重难点专题17 三角函数最值与取值范围问题十三大题型汇总（解析版）-决战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用）

重难点专题17三角函数最值与取值范围问题十三大题型汇总题型1单调性与最值 1题型2辅助角公式求最值 8题型3一元二次函数与最值 12题型4sinx与cosx和差求最值 21题型5分式型最值 26题型6绝对值型求最值 31题型7三角换元法求最值 39题型8三角换元法与向量求最值 45题型9三角换元法与根号型求最值 56题型10换元法求最值 59题型11距离与斜率型 62题型12参变分离 67题型13复合函数型 68题型1单调性与最值利用正弦型函数的单调性求解对应区间的最值问题【例题1】（多选）（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考阶段练习）已知函数fx=sinωx+πA．-1 B．-2 C．1 D．2【答案】BC【分析】利用整体思想与分类讨论思想，结合正弦函数的性质，可得答案.【详解】当ω>0时，ωx+π6∈π6当ω<0时，ωx+π6∈4ω+π选项BC是范围内的整数.故选：BC.【变式1-1】1.（多选）（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知函数fx=sinωx+φω>0满足fA．fx0+1C．fx的最小正周期为4 D．fx在【答案】AC【分析】根据题设及正弦型函数的对称性有fx0+12=1，假设B中解析式成立，由x0=0得f1【详解】A，由题意fx在x0,B，假设若x0=0，则fx而f1C，fx0=fx0令ωx0+φ=2kπ+则两式相减，得ω=π2，即函数的最小正周期D，因为T=4，所以函数fx在区间0,2024当f0=0，即φ=kπ，k∈Z时，fx故选：AC.【变式1-1】2.（2021秋·辽宁大连·高三大连八中校考阶段练习）关于函数fxA．fx是偶函数 B．0是fC．fx在-π2,π2上有且仅有【答案】D【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A选项；利用函数的极值点与导数的关系可判断B选项；利用函数fx在-π2,π【详解】对于A选项，函数fx=sin则f-x=sin对于B选项，f'当-π2<x<0时，sinx<0，此时，当0<x<π2时，sinx>0，此时，f所以，0不是函数fx对于C选项，由B选项可知，函数fx在-π2所以，函数fx在-对于D选项，因为函数fx在R上连续，f所以当k→+∞时，且k∈Z，f当k→-∞时，且k∈Z，f又f0=0，所以函数fx故选：D.【变式1-1】3.（多选）（2020秋·福建厦门·高三厦门双十中学校考阶段练习）已知函数fx=sinA．fx在区间0,πB．若0<x1C．fx在区间0,π上的值域为D．若函数gx=xg'x+cos【答案】ACD【解析】先求出函数的导数，然后对四个选项进行逐一分析解答即可，对于选项A：当x∈0,π2时，可得f'x<0，可得fx在区间0,π2对于选项B：由fx在区间0,π上单调递减可得fx1对于选项C：由三角函数线可知sinx<x，所以sinxx对于选项D：g'x=g'x+xg″x-sinx【详解】f'x=当x∈0,π2时，cos所以x<sinxcosx，即所以f'x<0，所以f当x∈π2,π，cosx≤0，sinx≥0所以fx在区间π所以fx在区间0,π当0<x1<所以sinx1x由三角函数线可知sinx<x，所以sinxx所以当x∈0,π时，f对gx所以有g'所以g″x=sinxx=f所以g″x≥0，g'x从而g'x≤g'故选：ACD.【点睛】方法点睛：本题考查导数的综合应用，对于函数fx【变式1-1】4.（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=sinωx+π6,ω>0，若fπ4=f【答案】4或10/10或4【分析】根据fπ4=f5π12【详解】∵f(x)满足fπ4=f5π∴π3⋅ω+π6=π∵ω＞0，∴ω=1,4,7,10,13,….当x∈π4,y＝sinx图像如图：要使f(x)在区间π4π2≤π此时ω＝4或10满足条件；区间π4,5π当ω⩾13时，f(x)最小正周期T=2πω⩽2π13综上，ω＝4或10.故答案为：4或10.【变式1-1】5．（2023·全国·高三专题练习）若a、b为实数，且a<b，函数y=sinx在闭区间a,b上的最大值和最小值的差为1，则b-a的取值范围是【答案】π【分析】讨论a的取值，结合三角函数的图象，即可求解.【详解】（ⅰ）当函数y=sinx在闭区间a,b内无最值，则函数y=sin不妨取a,b⊆-π2，π2可知sina+且a∈-π2，0所以sina+π2可得b<a+π2①若a=-π6，b=π②若a∈-π2则sina+因为a∈-π2,-π故sinb-sina=1>且a+π3∈-π6,③若a∈-π6则sina+因为a∈-π6,0，则故sinb-sina=1>且a+π3∈π6,π综上所述：π3（ⅱ）当函数y=sinx在闭区间由图象可知：不妨取a=0，当b=π时，b-a取到最大值π当b=π2时，b-a取到最小值可得π2综上所述：b-a的取值范围是π3故答案为：π3

【点睛】方法点睛：数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题．它包含以形助数和以数解形两个方面．一般来说，涉及函数、不等式、确定参数取值范围、方程等问题时，可考虑数形结合法．运用数形结合法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则，错误的图象反而导致错误的选择．题型2辅助角公式求最值通过辅助角公式化简成正弦型函数，进而求解对应区间的最值问题【例题2】（2023·天津东丽·校考模拟预测）已知函数fx=sin①fx的图象关于点3②将fx的图象向左平移π8个单位长度，得到的函数图象关于③fx在0,π④fx在-A．①②④ B．①②③ C．②④ D．②③④【答案】A【分析】利用辅助角公式将函数化简，再根据函数的最小正周期求出ω，即可得到函数的解析式，由正弦函数的对称性可判断①；由函数图象的平移变换，结合余弦函数的性质可判断②；根据x的范围和正弦函数的性质直接求解可判断③；根据正弦函数单调性通过解不等式可判断④.【详解】因为fx∵函数的最小正周期是π，∴T=π∴ω=2，f(x)=2∵f3π8=sin2×3π∵fx+π8=2sin2x+π当0≤x≤π2时，有0≤2x≤π，则π4∴fx∈-1,由-π2≤2x+所以fx的一个单调增区间为-3π∴fx在-π4故选：A.【变式2-1】1．（2023·天津·三模）已知fx=msinωx-cosωxm>0,ω>0，gx=2tanx，若对∀x1A．43 B．1 C．23【答案】D【分析】由题意首先确定函数fx的值域，然后数形结合得到关于ω的不等式，求解不等式可得ω【详解】fx=msin由题意可知：fxmax≤则函数fx的值域为-2,2设函数fx的最小正周期为T，fx在区间0,π上的值域为-1,2，则：即：2π3ω≤π≤4π结合选项可知实数ω的取值不可能是12故选D.【点睛】本题主要考查双量词问题的处理方法，三角函数的图像与性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力【变式2-1】2.（2023秋·江苏南通·高三江苏省如皋中学校考阶段练习）已知函数f(x)=sinωx+cos(ωx+5π6【答案】[【分析】根据给定条件，化简函数f(x)，再利用正弦函数性质结合已知值域，列式求解作答.【详解】依题意，f(x)=1由x∈[0,π],ω>0，得函数y=sinx在[-π3,π2因为函数f(x)在[0,π]上的值域为[-32,1]所以ω的取值范围为[5故答案为：[【变式2-1】3.（2023·陕西铜川·统考二模）已知函数fx=cosx+π2cos【答案】2【分析】利用诱导公式、三角恒等变换化简fx【详解】f=-2∴x∈-π4,π4时故答案为：2【变式2-1】4.（2023·四川达州·统考二模）函数y=2sinωx+25cos2ωx2-5【答案】2【分析】化简函数y=2sinωx+25cos2ωx2-5(ω>0)得y=3sinωx+θ，其中sinθ=53，cos【详解】由题意可得y=2=2sinωx+5cosωx=3∵函数y=3sinωx+θ在区间0,m上的值域为∴当y=3sinωx+θ=3时，ωx+θ=当y=3sinωx+θ=5时，ωx+θ=θ或ωx+θ=π-θ，则∴π-2θ2ω≤m≤π-2θ∵sinθ=53>∴    π2<2θ<π，∴sinπ又∵sinπ2-θ∴∴sinmω的取值范围为：2题型3一元二次函数与最值类比一元二次函数，求解最值【例题3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=4sin2π2+x+4sinA．π6,π2 B．π【答案】C【分析】首先化简函数fx的解析式，再利用复合函数的值域，求实数a【详解】f(x)=4=-4sin设t=sinx，g且f0=g0=4，因为函数fx在区间0,a的值域为4,5，所以t=sinx在区间0,a上能取得t=所以π6故选：C【变式3-1】1.（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数fxA．fx是偶函数 B．fx在区间C．fx在-π,π上有4个零点【答案】AB【分析】对A，根据偶函数的定义判断即可；对BCD，换元构造复合函数y=2t-【详解】对于A，函数y=fx的定义域为R且f-x所以函数y=fx对于B，当x∈0,π4令t=sinx，由于函数y=2t-函数t=sinx在x∈0,π4故函数y=fx在区间-对于C，当x∈0,π时，由fx=2sin所以x=π6或x=π2或x=5对于D，当x∈0,+∞时，因为-1≤sinx≤1，所以当sinx=34时，f由于函数y=fx是偶函数，因此，函数y=fx的值域为故选：AB.【变式3-1】2.（2023秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考开学考试）设函数fx=-32cos2x+asinx+a+92，【答案】(-3,6-6【分析】f(x)=3sin2x+asinx+a+3,x∈(0,π)，令sinx=t,t∈0,1【详解】解：f(x)=-3令sinx=t,t∈0,1，则当0<t<1时，sinx=t有两个不相等的实数根，当t=1时，sin因为方程fx=0在所以原问题等价于h(t)=3t2+at+a+3=0所以有0<-a6<1故答案为：(-3,6-62【变式3-1】3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数gx(1)求实数a的取值范围；(2)设x1，x2是g（x）的两个零点，证明：【答案】(1)-(2)证明见解析【分析】（1）由gx=0可得a+1=cos2x+cosx，然后令t=cosx，则cos（2）函数g（x）有两个零点x1，x2，令t1=cosx1<0,t【详解】（1）解：gx由gx=0可得令t=cosx，由x∈π故cos2当a+1≥0或a+1<-14，即a≥-1或a<-5所以g（x）不存在零点；当a+1=-14，即a=-54时，a+1=t+t所以g（x）只存在一个零点；当-14<a+1<0，即-t=-12±a+5综上，实数a的取值范围为-5（2）证明：函数g（x）有两个零点x1，x令t1=cosx1<0,t则t1+t2=-1两边平方得cos2x1所以cos2所以cos2由π2<x2<则cosx1>cos3所以x1<【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查余弦函数性质的应用，第（2）问解题的关键是通过换元将问题转化为二次方程有两个根，再利用根与系数的关系结余弦函数的性质可证得结论，考查数学思想和计算能力，属于难题.【变式3-1】4.（2022秋·上海虹口·高三统考阶段练习）已知a∈R，函数f(x)=(1)当a=2时，求f((2)若函数y=f(x)-fπ2-x(3)设a=12,u∈R【答案】(1)f(x)(2)a的最大值为-2(3)u=12或【分析】(1)结合二次函数性质和正弦函数的性质可求f(x)的值域；(2)由已知可得f【详解】（1）因为a=2，f(x)=sin2x-asinx，所以f(x)=sin2x-2sinx=sin（2）因为f(x)=sin2x-a所以y=sin化简得y=sin因为函数y=f(x)-fπ2-x所以y'=2sinxcosx-acosx+2cosxsinx-asinx≥0在0,π所以2-2t2-at≥0在1,2上恒成立，所以a≤2t-2t在1,2上恒成立，又函数y=2t-2t在1,（3）因为f(x)=sin2x-asinx，a=令t=sinx，则t2-1又当t=14时，由图象可得当u<-116或t>32时，方程t2当u=-116时，方程t2-12t-u=0的解为t=则x1∈0,π6当-116<u<12时，方程t2-12t-u=0在-1,1内有两个解，设方程的解为t1方程sinx=t1和sin设数列x1,x2,x3,x4,⋅⋅⋅为等差数列，设数列的公差为d1，因为x5-x当12<u<32时，方程t2-12t-u=0在-1,1方程sinx=t3设数列x1,x2,x3,x4,⋅⋅⋅为等差数列，设数列的公差为d1，因为若u=32，则方程t2-12t-u=0在-1,1内的解为t4=-1当u=12时，方程t2-12t-u=0在-1,1内有两个解t5=1，t6=-12，由sin所以方程f(x)=u的所有正实数解按从小到大的顺序排列后满足x3k-2=π2+k-12π综上所述，当u=12或u=3【变式3-1】5.（2022秋·广东佛山·高三华南师大附中南海实验高中校考阶段练习）已知函数fx（1）当b=1,c=1，则fx的最大值为（2）若对任意x1、x2∈R，都有f【答案】94【分析】（1）化简得出fx=12cos（2）设t=cosx∈-1,1，gt=12t2+bt+c-14，问题转化为当t∈-1,1时，gtmax【详解】（1）当b=c=1时，f=1因为-1≤cosx≤1，当cosx=1时，f（2）函数fx设t=cosx，则问题等价于gt=12t2+bt+c-即gt①当-b≤-1时，即当b≥1时，函数gt在-1,1则gt解得b≤2，此时，1≤b≤2；②当-1<-b≤0时，即当0≤b<1时，函数gt在-1,-b上单调递减，在-b,1故gtgt则有gt可得b2+2b-7≤0，解得-1-22③当0<-b<1时，即当-1<b<0时，函数gt在-1,-b上单调递减，在-b,1故gtgt则有gt可得b2-2b-7≤0，解得1-22④当-b≥1时，即当b≤-1时，函数gt在-1,1则gt解得b≥-2，此时，-2≤b≤-1.综上所述，实数b的取值范围是-2,2.故答案为：（1）94；（2）-2,2【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法：（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.题型4sinx与cosx和差求最值利用sinx+【例题4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=sinx+cosxsinA．π为fxB．fxC．g(x)的图像关于直线x=0对称D．曲线y=fx在点-π【答案】B【分析】由fx+π=-fx可判断A；令t=sinx+cos【详解】对于A，fx+π=-sin对于B，令t=sinx+cos所以原函数变为y=2tt2+1，当t=0时，y=0，当又t+1t≥2，所以1y≤-1，或1所以fx对于C，将fx的图像向右平移π4个单位长度，得到则gx又g-x=-2sinx1-对于D，f'x=故选：B.【变式4-1】1.（2022·全国·高三专题练习）函数f(x)=cosA．-2+1,2+1 B．-【答案】D【分析】将原式化简为fx=cosx+sinx+2sin【详解】解：f(x)==则fx=cos令t=cosx+sin则f(x)=t2+t-1当t=2时，f(x)<f(当t=-12时，故f(x)的值域为-5故选：D.【点睛】本题二次型三角函数的最值问题，考查换元法求函数值域，要注意新元的取值范围，是中档题.【变式4-1】2.（2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）已知函数fx=sin(1)当a=0时，求函数fx(2)若x∈0,π，关于x的方程【答案】(1)-3π(2)2【分析】（1）当a=0时，得到fx（2）当x∈0,π时，令t=sinx+cos【详解】（1）解：当a=0时，函数fx由-π2+2k故函数fx的单调递增区间为-（2）解：当x∈0,π时，可得令t=sinx+cos令gt=t-a⋅t2-1①当a=0时，由（1）知fx=sin不合题意；②当a<0时，可得gt的图象开口向上，Δ=1+a2>0且t1⋅t2=-1，此时有t1③当a>0时，可得gt的图象开口向下，Δ=1+a2>0，方程g若要满足题意，则t2∈1,此时方程t1=2则有g2<0，解得综上所述，a的取值范围为22

【点睛】方法点睛：利用函数的图象求解方程的根的个数或研究不等式问题的策略：1、利用函数的图象研究方程的根的个数：当方程与基本性质有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程fx=0的根就是函数fx与x轴的交点的横坐标，方程fx=g2、利用函数研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.3、本题中合理利用三角函数的基本关系，进行换元构造二次函数，结合二次函数和正弦型函数的图象与性质是解答的关键.【变式4-1】3.（多选）（2023春·湖南·高三统考阶段练习）已知函数fx=ax+A．f12C．fx在R上单调递减 D．f1【答案】AB【分析】对A、B：整理可得fx=cxacx+bcx【详解】因为f2=0，即对A、B：又a，b，c∈0,+∞，则0<a<c,0<b<c，所以0<a故y=acx由fx令gx=acx所以g12>g且c>0，则对∀x∈R，y=c可得f1对C：取a=3，b=4，c=5，则f1对D：令a=ccos则f今sinθ+cosθ+1=t且t=sin∵θ∈0,π2∴sinθ+π4可得f1又∵gt=t+2t在故gt=t+2所以f1故选：AB.【点睛】关键点睛：对于a2+b题型5分式型最值1.可以用正余弦有界性：上下同名型：g（x）=m+kcosx2.可以用辅助角：上下同名型：g（x）=m+kcosx【例题5】（2020·全国·高三专题练习）已知fx=cos3xcosx+1,将fx的图象向左平移①函数gx的周期为π2;②函数gx的值域为-2,2;③函数gx的图象关于x=-π12对称;A．1个 B．2个 C．3【答案】B【解析】首先通过三角化简得到f(x)=2cos2x且x≠π2+kπ,k∈Z，通过平移变换得到g【详解】fx=cos即：f(x)=2cos2x且gx=2cos①因为函数gx的周期为π2，因此②因为x≠π6+kπ2③令4x+π3=kπ,k∈Z，得x=-④因为x≠π6+kπ2综上,正确的个数为2.故选：B【点睛】本题为三角函数的章内综合题，考查了三角函数的化简、周期、奇偶、对称、以及平移变换.属于难题.【变式5-1】1.（2022·全国·高三专题练习）函数f(x)=sinA．-2,2 B．-1,1 C．-1,1 D．-2,2【答案】A【分析】化简函数得到f(x)=-2sin【详解】f(x)=且当且仅当cos2x+π6∴f(x)的值域为-2,2故答案选A【点睛】本题考查三角恒等变换与三角函数的值域，考查推理论证能力【变式5-1】2.（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数fxA．fx的图象关于点π2,0对称 B．πC．fx的值域为-3,3 D．【答案】ACD【分析】化简可得fx=3sin2xcos2x+2【详解】由已知可得fx对于A项，因为fπ-x=3sin2π-2x对于B项，fx+π2=3sin2x+对于C项，设k=sin2xcos2x+2，则k的大小等于点又点Mcos2x,sin如图，NM1,NM2由图象可知，当M与M1重合时，斜率最大，此时k当M与M2重合时，斜率最小，此时k所以k的取值范围为-33,33对于D项，由已知可得f'令f'x≤0根据余弦函数的图象可知，π3+kπ≤x≤2π故选：ACD.【变式5-1】3.（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知f(x)=sinA．f(x)的图像关于直线x=πB．f(x)在-πC．f(x)的值域是[0,2+D．若方程f(x)=83在0,45π4【答案】ACD【分析】化简函数f(x)，对A选项，利用轴对称的意义验证并判断；对B，C选项，换元借助导数求解并判断；对D选项，利用对称性、周期性计算并判断.【详解】依题意有f(x)=(对于A选项：f(π即f(π4+x)=f(π4对于B选项：x∈-π2,0,t=sin(x+g'(t)=2t(t+22)(t+2)2，-2由复合函数单调性知，f(x)在-π对于C选项：令t=sin(x+π4),x∈Rg(t)在[-1，0]上递减，在[0，1]上递增，g(t)min=g(0)=0，g(-1)=g(t)max=g(-1)=2+2，g(t)的值域是[0,2+2对于D选项：由已知得2sin解得sin(x+π4由x+π4=kπ+π2⇒x=kπ+π对称轴为x=kπ+π4(k∈N*,k≤10)，数列{xi+xi+1x1故选：ACD【点睛】关键点睛：涉及关于正(余)弦的三角方程的根的和，合理利用对应函数的对称性是解决问题的关键.【变式5-1】4.（2023·全国·高三专题练习）函数f(x)=3-sinx【答案】2-【分析】设m=cosx，n=sinx，得到m,n为单位圆x2+y2=1上的动点；令k=n-3m--2，根据直线斜率的坐标运算得到k表示该单位圆上的点m,n与点-2,3所在直线的斜率，将其转化为过点-2,3的直线与单位圆有交点，设过点【详解】由题意得：f(x)=3-设m=cosx，n=sin所以m,n为单位圆x2+y令k=n-3m--2，即k表示该单位圆上的点m,n如图：

设过点-2,3的直线方程为y-3=kx+2即直线y-3=kx+2与单位圆x联立y-3=kx+2x2+y所以Δ=化简得：3k2+12k+8≤0所以2-2所以fx所以函数f(x)=3-sinx故答案为：2-2题型6绝对值型求最值绝对值型需要进行分类讨论，再进行分析【例题6】（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=asinx-A．fx的最小值为B．fx的最大值为C．方程fx=b在D．fx在π【答案】BC【分析】根据题意，可得fx=-a2+b2sinx-π4-φ,sinx-π4<0a2+b【详解】fx即fx=-a2+b由sinx-π4≥0，即所以当x∈π4+2kπ,即x-π4+φ∈所以当x-π4+φ=π2当x-π4+φ=φ+π+2kπ，即x=当x∈-3π4即x-π4-φ∈所以当x-π4+φ=-π2由于x-π4+φ≠-φ-π+2kπ综上所述，fx的最小值为-b，最大值为a由fx=b，所以当x∈-即sinx-即x-π4=2kπ或x-所以x=π4或x=-3π当x∈π4,即sinx-即x-π4=2kπ或x-所以x=5π4-2φ综上所述，方程fx=b在取x∈π2,令π2+2kπ≤x-π令-π2+2kπ≤x-由于φ∈0,π2，所以当0<φ<π4时，函数fx在π2,3π4-φ故选：BC.【变式6-1】1.（2022·全国·高三专题练习）已知函数fx=cosx，若对任意实数x1，x2，方程f【答案】2【分析】根据题意，不妨设cosx1≤cosx2，分类讨论当cosx≥cosx2，【详解】解：由题可知fx=cos对于m，对任意实数x1，x2，方程当cosx≥cosx所以m≥cosx2当cosx≤当cosx1<cosx<综上得：m=2；对于n，对任意实数x1，x2，方程当cosx≥cosx2时，方程可化为当cosx≤当cosx1<所以cosx1-所以m+n的值的集合为2.故答案为：2.【点睛】关键点点睛：本题考查函数与方程的综合问题，考查余弦函数的图象和性质，通过设cosx1≤cosx【变式6-1】2.（2022·全国·高三专题练习）给出以下命题：①若α、β是第一象限角且α<β，则tanα<②函数y=sin③函数y=sin④函数y=sinx-1⑤函数f(x)=-4sin2x+4cosx+1-a，当x∈其中正确命题的序号为.【答案】④⑤【分析】根据正切周期性，对①举反例；根据sinx与x关系，可解fx零点；根据奇函数定义域，判断【详解】对于①，令α=60∘,β=390∘对于②，当x∈0,π2有sinx<x恒成立，则x∈0,π2无零点；又y=sinx-x为奇函数，∴x∈对于③，求y=sin2x+sinxsinx+1对于④，函数y=sinx-12是函数y=sinx向下平移12个单位，再沿x对于⑤，f(x)=-4当x∈-π4,2π3使f(x)=0恒有解，则(2cos∴a+4∈0,9，∴a∈-4,5，则故答案为：④⑤【点睛】本题考查，正切函数周期性、奇偶性定义、翻折变换、三角函数有界性，综合性较强，考查计算能力，有一定难度.【变式6-1】3.（2023春·浙江温州·高三统考开学考试）函数f(x)=x-a+cosx在0,b上的值域为-1,3π【答案】52【分析】先由绝对值、余弦函数的有界性以及f(0)求出a，分类讨论求出b，即可求解.【详解】因为x-a≥0，cos所以当且仅当x-a=0且cosx=-1时所以a=x=π+2kπ,k∈N又f(0)=|a|+1∈[-1,3π2所以f(x)=x-π+cosx，易知f(x)在所以当b≤π时，f(x)≤f(0)=π+1，不满足题意；当b>π时，因为f(x)max=注意到f(5π2)=3π2所以b=5π2故答案为：52【点睛】利用三角函数求值的关键：（1）角的范围的判断；（2）根据条件选择合适的公式进行化简计算；（3）合理地利用函数图像和性质.【变式6-1】4.（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=sinA．fx是以πB．直线x=π2是曲线C．函数fx的最大值为2，最小值为D．若函数fx在区间0,Mπ【答案】ACD【分析】根据周期函数定义判断A即可；根据函数对称轴定义判断B即可；由A知f(x)是以π为周期的函数，所以根据求解fx在区间[0,π]上的最大值即可判断选项C，利用fx在区间【详解】对于A，因为f(x+π所以f(x)是以π为周期的函数，故A正确；对于B，有f(π对于C，由A知只需考虑fx在区间[0,π]当x∈0,π2则t∈[1,2易知u(t)在区间[1,2所以f(x)的最大值为u(1)=0，最小值为u(2当x∈π2,π则t∈[1,2易知v(t)在区间[1,2所以f(x)的最大值为v(2)=2综合可知：函数fx的最大值为2，最小值为2对于D，因为fx是以π可以先研究函数fx在区间(0,π]当x∈0,π2时，令f(x)=u(t)=-因为x+π4∈则t=2sinx+t=2sinx+π4当x∈π2,π时，令因为x-π4∈则t=2sinx-t=2sinx-综合可知：函数f(x)在区间(0,π]上有两个零点，分别为x=π又因为fx是以π所以若n∈N*，则f(x)在区间(0,nπ又已知函数f(x)在区间(0,Mπ所以20232故选：ACD【点睛】关键点睛：本题主要考查命题的真假判断，利用三角函数的图像和性质，进行分类讨论是解决本题的关键，属于中档题.【变式6-1】5.（2022春·新疆·高三校考阶段练习）定义：设不等式fx>0的解集为A，若A中只有唯一整数，则称A为“和谐解集”．若关于x的不等式sinx+A．[cos22,cos1)【答案】A【分析】根据定义解不等式即可.【详解】解：不等式sinx+cosx>2mx+由函数y=minsinx,cosx因为点A1,cos1,B2,所以数m的取值范围为[cos故选：A.题型7三角换元法求最值1.二次型双变量可以三角换元.2.椭圆型，或者双变量型，可以适当选择多项式三角函数换元.【例题7】（2023秋·广东清远·高三校考阶段练习）若x2+y2=2【答案】26【分析】设x=2【详解】设x=2所以2x-3y=2所以2x-3y的最大值为26.故答案为：26【点睛】本题主要考查辅助角公式，考查三角函数的最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.【变式7-1】1.（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考阶段练习）已知实数x1、x2、y1【答案】7【分析】设x1=cosθ,y1=【详解】设x1故2cosθcos所以θ-α=2kπ+π故θ=2kπ+α+π当θ=2kπ+α+π==5其中cosφ=57因为7cosα+φ≤故x1+x当θ=2kπ+α-π==5其中cosγ=2114因为7sinα+γ≤故x1+x综上，x1+x故答案为：7.【点睛】思路点睛：多变量的最值问题，注意根据方程的特征选择三角换元来处理，后者可再结合三角变换公式和正弦型函数的性质来求最值.【变式7-1】2.（2023·全国·高三专题练习）设x、y∈R且3x2+2y【答案】0,4【分析】解法一：利用条件3x2+2y2解法二：由3x2+2y2=6x得【详解】解法一：∵3x∴y2=3x-x2令fx=-1显然函数fx在0,2上单调递增，f0=0，f∴x2+解法二：由3x2+2y2=6x得则x=1+2=-令t=cosα，t∈-1,1，gt=-12所以gt∈0,4所以x2+y故答案为：0,4【变式7-1】3.（2023·上海普陀·统考一模）设a1、a2、a3均为正数且a12+a【答案】-【分析】由已知可得出a1a32+a2a32=1，不妨设a1a3=cosθ【详解】因为a1、a2、a3均为正数且a不妨设a1a3=cos所以，a=3+=3+=3+sin因为θ∈0,π2，则π则t2=sin所以，a1令ft=t+2t-1+3所以，函数ft在1,2上单调递减，所以，所以，k≤a故答案为：-∞【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）∀x∈D，m≤fx（2）∀x∈D，m≥fx（3）∃x∈D，m≤fx（4）∃x∈D，m≥fx【变式7-1】4.（2023·全国·高三专题练习）“曼哈顿距离”是由赫尔曼·闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语.在平面直角坐标系中，点Px1,y1，Qx2,yA．-2,2 B．2,3+2 C．-2,3-2【答案】B【分析】本题利用圆的参数方程，设出Q(1+cosθ,1+sin【详解】根据题意,Q是圆M:设Q的坐标为(1+cosθ,1+sinθ则LPQ=|1+cos若sinθ≥0，即LPQ=3+cosθ则当θ+π4=π2时，即当θ+π4=5π4时，即θ若sinθ<0,即LPQ=3+cos则当θ+π4=3π2当θ+π4=9π综上所述2≤L故选：B.【点睛】本题为新文化试题，有关曼哈顿距离的问题曾经考察过多次，是模考题的热点问题之一，这类问题从数学家思想出发，一定要将他的概念理解清楚，这样才能得到有关距离的函数，再进行分类讨论即可.【变式7-1】5.（2022·北京·高三强基计划）设a，b，c为正数，且a2+bA．3+12 B．2+12【答案】A【分析】利用待定系数法法结合基本不等式可求a(a+b+c)的最大值，也可以利用三角换元结合辅助角公式、正弦函数的性质可求最大值.我们也可以利用基本不等式把b+c转化为关于a的代数式，从而可求最大值.【详解】解法一根据题意，有a(a+b+c)≤=1+其中λ,μ>0，令1+λ解得λ=μ=3于是a(a+b+c)≤1等号当a:b:c=(3+1):2:2时取得，因此所求最大值为解法二令a=cosφ,b=sina(a+b+c)=cos2=22sin等号当a:b:c=(3+1):2:2时取得，因此所求最大值为解法三根据题意，有a(a+b+c)≤a==a2-等号当b2=c2，且因此所求最大值为3+1故选：A.题型8三角换元法与向量求最值向量中的三角换元原理之一，就是源于|a【例题8】（2023·全国·高三专题练习）已知正方形ABCD的边长为2，动点P在以D为圆心且与AC相切的圆上，则BP⋅AC的取值范围是【答案】-4,4【分析】建立平面直角坐标系，设P2cosθ,【详解】以点D为圆心，以DC,DA所在直线分别为x,y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则D0,0,A0,2,B2,2∴设P2cosθ,∴BP⋅当cosθ+π4=-1时，当cosθ+π4故BP⋅AC的取值范围为故答案为：-4,4

【变式8-1】1.（2020·全国·高三专题练习）如图，扇形的半径为1，圆心角∠BAC=120°，点P在弧BC上运动，AP=xAB+y【答案】239【分析】如图所示：作平行四边形AFPE，E,F分别在AC,AF上，故AP=AE+AF=xAB+y【详解】如图所示：作平行四边形AFPE，E,F分别在AC,AF上，故AP=故|AE|=x,|AF根据正弦定理：1sin60°=故x=233故3x+y=23其中tanφ=37，当tan故答案为：239【点睛】本题考查了正弦定理和三角恒等变换的应用，意在考查学生的综合应用能力.【变式8-1】2.（2022·山东日照·统考一模）在ΔABC中，∠A=π3，且【答案】2【分析】取边BC的中点为O，把（AB→+AC→）•BC→=0转化为AO→【详解】取边BC的中点为O，则AO→=1又（AB→+AC→）•BC→∴AO→⊥BC又∠A=π以O为坐标原点，以BC边所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系如图所示；并设BC＝2a（12≤a则A（0，3a），B（﹣a，0），C（a，0），又BM＝2CM＝2，所以（x+a）2+y2＝4（x﹣a）2+y2＝1，所以解方程组(x解得x=34所以当x=AM==(=2=2令a2-5则AM=5+2所以当θ=2同理当x=AM=2所以当θ=π综上可知：AM的取值范围是[1，3]，AM的最大值与最小值的差是2．故答案为2．【点睛】本题考查三角函数与平面向量的综合应用，也考查了数形结合与逻辑推理以及计算能力的应用问题，是难题，突破点是求AM=【变式8-1】3.（2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）已知△ABC外接圆的圆心为O，AB=AC=8，AO=αAB+βAC【答案】2【分析】设D是线段AB的中点，从而可求得AO⋅AB，同理可得AO⋅AC，再结合AO=α【详解】如图所示，设D是线段AB的中点，由于O是△ABC外接圆的圆心，故OD⊥AB，所以AO⋅同理可得AO⋅由于AO=α故AO⋅AB=α解得α=β=1则21+由于0<sinA≤1，依题意-sin令x=sinA,x∈0,1当t2≥1，即t≥2时，当0<t2<1fxmax=ft2综上可得t=2故答案为：2.【点睛】关键点点睛：求出AO⋅AB，AO⋅AC，再结合【变式8-1】4.（2022秋·新疆·高三兵团第三师第一中学校考阶段练习）在平面内，定点A，B，C，D满足|DA|=|DB|=|DC|=2，DA⋅BC=DB⋅AC=【答案】49【分析】由题意可设D(0,0)，A(2,0)，B(-1,3)，C(-1,-3)，再由|AP|=1，PM=MC，可设【详解】解：平面内，|DA|=|DB∴DA⊥BC，DB⊥可设D(0,0)，A(2,0)，B(-1,3)，∵动点P，M满足|AP|=1，可设P(2+cosθ,sinθ)，∴BM=(3+cos∴BM2当且仅当sin(∴|BM|2故答案为：494【点睛】关键点点睛：此题考查向量的数量积的应用，考查向量的坐标运算，考查三角函数的应用，解题的关键是由已知向量间的关系设点A,B,C,D的坐标，再由|AP|=1，PM=MC，表示出P,M的坐标，从而可表示出【变式8-1】5.（2022秋·江苏盐城·高三盐城市伍佑中学校考阶段练习）如图，扇形AOB的圆心角为2π3，半径为1．点P是AB上任一点，设∠AOP=α(1)记fα=OP(2)若OP=xOA+y【答案】(1)f(2)1,2【分析】（1）建立平面直角坐标系，根据三角函数的定义可得Pcosα,sinα，再根据题意求得（2）根据题意可得cosα,sinα=x1,0+y-【详解】（1）由题意，以O为坐标原点，OA为x轴正向建立如图平面直角坐标系，则Pcosα,sinα，A1,0,B（2）由（1），OP=xOA+yOB，即cosα,sinα=x1,0+y-12,32=x-12y,32y，故cosα=x-12【变式8-1】6.（2022秋·天津宝坻·高三校考阶段练习）已知边长为43的正△ABC，内切圆的圆心为O，过B点的直线l与圆相交于M，N两点，（1）若圆心O到直线l的距离为1，则MN=；（2）若BM=λBA【答案】23【分析】（1）利用圆的弦长公式即求；（2）以B为原点建立平面直角坐标系，可得内切圆方程为(x-23)2+(y-2)【详解】（1）∵边长为43由等边三角形的性质可知，内切圆的半径为2，又圆心O到直线l的距离为1，∴MN=2（2）如图以B为原点建立平面直角坐标系，则A(23内切圆方程为(x-23)2∵BM=λ∴(23∴23λ+43∴λ+μ=1∵sin(θ+π3故答案为：23；1【变式8-1】7.（多选）（2023·全国·高三专题练习）正方形ABCD的边长为4，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点，AP=λA．μ最大值为1 B．AP·AB最大值是8C．λ最大值为5+14 D．AP⋅【答案】AD【分析】建系，设P2【详解】如图，以AB的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A-2,0设P2可得AP=则λAB由题意可得4λ+4μ=2cosθ+22μ=2对于A：∵μ=sinθ，且θ∈0,π，可得当∴μ最大值为1，故A正确；对于B：AP·AB=4∵θ∈0,π，可得当θ=0时，∴AP·AB最大值是81+1对于C：∵λ=12cos由θ∈0,π，则令φ≤θ+φ<π，解得0≤θ<π-φ；令π故λ=52cosθ+φ+当θ=0时，则λ=1；当θ=π时，则λ=0<1∴λ最大值是1，故C错误；对于D：AP⋅AC∵θ∈0,π，则则当θ+π4=π2∴AP⋅AC最大值是8+8故选：AD.【点睛】方法定睛：1．平面向量的线性运算要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现．2．正确理解并掌握向量的概念及运算，强化“坐标化”的解题意识，注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用．题型9三角换元法与根号型求最值无理单根号，双根号等等三角换元的数字特征.1.单根号，一般是齐次关系.2.双根号，不仅仅是齐次关系，并且平方后能消去x.3.一定要注意取值范围之间的变化与互相制约.【例题9】（2021秋·天津红桥·高三统考期中）设a≥0，则2a+2a【答案】2【分析】由题意，利用三角换元，令a=tanθ,θ∈0,π2.则y=【详解】∵a⩾0,∴可令a=tan则y=2化为2y-∴(2y-化为(5y+2∴y⩾2.当θ=因此2a+2a2故答案为2.【点睛】本题主要考查三角换元与辅助角公式的应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.【变式9-1】1.（2020春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期中）若y=x-4+18-3x，则【答案】[【分析】首先求出x的取值范围，令x=4+2sin2t【详解】解：因为y=所以x-4≥018-3x≥0解得4≤x≤6，令x=4+2sin则y==2所以y=22因为t∈0,π2，所以所以y∈故答案为：2【点睛】本题考查函数的值域的计算，换元法的应用，三角函数及三角恒等变换公式的应用，属于中档题.【变式9-1】2.（2021秋·江西吉安·高三江西省万安中学校考开学考试）已知a,b,c∈[-4,4]，则|a-b|+|b-c|【答案】8【解析】设x=|a-b|,y=【详解】设x=|a-b|,y=则x2=a-b,y可设x=zcosθ,y=zsinθx+y+=z[2sin(θ+即|a-b|故答案为：8.【点睛】本题考查利用三角换元法及三角恒等变换中的辅助角公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.【变式9-1】3.（2021秋·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习）设r，t∈R满足r-2t-2r-t【答案】3-2【分析】原方程可变形为r-t-12+t-12=1【详解】将r-2t-2r-t设r-t=1+cosα，tr=1+又因为-1≤sinα+π所以r∈3-2故答案为：3-22题型10换元法求最值【例题10】（2008·重庆·高考真题）函数f(x)=sinx5+4cosA．[-14,14C．[-12,12【答案】C【分析】由题意结合函数解析式的特征利用换元法，结合三角函数的性质和均值不等式的结论,求解函数的值域即可.【详解】令t=5+4cosx1≤t≤3，则：分类讨论：当0≤x≤π时，sinx≥0，则：sin函数的解析式换元为：gt当且仅当t2=3时等号成立，此时函数的值域为当π<x≤2π时，sinx≤0，则：sin函数的解析式换元为：gt当且仅当t2=3时等号成立，此时函数的值域为综上可得：函数f(x)=sinx5+4cosx(故选：C【变式10-1】1.（2022春·辽宁沈阳·高三辽宁实验中学校考期中）函数f(x)=sinA．35 B．335 C．【答案】D【分析】首先对原式进行变形，然后再利用换元法求函数的最值.【详解】由题知f(x)=sin整理得f(x)=1令cosx+2sinx+1所以f(t)=1121+t因为cosx+2整理得2-tt解得t≥34，代入f(t)中有f(t)的最大值为即f(x)的最大值为42故选：D.【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，结合考查了函数最值问题，属于难题.【变式10-1】2.．（2022·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）已知α，β∈0,π2，2A．2-1 B．2 C．11916【答案】D【分析】根据2sin(α+β)=sinαsinβ弦化切化简得【详解】由题意得，2sin(α+β)=2sinαcos∴tanαtanβ=2(∴tanαtanβ≥16故cos(α+β)sinαsinβ+sin则y=12t+所以最小值为12故选：D【变式10-1】3.（2020秋·河南新乡·高三校联考阶段练习）函数y=-1+A．1,-1 B．22,-22 C．【答案】D【分析】根据二倍角公式和同角的基本关系化简可得y=-1+sinxsinx+cosx【详解】设tanx2=ty==-由t∈0,1，得-2≤t-12所以当t=0，即x=0时，ymin=-1；当t=1，即x=π故选：D.【点睛】本题主要考查了二倍角公式、同角基本关系，以及换元法在求函数值域中的应用，属于中档题.题型11距离与斜率型【例题11】（2020·江苏盐城·盐城市第一中学校考二模）已知函数f(α)=2(cosα+12)2【答案】m≤【分析】设Pcosα,sinα，Q-2,0，S【详解】2(设Pcosα,sinα，则f(α)=cos如图，PQ-PB≤QB，当且仅当P,Q,B三点共线且又QB=4+14=因为集合a∈Rf(α)≥m≠∅，故m≤fα故答案为：m≤17【点睛】本题考虑无理函数的最值，对于无理函数的最值问题，首选方法是利用导数求其单调性，其次可利用几何意义来求最值，本题属于难题.【变式11-1】1.（2023·全国·高三专题练习）函数fxA．22 B．23 C．【答案】D【分析】利用三角函数的平方关系将fx转化为点P到点A,B【详解】因为5cos2x-4所以fx故fx的最大值转化为点P3cosx,2sin因为-1≤sinx≤1，-2≤-2sin所以PA-当且仅当sinx=-1时，等号成立，则PA经检验，此时cosx=0，f所以fx≤3，即fx故选：D.【变式11-1】2.（2022·全国·高三专题练习）设圆O:x2+y2=1上两点Ax1,【答案】15【分析】首先由数量积公式可得∠AOB=120°，再根据绝对值的几何意义得h=x1-2y15+x2-2y25【详解】由OA⋅OB=-设h=x1-2y15+取直线x-2y=0为x轴重新建立直角坐标系后，则h表示两点A，B分别到x轴的距离之和.在新的直角坐标系下，设Acosθ,则有h=sin由对称性，不妨设点B在x轴上或上方，即-120°≤θ≤60°.所以h=sin0∘≤θ≤60得θ+60∘∈当-120∘≤θ<θ-30∘∈综上得32从而得x1故答案为：15【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解x1【变式11-1】3．（2023·全国·高三专题练习）存在实数α∈R使得2cosα+122【答案】-∞,【分析】首先利用三角函数化简已知，转化为fα=cos【详解】2cosα+=cos设Pcosα,sinα，则fα如图，PQ-PB≤QB，当且仅当P,Q,B三点共线且点又QB=0+22+1因为存在实数α∈R使得2所以m≤2即m≤17故答案为：-∞,【点睛】本题考查与三角函数有关的最值问题，重点考查构造函数的几何意义求最值，数形结合思想，属于中档题型，本题的关键是构造两点间距离公式，转化几何意义求最值.【变式11-1】4.（2023·全国·高三专题练习）已知x∈[-3，3]，y∈R+，则【答案】21-66/【分析】分别作y=3-x2，y=9x【详解】解：分别作y=3-x2分别取点(x,3-x2设P为y=x与y=9∴PO2=当且仅当x=3时，取等号.故得的最小值为(OP-3故答案为：21-66

【变式11-1】5.（2022·上海·高三专题练习）函数y=-x2【答案】[34，9+【分析】先根据条件求出x的范围，再令x﹣2=cosθ，利用三角换元法结合三角函数的值域即可求出结论.【详解】∵﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1≥0⇒1≤x≤3.令x﹣2=cosθ

且θ∈[0，π]∴y==sinθ+3cosθ+3，表示两点（﹣3，﹣3）和（cosθ，sinθ）的斜率，cos如图，斜率最小为-3-0-3-1=34，斜率最大值为直线与半圆相切时的斜率，sinθ--3cosθ--3⋅sinθcosθ故答案为：3【点睛】本小题主要考查含有根式的函数的值域的求法，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.题型12参变分离【例题12】（2021·全国·高三专题练习）不等式x2+1cos【答案】θ的取值范围是(2kπ-3π4,2kπ+【分析】将原不等式按参数θ分离，利用判别式法可得sinθ-π4【详解】将原不等式按参数θ分离，得sinθ-即2sin由“判别式法”可求得：-1≤5x+3x2∴要使原不等式对一切x∈R都成立，当且仅当①对一切x∈R都成立，这又等价于2sinθ-π∴2kπ-3π∴θ的取值范围是(2kπ-3π4,2kπ+【变式12-1】（2021·浙江金华·统考一模）已知函数fx=t+sinxA．1 B．2 C．-1 D．-2【答案】A【分析】设y=t+sinxt+cos【详解】设y=t+sinxty-t=sinsinx-φ=ty-t两边平方并化简得t2-1y设关于y的方程t2-1y则y而不等式（*）的解为：y1≤y≤y2，即y1,y所以M⋅m=1.故选：A【点睛】本题解题的关键是利用三角函数sinx≤1来构造关于函数值题型13复合函数型【例题13】（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的偶函数fx，当x≥0时满足fx=4cosxsin(x+π【答案】-【分析】根据题意，作出fx的图象，设t=fx，得到方程t2+2at+2=0，设gt【详解】根据题意，当0≤x≤π6=23因为0≤x≤π6，可得π6≤2x+π6≤又由x>π6时，f(x)=(因为函数fx是R上的偶函数，画出函数f

设t=fx，则方程fx2由图象可得：当t=2时，方程t=fx当32<t<2时，方程当1<t<32时，方程当t=1时，方程t=fx要使得fx设t1,t2是方程t2①t2=232<t1此时方程为t2-3t+2=0，解得t1②1<t1<32综上可得，实数a的取值范围是-3故答案为：-3【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法，合理转化求解.【变式13-1】1.（2020·湖南岳阳·高三校考阶段练习）设函数fx=2cosπ3x,x∈-6,612【答案】-【分析】作出函数fx的图象，设fx=t，设关于t2+at+1=0有两个不同的实数根t1、t2，可得知t1、t2【详解】作出函数fx令fx=t，要使关于x的方程fx2+af则方程t2+at+1=0有两个不同的实数根t1、t2，且由图知设gt=t2+at+1因此，实数a的取值范围是-5故答案为：-5【点睛】本题考查利用复合型二次函数的零点个数求参数，考查数形结合思想的应用，属于难题.【变式13-1】2.（2022秋·福建福州·高三校联考期中）已知函数fx(1)求fx(2)若x∈π6,2π3，关于【答案】(1)fx(2)m∈【分析】（1）由图象确定函数周期，由此求ω，代入特殊点坐标求求出A,φ，即可求得解析式；（2）令t=f(x)，根据一元二次方程的根于系数关系研究方程t2-mt+1=0的解的个数及其范围，结合函数fx【详解】（1）观察图象可得x=π3为函数fx所以函数fx的周期T=4π3-π因为π12,0，0,-2在函数所以Asinφ=-2①，由②可得π12ω+φ=kπ所以φ=kπ-π6,k∈将φ=-π6代入①得，所以fx=4sin2x-π（2）由(1)可得fx=4令t=f(x)，x∈π6,2方程t2-mt+1=0没有实数解，则m2-4<0，即-2<m<2，此时方程若方程t2-mt+1=0有且只有一个解，则m2当m=2时，方程t2-mt+1=0的解为t=1，而当m=-2时，方程t2-mt+1=0的解为t=-1，而当m>2时，方程t2-mt+1=0有两个解，设其解为t1,故0<t1<1<m2由已知方程fx2-mfx+1=0在π6,2π3恰有两个实根，