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文档简介

第4页共5页浅谈求最值问题的几种方法摘要：最值问题综合性强,涉及到中学数学的许多分支,因而这类问题题型广,知识面宽,而且在解法上灵活多样,能较好体现数学思想方法的应用.在历年的高考试题中,既有基础题,也有一些小综合的中档题,更有一些以难题的形式出现.解决这类问题要掌握多方面的知识,综合运用各种数学技巧,灵活选择合理的解题方法,本文就几类最值问题作一探求.关键词：数学；函数；最值；最大值；最小值1.常见函数的最值问题.1.1一次函数的最大值与最小值.一次函数在其定义域(全体实数)内是没有最大值和最小值的,但是,如果对自变量的取值范围有所限制时,一次函数就可能有最大值和最小值了.例1.设且≠1,,(0≤≤1),求的最大值与最小值.解:可化为：下面对一次项系数分两种情况讨论：（1）当＞1时，-＞0,于是函数的函数值是随着的增加而增加的,所以当=0时,取最小值;当=1时,y取最大值.（2）当0＜＜1时,,于是函数的函数值是随着的增加而减少的,所以当=0时,取最大值;当=1时,取最小值.例2.已知是非负实数,且满足条件求的最大值和最小值.分析：题设条件给出两个方程,三个未知数，当然，的具体数值是不能求出的.但是,我们固定其中一个，不防固定，那么都可以用来表示，于是便是的函数了（需注意的取值范围），从而我们根据已知条件，可求出的最大值与最小值.1.2二次函数的最大值与最小值一般地，求二次函数的最大值与最小值，都是根据二次函数的性质和图象来求解，即有：若>0，则当=—时，有最小值为；若<0，则当=—时，有最大值.这里我们给出另一种求二次函数最值的方法——判别式法.例3.已知1,2是方程(是实数）的两个实数根，求的最大值与最小值.分析：一般地,二次函数,若方程有实根,其判别式≥0.如果关于的不等式≥0,可以解出的取值范围，便可求出函数的最值，这就是求函数最值的判别式法.解：由于二次方程有实根，所以=≥0解得≤≤则由于在上是减函数,可见当时，=有最大值18，当时，=有最小值.1.3三角函数的最大值与最小值三角函数的最值问题题型广，涉及的知识面宽，而且在解法上灵活多变，能较好的体现数学思想方法的应用，因而一直是学习中的热点和重点.例4.已知函数,设，当为何值时，y取得最小值.当时，即时，；当时，即=6时，.解法3.善用导数.导数是高中数学中的重要内容，用导数研究函数的性质尤其是函数最值问题成为强有力的手段，要重视导数在解决一些复杂的函数最值上的作用，善于运用它体念它独特的解题魅力，能使问题得到简洁，完美的解决.对原函数求导可得令得又计算端点和导数为零的函数值得，，.由此可得当=时，，当=6时，.3.其它函数的最值问题处理一般函数的最大值与最小值，我们常常用不等式来估计上界或下界，进而构造例子来说明能取到这个最大值或者最小值。例7.设是正实数，求函数的最小值.解：先估计的最小值又当时，.所以的最小值为.说明：在求最小（大）值，一定要举例说

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