基于能量守恒原理的树叶质量模型

基于能量守恒原理的树叶质量模型

1古树生长与环境关联树是我们周围常见的植物，几乎影响着我们的生活。例如，我们坐在的桌子和枕头是由木材制成的，吸入的氧气是由树叶释放的。自古以来,树木就是人类的好朋友,为人类的生活生产提供了大量原料。地球上现有的树木种类共100000多种,根据不同分类方法,可分为阔叶林、针叶林、灌木和乔木等类型。一般来说,一棵树通常包括树根、树干、树冠、树枝与树叶等部分。通过几千年甚至上亿年的进化,为了适应外界环境和获取树木正常生长所需求的养料,树的各个组成部分已形成“各司其责、互相关联”的有机体。例如,树冠不宜太小,否则光和作用所得养分不够整棵树的生长需求;树冠不宜太大,否则树干支撑不住,因此,它们之间保持着一种固有平衡。同样,树的外形与树叶的形状是否也有特定内在联系呢?阔叶林为什么多生长在热带区域,而针叶林却在热带区域很少见?为寻找这些问题的答案,本文通过建立树叶质量的预估模型,在质量守恒和能量守恒原理下,定性地回答了上述问题。目前,经过长期的研究和探索,人们已经发现树叶面积与树叶质量之间的定量关系。最近,也发现了一些叶脉与环境之间的关联关系等。为方便讨论,我们假设:1)树的外形是轴对称的;树干为锥体;同一棵树的树叶的大小、厚度和形状都是相同的;2)树叶和树干的含水比例是相同的;树叶完全与树冠外表面吻合。2数学建模2.1基本模型2.1.1单片落叶松面积与树所覆盖地表面面积的关系如图1所示,假设树的高度为H,cm,树冠的高度为Hc,cm,树的根直径为d0,cm,树干的平均密度为ρ,kg/cm3。记树的理论高度为Hi,cm,由于在理想情形下,树干直径均匀变化,可知:,其中d为高度为h(<H-Hc)处的树干直径。因此,该树的理论高度为从而树干的总质量为进而可以计算出树冠的质量为其中dc为树冠底面树干的半径。设单片树叶的外表面面积为As,cm2,厚度为z,cm,树叶表面周长为l,cm,由Fick法则可知,单位时间单位面积上树叶表面与外界交换某物质的质量满足方程,其中,ΔC表示该物质的浓度差,D表示扩散系数,δ表示叶边层厚度,它可由近似计算。因此该棵树的树叶在时间τ内交换的某物质质量为其中Atotal表示树叶总面积,在稍后给出计算表达式。同时,树叶的质量也可表示为Mleaf=Atotalzρleaf,其中ρleaf表示树叶的平均密度。因此由于树叶与外界交换的物质主要是水和二氧化碳,其中水的质量占了绝大部分,同样水的质量占树冠的质量的70%~80%。因此有QMc=Mτ,其中Q为比例系数。从而,可得由(1)式我们可以获得如下定性结论:1)在d0,H,Atotal,l,τ等参数固定时,单片树叶面积As增加时,树冠高度Hc减小,即在相同根直径的条件下,单片树叶面积与树所覆盖地表面面积正相关。2)对于单叶面积相当的树种来说,叶面周长l长的树种与外界交换同等数量的物质所用时间τ短,即具有锯齿叶边的树种生长快,成材周期短。3)在其它参数保持不变的条件下,树叶总面积Atotal随时间参数τ减少而增加,即为了在短时间获取自身生长所需养分,只有使得树叶重叠率最少,裸露面积最大化。2.1.2树冠表面面积由上面讨论可知,树冠的形状是在树冠质量一定的条件下,由外表面面积的最大化决定。由于对称性,假设树冠由椭圆绕坐标轴旋转而得,其截面的边界曲线的参数方程为其中b表示树冠的底面圆半径。因此,树冠的体积为因此下面计算树冠外表面面积,由旋转曲面的面积公式可知:体积和面积公式表明:当树冠的体积不变时,树冠所覆盖的地表面面积随树冠的高度增加而减少。进而,由方程(1)和(2)式可知,单叶面积大的对应树冠的宽度b也增大,即单片树叶的面积某种程度决定了树的形状。因此,第k层树冠面的面积为记树叶在第k层树冠面的覆盖率为λk,重叠率为βk,则树叶的总面积为其中Ac=A0c。从而,树叶的总质量为2.1.3单位古树聚积现假设树冠质量Mc均匀分布在树冠所谓立体内,由于树冠中含水量约为QMc,将这些水量从地面均匀地吸收到树冠中所做的功为另一方面,由于树叶的光合作用,根据Stephen-Boltzmann法则,单位树叶面积在单位时间内聚积的能量约为其中,αleaf为吸收率,σ=5.67×1012W·cm-2·K-4表示Stephen-Boltzmann常数,T表示光照温度。从而,所有树叶在时间τT内聚积的能量约为由能量守恒原理可知,Jtotal≈Wc,即由(4)式可以认识到:在一些参数保持不变时,若温度T增加,则树叶厚度z将增厚,因此,高纬度区域生长的树种,通常树叶较薄;在低纬度区域,常见树叶肥厚的树种。2.2模型分析2.2.1叶片总质量的计算根据上述推导结果,直接计算可知:2.2.2热带地区,单位面积内所含树冠质量的变化情况从能量平衡角度出发,探索树冠质量与树冠投影面积的比值的变化规律,定性分析树叶的分布规律。由方程(4)以及可知,由上述两式可知,单位面积内所含树冠质量主要受外界温度等参数确定,单位面积内所含树叶质量主要受树叶厚度及树的形状等参数影响。因此,在热带地区,树叶会稠密些,因而常见具有肥厚宽大树叶的树种—阔叶树种,却很难发现针叶树种;同样,在寒带地区,树叶会稀疏些,因而常见针叶树种,却很难发现厚阔叶树种。2.2.3叶片形状分析由此可见,树叶形状参数随树冠的高宽比r的变化而变化,即树叶的形状在一定意义下反映了树冠的形状。3生长、形质及生长结果在这一节中,考虑如下三类树叶的质量计算、树叶形状与树的形状的关系等问题:精选14棵树对所需参数进行了测量,它们分属(a)、(b)、(c)三类树种,并且在单叶面积、单叶周长以及叶厚等参数有显著差别。具体测量结果如表1。记k为树叶形状参数理论值(由公式(5)计算)与观测值(据表1计算)的比值。容易获得树叶质量M(kg)、树叶数量N(万)、树冠质量Mc(kg)以及k的计算结果如表3。由数值计算结果可见:1)树叶的质量约为树冠的质量的;2)单叶质量相当、粗细相当的两类树(如样本4与14),由于单叶面积减少,导致树叶数增加,因而树叶总质量较重;3)因为,故从平均意义上说,树叶形状参数理论值与观测值是一致的,即公式(5)具有一定现实意义。4生长参数确定本文建立了基于规范假设下的预估树叶质量模型,该模型定性给出了热带树林生长速度快于寒带树林的原因;揭示了树叶形状与树的形状之间的内在联系,得到了两类树种单叶面积的表达式:As≈0.5rl以及As≈0.45rl。同时,对于树叶特征参数的计算,测量值结果与理论结果一致,说明由模型导出的公式(5)符合实际。若将树叶看成是均匀分层排列在树冠上,且树叶层数为nc,则第k(≤nc)层覆盖面是由如下参数方程曲线绕树干轴旋转而成的:从而,树叶总面积为其中。因此,树叶的总面积可由树冠投影面积