医用高等数学-矩阵的概念和运算

第二节矩阵的概念和运算医用高等数学08-02-01一、矩阵的定义二、矩阵的线性运算三、矩阵的乘法医用高等数学08-02-02四、矩阵的转置五、方阵的行列式六、逆矩阵例在市场上有甲、乙、丙三种复合维生素片，它们每片中维生素B1、B2、B6和维生素C的含量不同，见下表（单位：mg）。医用高等数学08-02-03医用高等数学08-02-04维生素B1维生素B2维生素B6维生素C甲33.4390乙1.522.575丙232.560

甲、乙、丙三种复合维生素片中维生素B1、B2、B6和维生素C的含量可排列成3行4列的一个数表。医用高等数学08-02-05例线性方程组医用高等数学08-02-06的系数也可排列成一个m行n列的数表。医用高等数学08-02-07医用高等数学08-02-08矩阵(matrix)

由m

n个数排成m行n列的数表称为m

n矩阵，通常用大写英文字母表示，记作Am

n。其中aij表示位于矩阵中第i行第j列的数，称为矩阵的元素。在不需要将矩阵元素一一写出时，还可以将矩阵简单表示为A=(aij)m

n医用高等数学08-02-09行矩阵

只有一行的矩阵，称为行矩阵或行向量。列矩阵

只有一列的矩阵，称为列矩阵或列向量。注不同型的零矩阵是不同的。医用高等数学08-02-10零矩阵所有元素都是零的矩阵，称为零矩阵，记作O。方阵行列数相等，即m=n的矩阵，称为n阶方阵。医用高等数学08-02-11对角矩阵方阵左上角a11到右下角ann的直线段，称为方阵的主对角线。除了主对角线上的元素，其它元素均为零的方阵称为对角矩阵。即医用高等数学08-02-12单位矩阵若主对角线上的元素全为1的对角矩阵，称为单位矩阵，记作E。即医用高等数学08-02-13上三角矩阵

主对角线下方的元素全为零的方阵，称为上三角矩阵。即医用高等数学08-02-14下三角矩阵

主对角线上方的元素全为零的方阵，称为下三角矩阵。即医用高等数学08-02-15医用高等数学08-02-16同类矩阵两个矩阵的行数相同，列数也相同时，就称它们是同类矩阵。相等若两矩阵A

与B

是同类矩阵，且它们的对应元素也相同，即aij=bij

(i=1,2,…,m；j=1,2,…n)则称矩阵A

与矩阵B

相等，记作A=B。医用高等数学08-02-17负矩阵把矩阵A

中各元素变号得到的矩阵，称为矩阵A

的负矩阵，记为A。即医用高等数学08-02-18例某家庭中儿子(S)、女儿(D)与父亲(F)、母亲(M)外貌的“相像”的关系为模糊关系R，可用矩阵表示为医用高等数学08-02-19其中的数据意为儿子与父亲的相像程度为0.8，儿子与母亲的相像程度为0.2，女儿与父亲的相像程度为0.1，女儿与母亲的相像程度为0.6。矩阵的和若A

和B

为同类矩阵医用高等数学08-02-20则称矩阵为矩阵A

与B

的和，记为A+B。矩阵加法的运算规律：(1)

A+B=B+A；(2)(A+B)+C=A+(B+C)；(3)

A+O=A；(4)

A+(

A)=O。（A,B,C

为同类矩阵）医用高等数学08-02-21数乘设矩阵医用高等数学08-02-22

是一个常数，则称矩阵为数

与矩阵A

的数量乘积，简称数乘，记为

A。数乘的运算规律：(1)

(A+B)=

A+B；(2)(

+

)A=

A+A；(3)(

)A=

(

A)；(4)1·A=A。（A,B

为矩阵，

,

为任意常数）医用高等数学08-02-23线性运算矩阵的加法和数乘运算，称为矩阵的线性运算。医用高等数学08-02-24例已知医用高等数学08-02-25求A+B，2A

3B。矩阵的乘积设A,B

分别为m

s和s

n矩阵医用高等数学08-02-26而m

n矩阵的元素医用高等数学08-02-27则称矩阵C

为矩阵A

与B

的乘积，记作AB，即C=AB注矩阵A,B

的乘法要求A

的列数必须与B

的行数相等。乘积矩阵C=AB

中位于i

行j

列的元素cij

是A

的第i

行元素与B

的第j

列元素的乘积，即医用高等数学08-02-28例设求AB，BA。医用高等数学08-02-29课堂讨论题求矩阵的乘积AB

及BA。医用高等数学08-02-30医用高等数学08-02-31课堂讨论题

计算注（1）矩阵乘法不满足交换律，即在一般情况下，AB

BA；（2）AB=O不能推出A=O或B=O；（3）矩阵乘法不满足消去律，即在一般情况下，若AC=BC，且C

O，不能推出A=B。医用高等数学08-02-32矩阵乘法的运算规律：(1)(AB)C=A(BC)；(2)

A(B+C)=AB+AC，

(B+C)A=BA+CA；(3)

(AB)=(

A)B=A(B)；(4)

若E

是单位矩阵，则AE=A，EB=B。（A,B,C

为矩阵，

为任意常数）医用高等数学08-02-33医用高等数学08-02-34例在线性方程组中医用高等数学08-02-35记则方程组可表示为矩阵形式AX=B幂设A

是n阶方阵，则称Ak=AA…A(k个A相乘)为矩阵A

的k次幂。注矩阵幂的定义只有对方阵才有意义。医用高等数学08-02-36幂的运算规律：(1)

AkAl=Ak+l；(2)(Ak)l=Akl。（A

为矩阵，k,l为正整数）医用高等数学08-02-37例已知医用高等数学08-02-38求矩阵的转置设m

n

矩阵医用高等数学08-02-39将A

的行与列互换所得的n

m

矩阵称为A

的转置矩阵，简称A

的转置，记为AT，即例矩阵医用高等数学08-02-40求AT。对称矩阵如果A

是n阶方阵，当AT=A时，称A

是对称矩阵。医用高等数学08-02-41例试验证矩阵医用高等数学08-02-42是对称矩阵。矩阵转置的运算规律：(1)(AT)T=A；(2)(A+B)T=AT+BT；(3)(

A)T=

AT；(4)

(AB)T=BTAT。（A,B

为矩阵，

为任意常数）医用高等数学08-02-43方阵行列式设方阵医用高等数学08-02-44将A

的元素按照原来的位置所构成的行列式，称为方阵A

的行列式，记作detA

或|A|。方阵行列式的运算规律：(1)|AB|=|A|

|B|=BA

；(2)

A

=

n

A

；(3)

Ak

=

A

k；(4)|AT|=|A|。（A,B

为n阶方阵，

为任意常数，k为正整数）医用高等数学08-02-45例已知求|A|，|B|，|AB|，|BA|。医用高等数学08-02-46例已知A,B

是三阶方阵，且detA=3，detB=2，求det(

A)，det(3B)，det(A3)，det(2AB)。医用高等数学08-02-47逆矩阵(inversematrix)

设A

是方阵，若存在方阵B，使得AB=BA=E则称A

是可逆的，B

称为A

的逆矩阵，记为A

1，即B=A

1医用高等数学08-02-48例设医用高等数学08-02-49试验证B

是A

的一个逆阵。注若B是A的逆矩阵，则A也是B的逆矩阵，即矩阵A和B

互逆。伴随矩阵行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij

所构成的如下矩阵医用高等数学08-02-50称为矩阵A

的伴随矩阵。定理对方阵A，成立AA*=A*A=detA

E医用高等数学08-02-51定理方阵A

可逆的充要条件是detA

0，且当A

可逆时其中A*为方阵A

的伴随矩阵。医用高等数学08-02-52奇异矩阵对n

阶方阵A，若行列式detA=0，则称矩阵A

为奇异矩阵或退化矩阵。医用高等数学08-02-53非奇异矩阵对n

阶方阵A，若行列式detA0，则称方阵A

为非奇异矩阵或非退化矩阵。例判断下列矩阵A

是否可逆？若可逆，求出A

1。医用高等数学08-02-54课堂讨论题已知A

可逆，求出医用高等数学08-02-55推论设A

是n

阶方阵，若存在方阵B，使得AB=E（或BA=E）则A

可逆，且A

1=B医用高等数学08-02-56例设方阵A

满足A2+A=3E试证A

和A

E

均可逆。医用高等数学08-02-57课堂讨论题设方