)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－eq\f(\r(3),3)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(4π,3)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝－sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－eq\f(\r(3),3)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(4π,3)))＝－eq\f(\r(3),3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)))＝0.9．(2023·长沙模拟)(1)若α是第二象限角，且coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－eq\f(1,3)，求tanα的值；(2)已知f(α)＝eq\f(sin3π－αcos2π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α)),cosπ－αsin－π－α)，化简f(α)，在(1)的条件下，求f(α)的值．解(1)∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sinα＝－eq\f(1,3)，∴sinα＝eq\f(1,3)，又α是第二象限角，∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(2\r(2),3)，则tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(\r(2),4).(2)f(α)＝eq\f(sin3π－αcos2π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α)),cosπ－αsin－π－α)＝eq\f(sinαcosα－cosα,－cosαsinα)＝cosα，由(1)知，cosα＝－eq\f(2\r(2),3)，则f(α)＝cosα＝－eq\f(2\r(2),3).10．已知角θ的终边与单位圆x2＋y2＝1在第四象限交于点P，且点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，y)).(1)求tanθ的值；(2)求eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＋cosθ－2π,sinθ＋cosπ＋θ)的值．解(1)由θ为第四象限角，终边与单位圆交于点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，y))，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋y2＝1，y<0，解得y＝－eq\f(\r(3),2)，所以tanθ＝eq\f(－\f(\r(3),2),\f(1,2))＝－eq\r(3).(2)因为tanθ＝－eq\r(3)，所以eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＋cosθ－2π,sinθ＋cosπ＋θ)＝eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝eq\f(tanθ＋1,tanθ－1)＝eq\f(－\r(3)＋1,－\r(3)－1)＝2－eq\r(3).11．(多选)已知角α满足sinα·cosα≠0，则表达式eq\f(sinα＋kπ,sinα)＋eq\f(cosα＋kπ,cosα)(k∈Z)的取值为()A．－2B．－1C．2D．1答案AC解析当k为奇数时，原式＝eq\f(－sinα,sinα)＋eq\f(－cosα,cosα)＝(－1)＋(－1)＝－2；当k为偶数时，原式＝eq\f(sinα,sinα)＋eq\f(cosα,cosα)＝1＋1＝2.所以原表达式的取值为－2或2.12．黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(aπ,2)＋\f(π,6)))等于()A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D．－eq\f(\r(3),2)答案D解析根据“数字黑洞”的定义，任取数字2021，经过第一步之后变为314，经过第二步之后变为123，再变为123，再变为123，所以数字黑洞为123，即a＝123，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(aπ,2)＋\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(123π,2)＋\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋\f(π,6)))＝－cos

eq\f(π,6)＝－eq\f(\r(3),2).13．sin

eq\f(4π,3)·cos

eq\f(5π,6)·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,3)))的值是．答案－eq\f(3\r(3),4)解析原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)))·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π－\f(π,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－sin

\f(π,3)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos

\f(π,6)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－tan

\f(π,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))×(－eq\r(3))＝－eq\f(3\r(3),4).14．