鲈鱼体重与胸围的关系

./鱼的质量估计摘要一、问题重述垂钓的乐趣在于休心,放生的乐趣在于养性。一垂钓俱乐部为鼓励垂钓者将钓上的鱼放生,打算按照放生的鱼的质量给予奖励。由于俱乐部只准备了一把用于测量鱼的身长和胸围〔鱼身的最大周长的软尺,于是众垂钓者开始考虑根据测量的长度估计鱼的质量的方法,希求体味到垂钓更大的乐趣。因此,利用应用软件找到所测长度与鱼的质量的变化规律,显得尤为重要。二、问题分析想要找到按照测量的长度估计鱼的质量的方法,我们可以先运用机理分析的方法定性分析这三者之间的关系。根据常识,在正常情况下,鱼的质量与其身长成正比,与其胸围也成正比,题中所给数据也可证明这一点。由此,我们有三种设想：①鱼的质量只与身长有关；②鱼的质量只与胸围有关；③鱼的质量是与身长和胸围同时相关的二元函数。对以上三种设想分别建立模型,说明其是否合理。然后根据题中数据,画出散点图,并通过拟合,确定相应参数。最后,用几组数据进行检验,判断所得结果是否合理。三、模型假设1.假设鱼池中只有某一类的健康鲈鱼。2.假设鱼池中鲈鱼的数量足够多,以便多测数据,确保结果的真实性。3.假设所有鲈鱼的密度均相同。4.假设鲈鱼的体型较规则。四、符号说明L：鲈鱼的身长W：鲈鱼的质量

C：鲈鱼的胸围五、模型的建立与求解1.模型1〔1问题分析1>针对设想①,为了找到鱼的质量与身长的关系,可以建立弹性梁模型,再利用类比的方法,得之。2>弹性力学中研究的弹性梁模型如下：图1将鱼假想成有四肢的动物,以便更好地利用弹性梁模型研究。把鱼的躯干看作圆柱体,长度l、直径d、断面面积s,如图1所示。将这种圆柱体的躯干类比作一根支撑在四肢上的弹性梁,以便利用弹性力学的一些研究结果。鱼在自身体重f作用下躯干的最大下垂度b,即梁的最大弯曲,根据对弹性梁的研究<1>因为,所以<2>b/l是鱼躯干的相对下垂度。b/l太大,四肢将无法支撑；b/l太小,四肢的材料和尺寸超过了支撑躯干的需要,无疑是一种浪费。因此从生物学的角度可以假定,经过长期进化,对于每一种动物而言b/l已经达到其最合适的数值,换句话说,b/l应视为与这种动物的尺寸无关的常数,于是由<2>式得到<3>再从,,以<3>式代入可得即体重与躯干长度的4次方成正比。这样,在根据统计数据确定出上述比例系数以后,就能从躯干长度估计出的体重了。3>由于鱼本身并没有四肢,必须去掉前面假设的四肢,这样会导致其质量的减少。但是,因为减少的质量相对于躯干是平均分配的,所以对我们得到的模型并无影响。〔2模型的建立与求解利用Matlab作出身长与体重的散点图如下：对所得散点图用四次多项式进行拟合得到函数表达式为：利用所得函数计算估测鲈鱼的体重与实际值比较得到如下表：表一、鲈鱼体重实际值与估计值对比及误差表重量〔g>76548211627374821389652454估算值〔g728.4477.41122.6728.4452.21343.5640.4452.2相对误差〔%4.780.953.391.176.183.281.780.40平均相对误差：2.74125%从拟合图中可以看出,质量与身长只是在小围成正比,并非适用于所有情况,所以该模型不是特别合理。2.模型2〔1问题分析针对设想②,为了找到鱼的质量与胸围的关系,我们可以根据题中所给数据,用Matlab软件作出散点图,通过拟合,得到两者的关系。〔2模型的建立与求解利用Matlab作出胸围与体重的散点图如下：对所得散点图进行拟合得到函数表达式为：表二、鲈鱼体重实际值与估计值对比及误差表胸围〔cm21.321.621.622.924.824.827.931.8重量〔g>48248245465273776511621389拟合值〔cm462.1489.7489.7609.3784.1784.11069.31428.1相对误差〔%4.131.607.866.556.392.507.982.81平均相对误差：4.9775%由于误差接近5%,可能导致估计结果不能准确反映实际情况。3.模型3〔1问题分析实际情况下,鲈鱼的体重不可能只由身长、胸围单独影响,因此考虑建立身长、胸围共同作用体重的模型。〔2模型的建立与求解此模型的建立是基于假设——鲈鱼的体态用与胸围等周长的两段圆锥形来近似,两队圆锥体的高之和等于鲈鱼的身长。依据鲈鱼的身体结构,我们假设两段圆锥体的高度比为2:5,即L+L=L。因为圆锥体的体积等于底面积乘高再乘以,底面积可以用周长表示：.因此可以分析得出.又物体质量等于密度与体积的乘积,因此只需根据数据求出密度即可。于是身长、胸围与体重的关系可以表示为：,问题转化为对系数的求解。根据已知数据,利用MATLAB软件求解,得到：0.0327因此,利用得出的函数对鱼的体重进行估测并列如下表：表三、重量估计值及相对误差重量〔g>76548211627374821389652454估算值〔g74047211157404901491616490相对误差〔%3.252.124.050.421.607.375.587.87平均相对误差：4、0325%根据表三的数据,可以知道模型3的拟合程度较好,相对于模型1、2,此模型充分考虑到了身长、胸围对体重的影响,且比模型2误差小,所以用此模型估计鲈鱼的体重会更符合实际。六、模型评价优点：1.为了寻找鲈鱼身长与质量的关系,将鲈鱼躯干类比为弹性梁,转化为已经有确切研究成果的弹性梁问题,使得问题迎刃而解。2.根据鲈鱼的身体形态,在模型3中简化为两个圆锥形,与其身体结构最接近。缺点：题中所给数据组数较少,偶然性大,不具代表性,所以据此得到的模型不够准确。.附录附录1：程序1身长与体重散点图x=[36.831.843.836.832.145.135.932.1];z=[76548211627374821389652454];plot<x,z,'*'>xlabel<'身长'>;ylabel<'体重'>;title<'身长与体重散点图'>;程序2身长与体重拟合图x=[36.831.843.836.832.145.135.932.1];z=[76548211627374821389652454];x1=[30:0.1:50];z1=0.2604.*x1.^4-40.022.*x1^3+2296.3.*x1^2-58225*x1+550640;plot<x,z,'*',x1,z1>xlabel<'身长'>;ylabel<'体重'>;title<'身长与体重拟合图'>;程序3胸围与体重散点图y=[24.821.327.924.821.631.822.921.6];z=[76548211627374821389652454];plot<y,z,'*'>xlabel<'胸围'>;ylabel<'体重'>;title<'胸围与体重散点图'>;程序4胸围与体重拟合图y=[24.821.327.924.821.631.822.921.6];z=[76548211627374821389652454];y1=[20:0.1:40];z1=92.*y1-1497.5;plot<y,z,'*',y1,z1>xlabel<'胸围'>;ylabel<'体重'>;title<'胸围与体重拟合图'>;程序5模型3程序