湘教九年级数学下册第1章检测试卷含答案

第1章检测卷时间：120分钟满分：120分题号一二三总分得分一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列函数表达式中，一定为二次函数的是()A．y＝3x－1B．y＝ax2＋bx＋cC．y＝2t2＋1D．y＝x2＋eq\f(1,x)2．抛物线y＝－(x－2)2＋3的顶点坐标是()A．(－2，1)B．(2，3)C．(2，－3)D．(－2，－3)3．将抛物线y＝x2－4x－4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为()A．y＝(x＋1)2－13B．y＝(x－5)2－3C．y＝(x－5)2－13D．y＝(x＋1)2－34．关于抛物线y＝x2－2x＋1，下列说法错误的是()A．开口向上B．与x轴有两个重合的交点C．对称轴是直线x＝1D．当x＞1时，y随x的增大而减小5．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于(－2，0)和(4，0)两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是()A．x＜－2B．－2＜x＜4C．x＞0D．x＞46．点P1(－4，y1)，P2(－3，y2)，P3(1，y3)均在二次函数y＝x2＋4x－m的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是()A．y3＞y2＞y1B．y2＞y1>y3C．y1＞y2＞y3D．y3>y1＞y27．如图①，一只兔子在草地上跳跃的路径呈抛物线形，建立如图②所示的平面直角坐标系，跳跃时兔子重心的高度变化y(米)关于水平距离x(米)的函数表达式为y＝－x2＋2x，则兔子此跳的水平距离为()A．1米B．1.5米C．2米D．2.5米8．如图，抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC，则tan∠CAB的值为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(2\r(5),5)D．2第8题图第9题图第10题图9．已知反比例函数y＝eq\f(k,x)的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2－4x＋k2的图象大致为()10．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为－1和3，则下列结论正确的是()A．2a－b＝0B．a＋b＋c＞0C．3a－c＝0D．当a＝eq\f(1,2)时，△ABD是等腰直角三角形二、填空题(每小题3分，共24分)11．点A(－2，a)是抛物线y＝x2上一点，则a＝________．12．若函数y＝(m－1)x3－|m|＋6的图象是抛物线，则m的值为________．13．二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点的纵坐标为4，此函数的表达式为________________．14．抛物线y＝kx2－5x＋2与x轴有交点，则k的取值范围是________________．15．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)，对称轴是直线x＝－1，则a＋b＋c＝________．16．如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形ABCD的边上．若设AE＝x，正方形EFGH的面积为y，则y与x的函数表达式为______________．第16题图第18题图17．某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为________元时，该服装店平均每天的销售利润最大．18．如图，抛物线y＝ax2－4和y＝－ax2＋4都经过x轴上的A，B两点，两条抛物线的顶点分别为C，D.当四边形ACBD的面积为40时，a的值为________．三、解答题(共66分)19．(8分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：x…－1024…y…－511m…求：(1)这个二次函数的表达式；(2)这个二次函数图象的顶点坐标及上表中m的值．20．(8分)如图，抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与x轴的另一个交点为B.(1)求抛物线的表达式；(2)求△AOB的面积．21.(8分)如图，二次函数y＝(x＋2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(－1，0)及点B.(1)求二次函数与一次函数的表达式；(2)根据图象，写出满足(x＋2)2＋m≥kx＋b的x的取值范围．22．(10分)已知△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20.(1)写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数表达式，并求出面积为48时BC的长；(2)当BC的长为多少时，△ABC的面积最大？最大面积是多少？23．(10分)已知抛物线y＝x2－px＋eq\f(p,2)－eq\f(1,4).(1)若抛物线与y轴交点的坐标为(0，1)，求抛物线与x轴交点的坐标；(2)求证：无论p为何值，抛物线与x轴必有交点；(3)若抛物线的顶点在x轴上，求出此时顶点的坐标．24．(10分)2016年里约奥运会，中国跳水队赢得8个项目中的7块金牌，优秀成绩的取得离不开艰辛的训练．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板AB长为2米，跳板距水面CD的高BC为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系．(1)当k＝4时，求这条抛物线的表达式；(2)当k＝4时，求运动员落水点与点C的距离；(3)图中CE＝eq\f(19,4)米，CF＝eq\f(21,4)米，若跳水运动员在区域EF内(含点E，F)入水时才能达到训练要求，求k的取值范围．25．(12分)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c(b、c为常数)与x轴相交于点A(－1，0)、B(3，0)，与y轴相交于点C，其对称轴与x轴相交于点D，作直线BC.(1)求抛物线的表达式．(2)设点P为抛物线对称轴上的一个动点．①如图，若点P为抛物线的顶点，求△PBC的面积．②是否存在点P使△PBC的面积为6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与解析1．C2.B3.D4.D5.B6.D7.C8.D9.D10．D解析：∵抛物线与x轴的交点A，B的横坐标分别为－1和3，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∴－eq\f(b,2a)＝1，∴2a＋b＝0，∴选项A错误；当x＝1时，y＜0，即a＋b＋c＜0，∴选项B错误；∵点A的坐标为(－1，0)，∴a－b＋c＝0，而b＝－2a，∴a＋2a＋c＝0，∴3a＋c＝0，∴选项C错误；当a＝eq\f(1,2)，易得b＝－1，c＝－eq\f(3,2)，∴抛物线的表达式为y＝eq\f(1,2)x2－x－eq\f(3,2).设对称轴直线x＝1与x轴的交点为E，把x＝1代入得y＝eq\f(1,2)－1－eq\f(3,2)＝－2，∴点D的坐标为(1，－2)，∴AE＝2，BE＝2，DE＝2，∴△ADE和△BDE都为等腰直角三角形，∴△ADB为等腰直角三角形，∴选项D正确．故选D.11．412.－113.y＝－x2－2x＋314.k≤eq\f(25,8)且k≠015．016.y＝2x2－4x＋417.2218．0.16解析：∵抛物线y＝ax2－4和y＝－ax2＋4都经过x轴上的A，B两点，∴a＞0，∴点A，B的坐标分别是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(a),a)，0))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(a),a)，0)).又∵抛物线y＝ax2－4和y＝－ax2＋4的顶点分别为C，D，∴点C，D的坐标分别是(0，－4)，(0，4)，∴CD＝8，AB＝eq\f(4\r(a),a)，∴S四边形ACBD＝S△ABD＋S△ABC＝eq\f(1,2)AB·OD＋eq\f(1,2)AB·OC＝eq\f(1,2)AB·CD＝eq\f(1,2)×8×eq\f(4\r(a),a)＝40，解得a＝0.16.19．解：(1)将(－1，－5)，(0，1)，(2，1)代入y＝ax2＋bx＋c中，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＋c＝－5，,c＝1，,4a＋2b＋c＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝4，,c＝1.))∴这个二次函数的表达式为y＝－2x2＋4x＋1.(4分)(2)由(1)知y＝－2x2＋4x＋1＝－2(x－1)2＋3，∴其图象的顶点坐标为(1，3)．(6分)当x＝4时，m＝－2×16＋16＋1＝－15.(8分)20．解：(1)设二次函数的表达式为y＝a(x－2)2＋1，(1分)将点O(0，0)代入得4a＋1＝0，解得a＝－eq\f(1,4)，∴二次函数的表达式为y＝－eq\f(1,4)(x－2)2＋1.(4分)(2)∵抛物线y＝－eq\f(1,4)(x－2)2＋1的对称轴为直线x＝2，且经过原点O(0，0)，∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为(4，0)，(6分)∴S△AOB＝eq\f(1,2)×4×1＝2.(8分)21．解：(1)∵抛物线y＝(x＋2)2＋m经过点A(－1，0)，∴0＝1＋m，∴m＝－1，(2分)∴抛物线的表达式为y＝(x＋2)2－1＝x2＋4x＋3，(3分)∴点C的坐标为(0，3)，抛物线的对称轴为直线x＝－2.又∵点B，C关于对称轴对称，∴点B的坐标为(－4，3)．∵y＝kx＋b经过点A，B，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－k＋b＝0，,－4k＋b＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,b＝－1.))∴一次函数的表达式为y＝－x－1.(5分)(2)由图象可知，满足(x＋2)2＋m≥kx＋b的x的取值范围为x＜－4或x＞－1.(8分)22．解：(1)由题意得y＝eq\f(1,2)x(20－x)＝－eq\f(1,2)x2＋10x，(2分)当y＝48时，即48＝－eq\f(1,2)x2＋10x，解得x1＝12，x2＝8，∴当△ABC的面积为48时，BC的长为12或8.(5分)(2)∵y＝－eq\f(1,2)x2＋10x＝－eq\f(1,2)(x－10)2＋50.(8分)∴当x＝10，即BC＝10时，△ABC的面积最大，最大面积为50.(10分)23．(1)解：对于抛物线y＝x2－px＋eq\f(p,2)－eq\f(1,4)，将x＝0，y＝1代入得eq\f(p,2)－eq\f(1,4)＝1，解得p＝eq\f(5,2).∴抛物线的表达式为y＝x2－eq\f(5,2)x＋1.令y＝0，得x2－eq\f(5,2)x＋1＝0，解得x1＝eq\f(1,2)，x2＝2，则抛物线与x轴交点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))与(2，0)．(3分)(2)证明：∵Δ＝p2－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)－\f(1,4)))＝p2－2p＋1＝(p－1)2≥0，∴无论p为何值，抛物线与x轴必有交点．(6分)(3)解：抛物线顶点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，\f(2p－1－p2,4))).(7分)∵抛物线的顶点在x轴上，∴eq\f(2p－1－p2,4)＝0，解得p＝1.∴此时顶点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)).(10分)24．解：(1)设抛物线的顶点为M.∵k＝4，∴M的坐标为(3，4)，点A的坐标为(2，3)．设抛物线的表达式为y＝a(x－3)2＋4，则3＝a(2－3)2＋4，解得a＝－1.故抛物线的表达式为y＝－(x－3)2＋4.(3分)(2)由(1)知当k＝4时，y＝－(x－3)2＋4.当y＝0时，即0＝－(x－3)2＋4，解得x1＝1，x2＝5.∴运动员的落水点为(5，0)，故当k＝4时，运动员落水点与点C的距离为5米．(6分)(3)设抛物线表达式为y＝a(x－3)2＋k，将点A(2，3)代入可得a＋k＝3，即a＝3－k.(7分)若跳水运动员在区域EF内(含点E，F)入水，则当x＝eq\f(19,4)时，y＝eq\f(49,16)a＋k≥0，即eq\f(49,16)(3－k)＋k≥0，解得k≤eq\f(49,11).当x＝eq\f(21,4)时，y＝eq\f(81,16)a＋k≤0，即eq\f(81,16)(3－k)＋k≤0，解得k≥eq\f(243,65).(9分)∴eq\f(243,65)≤k≤eq\f(49,11).(10分)25．解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c(b、c为常数)与x轴相交于点A(－1，0)、B(3，0)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－b＋c＝0，,9＋3b＋c＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－2，,c＝－3.))∴抛物线的表达式为y＝x2－2x－3.(3分)(2)①∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴P(1，－4)，C(0，－3)．设直线BC的表达式为y＝kx＋m，将B(3，0)，C(0，－3)代入得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3k＋m＝0，,m＝－3，))解得eq\b\lc\