求曲线方程的几种常见方法

曲线方程的几种常见方法2011-04-2013:59来源：文字大小：【大】【中】【小】

解析几何研究的主要问题是：（1）根据已知条件，求出表示曲线的方程；(2)通过曲线的方程，研究曲线的性质．所以求曲线的方程是解析几何中的一个重要问题．下文将讨论几种求曲线方程的方法及求曲线方程时应注意的问题．一、直接法若动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何量间的等量关系简单明了且易于表达，我们只要将这些的等量关系变成含，的等式就得到动点的轨迹方程．这种方法不需要其它技巧，故称为直接法．例1已知P，Q是平面内的2个定点，=2,点M为平面内的动点，且M到点P的距离与到点Q的距离的比值为（﹥0），求点M的轨迹．解析

以线段PQ的中点O为坐标原点，线段PQ的垂直平分线为轴建立直角坐标系．点为（-1，0），点为（1，0），设点为（，）．，（﹥0），，，化简可得．（1）时，点的轨迹为轴，其方程为；（2）﹥0且时，点的轨迹方程可化为，即，当﹥0且时，点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆．点评

直接法求轨迹的一般步骤为：（1）必要时建立平面直角坐标系（若已有直角坐标系则可以省去这一步），设动点坐标为（，）；（2）根据题设条件列出等量关系式；（3）将上述等量关系式转化为方程式；（4）整理、化简方程式为轨迹方程；（5）必要时进行讨论，以保证轨迹的纯粹性与完备性，并指出轨迹的具体几何意义．二、定义法若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可以根据定义直接求出动点的轨迹方程，这种方法称为定义法．例2

如图,已知两圆，，动圆在圆内且和圆内切，和圆外切，求动圆圆心的轨迹．解析

设动圆圆心为，由题意可知．根据椭圆的第一定义，点的轨迹是以点，为焦点的椭圆，其中，动圆圆心的轨迹方程为．点评

解答本题的关键在于透过复杂的条件认识到点轨迹是以点，为焦点的椭圆，假若根据几何条件列方程求解就复杂了．三、相关点法有些求轨迹的问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但这一动点随另一动点（称之为相关点）而动．假若相关点所满足的条件是明显的或可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程或关系式，即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫相关点法，也叫转移点法或代入法．例3

已知曲线与直线交于两点和,且﹤．记曲线在点A点B之间的那段为L，设点P（s,t）是L上的任意一点，且点P与点A和点B均不重合．若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程．解析

由，解得A（-1，1），B（2，4）．由中点坐标公式可得点Q的坐标为（），设点M的坐标为（）．于是，，，又-1﹤s﹤2,﹤﹤,即﹤﹤．又点P（s,t）在曲线C上，．将代入得，即（﹤﹤）．点评

相关点法是一种常考的方法，用此法求轨迹的大致步骤是：（1）设所求轨迹的动点P的坐标为（），再设在曲线上与动点P相关的点为Q（），所以；（2）找出P,Q的坐标之间的关系式，并表示为（3）将代入，即可得所求的轨迹方程．本题中还要注意所求曲线只是抛物线的一部分．四、交轨法若动点是两条动曲线（含直线）的交点，则可恰当的引入一个或几个参数，写出动曲线的方程，消去参数，即可求得所求的轨迹方程．这种方法叫交轨法．例4

如图，椭圆与轴的交点为A(2,0),B(-2,0),与轴平行的直线交该椭圆于不同的两点M，N，试求直线AM，BN的交点Q的轨迹方程．解析

直线MN的方程为，设M和N的坐标分别为（），（），则，即．M，N为不同的两点，，直线AM，BN的方程分别为因为点Q的坐标满足上式，所以将它们相乘可得，将代入上式可得，即．又交点Q不可能在轴上，．交点Q的轨迹方程是．点评

交点Q不可能在轴上，去掉（2，0），（-2，0）两点，确保轨迹的纯粹性不容忽视．五、向量法用向量法求轨迹方程时，可充分利用向量垂直和共线的充要条件，并可以避免讨论直线斜率是否存在，使计算得到简化．例5

如图，设点A、B为抛物线（p﹥0）上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，M是垂足，求点M的轨迹方程，并说明它表示的曲线类型．解析

设点A，点B（），M（）．，，，，．,即，．又,即，化简得．又∥,，化简可得．消去可得，又因为A、B异于原点，所以．点M的轨迹方程为，它表示一点（2p，0）为圆心，2p为半径的圆（不包含原点）．点评

利用向量可以将几何问题化为代数计算，在此设点A，点B（），而不设点，是为了尽量减少参数．六、参数法 动点满足的条件式中含有参数（如角度、斜率、比值等）或动点运动过程中受到某个参数制约，我们建立以这个变量为参数的参数方程，然后消去这个参数，即得轨迹的普通方程，这种求轨迹方程的方法叫参数法．例6过点P（4，1）的动直线与椭圆交于不同的两点A、B，在线段AB上取点Q，满足,证明：点Q总在某定直线上．证明

设点Q，A，B的坐标分别为（），（），（）．由题设知，，，均不为0，记,则﹥0，且．又A，P，B，Q四点共线，从而．于是，，，．从而，………………①．………………②又因为点A、B在椭圆C上，即，………………③，………………④①+2②得，结合③、④得．即点Q（）总在定直线上．点评

在此选取比值作参数，得到轨迹的含的参数方程，最后消去参数得到轨迹的普通方程．本题中点Q的轨迹只是直线的一部分．七、点差法例7

给定双曲线，过点A（2，1）的直线与所给双曲线交于两点，求线段中点P的轨迹方程．解析

设P（），，，则两式相减得．又．又，，A，P四点共线，，，即所求轨迹方程为．点评

点差法是求弦中点形成的轨迹的有效方法．【练习】1．动点与两点连线的斜率之积为（﹤0），求点的轨迹方程，并根据值变化讨论其轨迹是什么曲线．2．已知圆：与定直线，动圆与圆外切，并且与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程．3．已知O为坐标原点，A为椭圆（a﹥b﹥0）上任意一点，且,求点P的轨迹方程．4．如图，设点A、B分别为（-1，0）、（1，0），N为单位圆上的动点（不与点A、B重合），单位圆上过点N的切线与过点A、B的切线分别交于D、C两点，四边形ABCD的对角线AC与BD的交点为P，求交点P的轨迹．5．已知点A（1，0）为圆内的一点，P为圆上任意一点，线段AP的垂直平分线和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？6．过抛物线的顶点O作两条互相垂直的直线，分别交抛物线于A、B两点，求线段AB的中点P的轨迹方程．

7.线段AB是经过抛物线焦点的弦，求弦AB的中点的轨迹方程．【参考答案】1．（1）﹤-1时，轨迹方程为（），点的轨迹为焦点在轴上的椭圆（不含,两点）；（2）时，轨迹方程为，点的轨迹为圆（不含,两点）；（3