北京市房山区2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题

房山区20202021学年第二学期期末考试高一数学本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分（选择题共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）“直线不在平面内”用数学符号表示为（A）（B）（C）（D）（2）已知角的终边经过点，则（A）（B）（C）（D）（3）已知球的体积为，则它的半径为（A）（B）（C）（D）（4）在△中，，，，则（A）（B）（C）（D）（5）下列命题正确的是（A）正方形的直观图是正方形（B）用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体是棱台 （C）各个面都是三角形的几何体是三棱锥 （D）圆锥有无数条母线（6）已知正四棱锥的高为，底面边长为，则正四棱锥的侧面积为（A）（B）（C）（D）（7）在三棱锥中，平面，，，则侧面与底面所成的二面角的大小是（A）（B）（C）（D）（8）设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，，，则“”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（9）如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点，过的平面与直线平行，则平面截该长方体所得截面的面积为（A）（B）（C）（D）（10）如图，在棱长为的正方体中，为棱的中点，与相交于点，是底面内（含边界）的动点，总有，则动点的轨迹的长度为（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题共100分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（11）已知长方体的长、宽、高分别为，，，则它的体对角线长为___________．（12）如图，在正方体中，直线与所成角的大小为__________.（13）函数（）的最小正周期是，则__________，在上的最小值为__________.（14）如图，在等腰梯形中，，，，点为线段上一个动点（含端点），则的最大值为___________．（15）已知三个不同的平面，，和一条直线，给出五个论断：①；②；③；=4\*GB3④；=5\*GB3⑤．以其中的两个论断作为条件，一个论断作为结论，写出一个正确的命题__________.（可以用序号表示）（16）如图1，在△中，，，，，分别是，上的点，且，，将△沿折起，使到，得到四棱锥，如图2．在翻折过程中，有下列结论：图1图2=1\*GB3①平面恒成立；=2\*GB3②若是的中点，是的中点，总有平面；=3\*GB3③异面直线与所成的角为定值；=4\*GB3④三棱锥体积的最大值为．其中正确结论的序号为__________.三、解答题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（17）（本小题15分）如图，已知直三棱柱中，，为的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面．（18）（本小题14分）已知△中，，．再从条件=1\*GB3①、条件=2\*GB3②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）△的面积．条件=1\*GB3①：；条件=2\*GB3②：．注：如果选择条件=1\*GB3①和条件=2\*GB3②分别解答，按第一个解答计分．（19）（本小题14分）在△中，．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）求的最大值．（20）（本小题14分）如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面⊥平面，且△是正三角形，点是的中点，点，分别在棱，上．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，，，共面，求证：；（Ⅲ）在侧面中能否作一条直线段使其与平面平行？如果能，请写出作图的过程并给出证明；如果不能，请说明理由．（21）（本小题13分）若函数（），非零向量，我们称为函数的“相伴向量”，为向量的“相伴函数”．（Ⅰ）已知函数，求的“相伴向量”；（Ⅱ）记向量的“相伴函数”为，将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数，若，，求的值；（Ⅲ）对于函数，是否存在“相伴向量”？若存在，求出的“相伴向量”；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（每小题5分，共50分）题号12345678910答案BDACDBBCDC二、填空题（每小题5分，共30分，有两空的第一空3分，第二空2分）（11）（12）（13）；（14）（15）=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③（=3\*GB3③=5\*GB3⑤=4\*GB3④；=4\*GB3④=5\*GB3⑤=3\*GB3③）（16）=1\*GB3①=2\*GB3②=4\*GB3④（全选对5分，选不全3分，有=3\*GB3③不得分）三、解答题（共5小题，共70分）（17）（本小题15分）解：（Ⅰ）在直三棱柱中，，为的中点，∴又∵底面，底面∴∴平面（Ⅱ）连接，设与交于，则是的中点连接，则是△的中位线，∴，∵平面，平面∴平面（18）（本小题14分）解：若选择=1\*GB3①，（Ⅰ）由，得，由，，得，解得或．（Ⅱ），，则当时，，△的面积，当时，，△的面积若选择=2\*GB3②，（Ⅰ）由，得，由，，得，解得．（Ⅱ），，则所以△的面积．（19）（本小题14分）解：（Ⅰ）由，，得，，得，因为，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．因为，所以当时，取得最大值（20）（本小题14分）解：（Ⅰ）∵△是正三角形，点是的中点，∴，又平面⊥平面，平面平面∴⊥平面，平面∴⊥（Ⅱ）又∵底面是平行四边形，∴又平面，平面∴平面平面平面，平面∴（Ⅲ）取的中点，取的中点，连接是△的中位线，∴，，点是的中点，且，，则，∴四边形是平行四边形，平面，平面平面，平面，在平面中能作出直线段（21）（本小题13分）解：（Ⅰ），则函数的“相伴向量”（Ⅱ）依题意