湖南名校高三数学联考试题

2006年湖南名校高三数学联考试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共21小题,满分150分,时量120分钟第Ⅰ卷（选择题共50分）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等差数列的前n项和为，若()A．18B.36C.54D.722．与圆(x－3)2+(y+1)2=2相切，且在两坐标轴上有相等截距的切线有 （） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条3．O是ΔABC所在的平面内的一点，且满足（-）·（+-2）=0，则ΔABC的形状一定为()A、正三角形B、直角三角形C、等腰三角形D、斜三角形4．两位同学一起去一家单位应聘,面试前单位负责人对他们说:“我们要从面试的人中招聘3人,你们俩同时被招聘进来的概率是”.根据这位负责人的话可以推断出参加面试的人数为()A.21B.35C.42D.5．点P在平面上作匀速直线运动，速度向量=（4，－3）（即点P的运动方向与相同，且每秒移动的距离为||个单位.设开始时点P的坐标为（－10，10），则5秒后点P的坐标为 () A．（－2，4） B．（－30，25） C．（10，－5） D．（5，－10）6．设函数，则f(x)的反函数的图象是（）7．若椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为() A． B． C． D．8.已知定义在R上的偶函数上是增函数，且，则满足的x取值范围是 （） A． B． C． D．9.在正三棱锥A－BCD中，E、F分别是AB、BC的中点，EF⊥DE，且BC＝1，则正三棱锥A－BCD的体积是()（A）（B）（C）（D）10.设是R上的减函数,设.若,且“”是“”的充分不必要条件，则实数取值范围是()A． B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上.50速度(km/h)40607080O50速度(km/h)40607080O0.010.020.030.04频率/组距大约有辆12．不等式的解集是空集,则实数的取值范围是13．在△ABC中，三个顶点的坐标分别是A（1，1），B（4，1）,C（3，2）,且动点P（x，y）在△ABC的内部及边界运动，则z=x+y的最大值与最小值的差为.14．依次写出数列：的法则如下：如果为自然数且未出现过，则用递推公式否则用递推公式，则15.对于定义在R上的函数，有下述四个命题：①若是奇函数，则的图象关于点A（1，0）对称；②若对x∈R，有，则的图象关于直线对称；③若函数的图象关于直线对称，则为偶函数；④函数与函数的图象关于直线对称。其中正确命题的序号为（把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若=(,1),=(,4),且∥.（Ⅰ）求角A的度数；（Ⅱ）当a=，S△ABC=时，求边长b和角B的大小.17．（本小题满分12分）某厂生产的A产品按每盒10件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出厂．质检办法规定：从每盒10件A产品中任抽4件进行检验，若次品数不超过1件，就认为该盒产品合格；否则，就认为该盒产品不合格．已知某盒A产品中有2件次品．（Ⅰ）求该盒产品被检验合格的概率；（Ⅱ）若对该盒产品分别进行两次检验，求两次检验得出的结果不一致的概率．18、（本小题满分14分）如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.（Ⅰ）求证AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求二面角B—AC—E的大小；（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离.19.(本小题满分14分）以数列的任意相邻两项为坐标的点均在一次函数的图象上，数列满足条件：（Ⅰ）求证：数列是等比数列；（Ⅱ）设数列、的前项和分别为、，若,,求的值.20.(本小题满分14分）已知函数f（x）=x3－x2+bx+c.（Ⅰ）若f（x）在（-∞，+∞）是增函数，求b的取值范围；（Ⅱ）若f（x）在x=1时取得极值，且x∈［－1，2］时，f（x）<c2恒成立，求c的取值范围.21．（本小题满分14分）如图，已知点A（a，0）和直线L：x=－a（a>0），P为L上一动点，过P作L的垂线交线段AP的垂直平分线于Q.（Ⅰ）求Q点的轨迹方程；（Ⅱ）若点B到L的距离为4+a，AB⊥L，且A、B在L同侧，过B作直线交（Ⅰ）中的轨迹于M、N两点，使以MN为直径的圆经过点A，求a的取值范围.

参考答案一、选择题题号12345678910答案DBCACBDBBD二、填空题11．6012.13．314.615.①③三、解答题16．解：（Ⅰ）∵∥∴….…2分∴2［1－cos（B+C）］－（2cos2A－1）-=0 ∵cos（B+C）=－cosA，∴4cos2A－4cosA+1=0，…….…….5分∴（2cosA－1）2=0，即cosA= 又∵00<A<1800,∴A=60° ……….6分（Ⅱ）∵S△ABC=bc×sinA,∴bc×=,即bc=2……①…………….7分∴a2=b2+c2－2bccosA=b2+c2－bc=（b+c）2－3bc=3，∴（b+c）2=9即b+c=3……②……………….9分由①②解得或. ……….10分当b=2时sinB==1,B=90°当b=1时sinB==,∵b<a,B<A,∴B=30°….12分17．解:（Ⅰ）从该盒10件产品中任抽4件，有等可能的结果数为种，……1分其中次品数不超过1件有种，…2分被检验认为是合格的概率为．…………………6分（Ⅱ）两次检验是相互独立的，可视为独立重复试验，……………7分因两次检验得出该盒产品合格的概率均为，故“两次检验得出的结果不一致”即两次检验中恰有一次是合格的概率为．……………11分答：该产品被认为是合格的概率为；两次检验结果不一致的概率为．…12分17．解法一：（Ⅰ）平面ACE.∵二面角D—AB—E为直二面角，且，平面ABE.…………4分（Ⅱ）连结BD交AC于C，连结FG，∵正方形ABCD边长为2，∴BG⊥AC，BG=，平面ACE，由三垂线定理的逆定理得FG⊥AC.是二面角B—AC—E的平面角.…….6分由（Ⅰ）AE⊥平面BCE，又，∴在等腰直角三角形AEB中，BE=.又直角，∴二面角B—AC—E等于…………..9分（Ⅲ）过点E作交AB于点O.OE=1.∵二面角D—AB—E为直二面角，∴EO⊥平面ABCD.设D到平面ACE的距离为h，平面BCE，∴点D到平面ACE的距离为………..14分解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O—xyz，如图.面BCE，BE面BCE，，在的中点，设平面AEC的一个法向量为，则 解得 令得是平面AEC的一个法向量. 又平面BAC的一个法向量为， ∴二面角B—AC—E的大小为……………9分（III）∵AD//z轴，AD=2，∴，∴点D到平面ACE的距离………………….14分19.证：（Ⅰ）由条件得显然（若，则，那么点Pn在一次函数的图象上，与条件不符）因为为常数，所以数列是公比为2的等比数列.……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以因为，所以由得代入得…………….14分20.（Ⅰ）f′(x)=3x2－x+b，……………………..….2分∵f（x）在（-∞，+∞）是增函数，∴f′(x)≥0恒成立，∴Δ=1－12b≤0，解得b≥. ……….….….….4分∵x∈（-∞，+∞）时，只有b=时，f′()=0，∴b的取值范围为[,+∞).….……6分（Ⅱ）由题意，x=1是方程3x2－x+b=0的一个根，设另一根为x0，则∴…8分∴f′(x)=3x2－x－2， 列表分析最值：x-1(-1,-)-(-,1)1（1，2）2+0-0+f(x)+c递增极大值+c递减极小值+c递增2+c………….……………10分∴当x∈［－1，2］时，f（x）的最大值为f（2）=2+c，∵对x∈［－1，2］时，f（x）<c2恒成立，∴c2>2+c， ….………………….………………12分解得c<－1或c>2，故c的取值范围为（－∞，－1）∪（2，+∞）.….………………..14分21．解：（Ⅰ）∵Q点在线