七年级数学上册专题3.3 一元一次方程应用一（知识解读）（解析版）

/专题3.3一元一次方程应用一（知识解读）【直击考点】【学习目标】进一步经历运用方程解决实际问题的过程。2、提高学生找等量关系列方程的能力。3、培养学生的抽象、概括、分析和解决问题的能力。【知识点梳理】类型1行程问题：距离=速度·时间；类型2工程问题：工作量=工效×工时；工程问题常用等量关系：先做的+后做的=完成量类型3顺水逆水问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；顺水逆水问题常用等量关系：顺水路程=逆水路程类型4商品利润问题：售价=定价；利润问题常用等量关系：售价-进价=利润【典例分析】【考点1行程问题】【典例1】（2022春•绥棱县期末）甲乙两地相距350千米，一辆快车和一辆慢车同时从两地相向开出，3.5小时后相遇，已知快车和慢车的速度比是3：2，这两列火车的速度分别是多少？【解答】解：设快车的速度是3x千米/小时，则慢车的速度是2x千米/小时，依题意得：3.5（3x+2x）＝350，解得：x＝20，则3x＝3×20＝60，2x＝2×20＝40．故快车的速度是60千米/小时，慢车的速度是40千米/小时．【变式1-1】（2022•龙岩模拟）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发x日，甲乙相逢，则可列方程（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：设乙出发x日，甲乙相逢，则甲出发（x﹣2）日，故可列方程为：+＝1．故选：D．【变式1-2】（2022春•北碚区期末）小明早上8点从家骑车去图书馆，计划在上午11点30分到达图书馆．出发半小时后，小明发现若原速骑行，将迟到10分钟，于是他加速继续骑行，平均每小时多骑行1千米，恰好准时到达，则小明原来的速度是（）A．12千米/小时 B．17千米/小时 C．18千米/小时 D．20千米/小时【答案】C【解答】解：设小明原来的速度是x千米/小时，则加速后的速度为（x+1）千米/小时，依题意得：（11﹣8）x＝x+（11﹣8﹣）（x+1），解得：x＝18，∴小明原来的速度是18千米/小时．故选：C．【变式1-3】（2022春•灌云县期末）我县境内的某段铁路桥长2200m，现有一列高铁列车从桥上匀速通过，测得此列高铁从开始上桥到完全过桥共用30s，整列高铁在桥上的时间是25s，试求此列高铁的车速和车长．【解答】解：设此列高铁的车长为xm，依题意得：＝，解得：x＝200，∴＝＝80．答：此列高铁的车速为80m/s，车长为200m．【变式1-4】（2022春•南关区校级月考）已知：A，B两地相距500km，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，甲的速度为每小时60千米，乙的速度为每小时40千米，请按下列要求列方程解题：（1）若同时出发，相向而行，多少小时相遇？（2）若同时出发，同向而行，多长时间后两车相距100km？【解答】解：（1）设x小时相遇，依题意得：（60+40）x＝500，解得x＝5．答：若同时出发，相向而行，5小时相遇；（2）设两车同时出发，同向而行，z小时后两车相距100km，①相遇前：60z﹣40z＝500﹣100，解得：z＝20，②相遇后：60z﹣40z＝500+100，解得：z＝30．答：两车同时出发，同向而行，20小时或30小时后两车相距100km．【考点2工程问题】【典例2】（2021秋•晋安区校级期末）一项工程，由一个人做需要80小时完成．计划先由一部分人做2小时，再增加5人做8小时后完成了这项工程的．怎样安排具体人数？（假设每个人的工作效率相同）【解答】解：设应先安排x人工作，根据题意可得：+＝，解得：x＝2，答：应先安排2人工作．【变式2-1】（2022•裕安区校级一模）一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天，如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？设要用x天可以铺好这条管线，则可列方程为（）A．12x+24x＝1 B．（）x＝1 C．＝1 D．（12+24）x＝1【答案】B【解答】解：设要用x天可以铺好这条管线，则可列方程：（+）x＝1．故选：B．【变式2-2】（2021秋•平江县期末）平益高速平江段施工由甲、乙两工程队完成，已知甲单独完成需200天，乙队单独完成需300天，现由甲先做40天，然后甲、乙一起完成，则甲、乙一起还需多少天才能完成工作？【解答】解：设甲、乙一起还需x天才能完成工作，依题意有：×40+（+）x＝1，解得x＝96．故甲、乙一起还需96天才能完成工作．【变式2-3】（2021秋•庄河市期末）修理一批零件，如果由一个人单独做要用20h，现先安排1人用2h整理，随后又增加一批人和他一起又做了3h，恰好完成修理工作．假设每个人的工作效率相同，那么增加修理的人数是多少？【解答】解：设增加修理的人数为x人，由题意，得+（x+1）××3＝1．解得x＝5．答：增加修理的人数是5人．【变式2-4】（2021秋•息县期末）为推进我国“碳达峰、碳中和”双碳目标的实现，各地大力推广分布式光伏发电项目．某公司计划建设一座光伏发电站，若由甲工程队单独施工需要3周，每周耗资8万元，若由乙工程队单独施工需要6周，每周耗资3万元．（1）若甲、乙两工程队合作施工，需要几周完成？共需耗资多少万元？（2）若需要最迟4周完成工程，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度节省资金．（时间按整周计算）【解答】解：（1）设甲、乙两工程队合作施工，需要x周完成．根据题意，得．解得x＝2．所以（8+3）×2＝22（万元）．答：甲、乙两工程队合作施工，需要2周完成，共耗资22万元．（2）设先由甲和乙两工程队合作施工y周，剩下的由乙单独完成．根据题意，得．解得y＝1．所以4﹣1＝3．所以（8+3）×1+3×3＝20（万元）．答：选择先由甲和乙两工程队合作施工1周，剩下的由乙单独施工3周最节省资金．【考点3顺水逆水问题】【典例3】（2021秋•瓦房店市期末）一艘轮船从甲码头到乙码头顺流而行，用了4小时，从乙码头返回甲码头逆流而行，用了6小时，已知船在静水的平均速度是30千米/小时，求水流速度．【解答】解：设水流速度为x千米/小时，则船顺水速度为（30+x）千米/小时，船逆水速度为（30﹣x）千米/小时．所以有：4（30+x）＝6（30﹣x）．解得：x＝6．答：水流速度为6千米/小时．【变式3-1】（2021秋•前进区期末）轮船从甲地顺流开往乙地，所用时间比乙地逆流回到甲地少1.5小时，已知轮船在静水中速度为每小时20千米，水流速度为每小时3千米，求甲乙两地距离．若设两地距离为x千米，则可得方程（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：设两地距离为x千米，根据题意，得．故选：D．【变式3-2】（2022春•封丘县期末）一艘轮船从甲码头到乙码头顺流而行，用了3h，从乙码头返回甲码头逆流而行，用了4h．已知水流的速度是3km/h，求船在静水中的平均速度．【解答】解：设船在静水中的平均速度为xkm/h，依题意得：3（x+3）＝4（x﹣3），解得：x＝21．答：船在静水中的平均速度为21km/h．【考点4商品利润问题】【典例4-1】（2022春•长安区校级期末）某同学在A，B两家网店发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是492元，且随身听的单价比书包单价的3倍少108元．（1）求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少元．（2）某一天恰好赶上商家促销，网店A所有商品打八折销售，网店B全场每购满100元减25元销售，怎样购买更省钱？写出必要的理由过程．【解答】解：（1）设随身听的单价是x元，则书包的单价是（492﹣x）元，依题意有：3（492﹣x）﹣108＝x，解得x＝342，则492﹣x＝492﹣342＝150．故随身听的单价是342元，书包的单价是150元；（2）网店A：492×0.8＝393.6（元）；网店B：492﹣25×4＝392（元）；∵393.6＞392，∴网店B购买更省钱．【典例4-2】（2021秋•开福区校级期末）2021年，平和堂的一家服装店因新冠疫情的再次出现，将某种自创品牌的服装打折销售．如果每件服装按标价的6折出售，可盈利80元；若每件服装按标价的5折出售，则亏损80元．（1）每件服装的标价为多少元？（2）若这种服装一共库存80件．按标价7.5折出售一部分后，将余下服装按标价的5折全部出售，结算时发现共获利5600元，求按7.5折出售的服装有多少件？【解答】解：（1）设每件服装的标价为x元，依题意得：60%x﹣80＝50%x+80，解得：x＝1600．答：每件服装的标价为1600元．（2）由（1）可知：每件服装的成本价为60%×1600﹣80＝880（元）．设按7.5折出售的服装有y件，则按5折出售的服装有（80﹣y）件，依题意得：1600×75%y+1600×50%（80﹣y）﹣880×80＝5600，解得：y＝30．答：按7.5折出售的服装有30件．【变式4-1】（2022•南山区模拟）一种商品每件成本为80元，原来按成本增加30%定出价格．现由于库存积压，按原价的85%出售，则每件商品的盈亏情况为（）A．盈利8.4元 B．盈利9.2元 C．亏损8.4元 D．亏损9.2元【答案】A【解答】解：设该商品每件盈利x元，则由题意得80×（1+30%）×85%＝80+x，88.4＝80+x，x＝8.4．故选：A．【变式4-2】（2022春•嘉定区校级期中）（列方程解应用题）某种商品按成本加50%定价，后因换季准备打折出售，如果按定价的六折出售将亏20元，这种商品的成本是多少？【解答】解：设这种商品的成本是x元，依题意得：60%×（1+50%）x﹣x＝﹣20，解得：x＝200．答：这种商品的成本是200元．【变式4-3】（2022春•闵行区校级期中）一种节能型冰箱，商家计划按进价加价20%作为售价，为了促销，商家现在按原售价的九折出售了40台，降价后的新售价是每台2430元．（1）按照新售价出售，商家每台冰箱还可赚多少元？（2）售完这批冰箱后，商家将购进40台冰箱的进货款存入银行，存期一年，不扣利