自动控制原理二九

第五节控制系统的根轨迹分析法9/27/20231利典用辣根淘轨轰迹浸，刺可秀以麦对撑闭密环视系味统龄的袭性衡能储进宰行复分扔析茶和曲校嗓正由完给遗定虾参狭数筹确艰定味闭香环杰系散统庭的详零臭极痛点得的非位申置枕；分团析得参哈数衬变屈化漂对氧系星统塞稳文定超性北的给影烤响委；分黎析睛系秒统防的浙瞬战态饮和青稳粒态芳性屈能躬；根骑据贵性承能劝要吉求肚确芒定主系仰统鞋的将参势数腾；对捧系颗统焰进蛇行派校绿正翠。9灵/纽奉2伤5俭/傲2旗0此2想32一洋、废条侨件希稳机定编系件统看的短分棚析[例4-11]：设开环系统传递函数为：试绘制根轨迹并讨论使闭环系统稳定时的区值范围。开环极点：0，-4，-6，，零点：实轴上根轨迹区间：渐进线：与实轴的交点：倾角：[纹解坏]植根叼据进绘饿制世根估轨伪迹诱的美步骗骤莲，栗可撤得群：9斥/峰2夜5虽/软2罗0她2迎33分离角（点）：3.9497.4579.3758.805.97131.6280-4-3.5-3-2.5-2.0-1.5-1-0.50s的最大值为9.375，这时s=-2.5，是近似分离点。由：可以求得分离点。近蚁似百求她法蔽：分妇离架点漂在萝[达-滥4匀，狼0射]列之招间削。9萝/壶2滩5标/死2骑0逐2丙34入射角：与虚轴的交点（略）。这时的增益值：由图可知：当和时，系统是稳定的（为什么？）；当时，系统是不稳定的。左庄图凡是游用M穿a尤t吉l窃a逮b工啄具造绘庄制静的径。9糖/许2端5挎/划2漂0也2情35条横件脱稳插定旨系升统劈燕：参靠数吐在福一笛定浆的城范哭围皂内嫩取舍值着才绢能翼使乞系悦统喇稳蝇定穿，摆这做样宅的浅系先统洒叫远做条盈件翼稳依定勉系较统。具师有欲正篮反臂馈困的丘环糟节疑。下可面平的厦系次统锻就刊是困条组件皆稳和定碌系汇统冷的匙例交子服：开络环嘱非炸最填小必相倍位秃系涝统馋，始其睡闭闪环捎系雕统俭的茫根汪轨惩迹状必粒然堪有央一动部顺分游在s的谁右脱半钩平凉面风；9塞/纹2峰5隙/蚊2肠0按2笼36[例]非最小相位系统：，试确定使系统稳定时的增益值。[加解依]未：置根签轨例迹哭如旱右东：有闭环极点在右半平面，系统是不稳定的。显然稳定临界点在原点。该点的增益临界值为。闭环特征方程为：，当s=0时，，所以，系统稳定的条件是：9叨/颈2缎5裕/猛2芝0类2帝37二庭、虽瞬却态楚性畏能赢分搜析哗和牌开速环蛾系尘统庄参方数烤的扒确盘定利厨用厨根逗轨游迹镜可江以苦清息楚慨的里看吨到色开火环尾根抵轨辟迹吊增个益萝或昂其叠他访开抚环忌系肯统括参派数个变伶化拜时坝，字闭潜环挪系膝统恰极盐点粗位滋置俊及铺其庄瞬桶态坚性白能俊的万改薯变边情萝况奔。以二阶系统为例：开环传递函数为闭环传递函数为共轭极点为：在s平路面舞上躺的腊分火布年如碗右丧图功：闭环极点的张角为：所以称为阻尼角。斜线称为等阻尼线。9戒/续2劝5习/师2岛0怖2详38我宾们热知口道溜闭勺环钞二替阶在系顽统针的劝主摧要录的尺性资能坝指炮标坦是信超纹调养量刚和党调观整持时光间畏。悔这葱些论性膨能互指柱标吹和刷闭酒环马极走点蜜的购关而系嘱如选下墙：的关系如下图若闭环极点落在下图中红线包围的区域中，有：9对/脊2堤5走/沾2记0地2杜39上扁述乌结皱论勇也件可般应承用耳于亏具紧有均主栽导棵极巴点念的稀高忆阶裁系北统鸦中乘。庆如躺下喷例捷：[例4-12]单位反馈系统的开环传递函数为：若要求闭环单位阶跃响应的最大超调量，试确定开环放大系数。[解]：首先画出根轨迹如右。由图可以看出：根轨迹与虚轴的交点为+j5,-j5，这时的临界增益当时，闭环系统不稳定。9黄/时2笋5歇/在2酱0伙2贩31畅0下面计算超调量和阻尼角的关系。由于：当时解得：这是一个三阶系统，从根轨迹上看出，随着的增加，主导极点越显著。所以可以用二阶系统的性能指标近似计算。在根轨迹图上画两条与实轴夹角为的直线，与根轨迹交与A、B两点。则A、B两点就是闭环共轭主导极点，这时系统的超调量为18%。通过求A、B两点的坐标，可以确定这时的根轨迹增益，进而求得开环放大系数k。设A点坐标为：，则：（1）相角条件为：（2）9音/嚼2锄5闯/殊2眠0蓬2模31策1由(1)，(2)式解得：共轭主导极点为：。计算对应的根轨迹增益。由幅值条件：解得：开环传递函数以的形式表示时，k称为开环放大系数。显然的关系为：，式中不计0极点。所以，开环放大系数：由于闭环极点之和等于开环极点之和，所以另一个闭环极点为：9驶/晚2挪5托/柄2蜓0禾2震31梨2[非特内别酷提停示浩]寒：开匹环恰零刻、吴极谁点知对粒根菠轨沈迹熔形鹅状绕的棵影倾响谊是奶值残得厨注东意价的伞。一池般竖说竭，蔬开滥环亦传贫递扰函站数穷在s左亡半合平壳面好增搞加腐一黄个形极借点舌将榴使什原片根往轨窃迹挑右谦移川。遗从赛而枣降稼低党系目统尚的叶相巧对震稳智定至性做，热增认加桐系序统览的败调拆整什时哑间园。9护/星2你5恩/胜2厅0山2惯31护39距/斜2设5酱/哄2悄0浆2壁31惊4若势在誉开市环信传拘递掘函牧数领中可增殖加孤一贫个辞零等点叛，拒则驻原毙根串轨抄迹瞒向谨左竹移您动东。搬从疑而金增乏加靠系盗统看的凡稳鲜定小性伙，垒减县小察系对统机响爪应抢的蔬调抬整妈时酱间来。9载/狭2稿5畏/白2脱0退2霞31昼5M经a餐t惰l幕a禁b参慕考坛书妄推假荐收：现议代橡控池制呢工仪程灶，永[巡寿美骂]K层a梨t倡s麦u续h牲i贷k勒oO碗g骑a昌t滋s,卢梨伯戴英孝译忘，电樱子役工和业油出对版惯社M亏A恼T社L供A重B控附制饥系念统捞设姿计骑，测欧才阳蒙黎蚁明钱著访，国牲防半工钩业慕出滔版誓社三马、掏用M挥a猾t铺l所a抬b绘戚制味根双轨炭迹9抵/凶2霞5世/由2胜0冰2霉31萄6n好u编m倚=粥[稠0烂0亮0合1拜]机;%开接环顷传饼递唱函张数疯分咱子朴系夕数耀，携降摆幂醋排储列d录e笋n驴=恼[映1勾3幕2用0爷]破;%开害环径传厚递翅函妖数物分弓母劝系吵数橡，绳降间幂政排未列r阿=r黎l摇o宾c档u呼s(霜n净u适m搅,脉d轮e陕n脂)畜;[例子]系统的开环传递函数为：，试利用Matlab画出系统的根轨迹。[抢解填]艇打斥开M浑a芦t习l荒a骗b,创投建运一揉个m文效件辣，武输霜入鸦下直列暂程豪序志片富段啄：执行之，可得到根轨迹。9增/近2元5著/占2弓0饶2恼31姜7例4-13．已知系统开环传递函数为（1）画出系统的根轨迹；（2）计算使系统稳定的k值范围；（3）计算系统对于斜坡输入的稳态误差。

[解]：（1）画根轨迹：9寄/沈2块5鼻/步2庄0库2碧31征8

求出射角：，得。该系统有三条根轨迹，一条从原点起始，终止于开环零点-1处；另两条从原点以的出射角起始，分别终止于-3和无穷零点处。会合分离点：由方程得解得在根轨迹上，因此是会合点。不在根轨迹上，舍去。9碎/族2夸5糖/红2炭0著2隙31即9求与虚轴交点系统特征方程为劳斯表为当时，由辅助方程，可求出根轨迹与虚轴的交点为。（2）由劳斯表可知当时，系统稳定。（3）系统含有三个积分环节，属Ⅲ型系统，Ⅲ型系统对于斜坡输入的稳态误差为零。9额/助2含5胀/日2净0坚2循32尾0画根轨迹

分离（会合）点分别为-2.93和-17.07，分离（会合）角为90度。根轨迹为圆，如右图所示。例4-14．已知单位反馈系统的开环传递函数为（1）画出系统的根轨迹；（2）计算当增益k为何值时，系统的阻尼比是，并求此时系统的闭环特征根；（3）分析k对系统性能的影响，并求系统最小阻尼比所对应的闭环极点。9天/握2嚷5羞/驼2续0摘2傲32炉1当时，阻尼角，表示角的直线为OB,其方程为，代入特征方程整理后得：令实部和虚部分别为零，有解得 由图可知当时直线OB与圆相切，系统的阻尼比，特征根为。

9令/孟2绵5变/忠2荐0睁2骗32锄2对于分离点，由幅值条件可知对于会合点，有由根轨迹图可知，当时，闭环系统有一对不等的负实数极点，其瞬态响应呈过阻尼状态。当时，闭环系统有一对共轭复数极点，其瞬态响应呈欠阻尼状态。当 时，闭环系统又有一对不等的负实数极点，瞬态响应又呈过阻尼状态。9圾/鸣2卧5逆/悔2灵0桐2啄32座3由坐标原点作根轨迹圆的切线，此切线就是直线OB，直线OB与负实轴夹角的余弦就是系统的最小阻尼比，由上可知，此时系统的闭环极点为。9桨/俩2霸5苦/描2烧0咽2剃32泳4[搅例却4帆-详1秃5喘]粉：列设桂系烤统A和B有当相切同政的丹被岸控舞对御象嘴，纹且敲有膨相帐同墨的们根烦轨喇迹套，跨如嗓下霉图竹所韵示丝式。属已冻知答系堂统A有腾一都个计闭帐环朋零虎点佣，久系艘统B没短有垂闭兔环澡零脊点启。那试汗求扔系专统A和B的惰开滚环代传姿递鸡函滩数隙和魔它灾们结所抹对反应袜的追闭毒环论方败块虾图承。9残/罩2久5医/闹2左0咽2滴32鉴5②系统A和B的闭环传递函数分别为：[解]：①由于两系统的根轨迹完全相同，因而它们对应的开环传递函数和闭环特征方程式也完全相同。由上页图可知系统A和B的开环传递函数为：特征方程为：9雷/垒2怨5毕/岛2掘0军2家32说6由此可知，系统A是一单位反馈系统，前向通路的传递函数为：。系统B的前向通路传递函数为：，反馈通路传递函数为：。由于系统A和B有相同的被控对象，因此，系统的A的前向通路传递函数可写为：，闭环方块图如下图（a）所示，系统B的闭环方块图如下图（b）所示。图(a)A系统图(b)B系统根达轨毅迹刃相齿同肝的旨系字统勉，侮开蕉环敢传羽递涝函删数梦和娇闭格环桌极袍点亲都买相戴同溉，彩但滤闭法环亿零衔点乐却醉不根一唐定袭相贵同稠。9现/狂2翁5冤/侦2动0蕉2喜32驶7[例4-16]:已知单位反馈系统的根轨迹如下图所示。（1）写出该系统的闭环传递函数；（2）试用适当的方法使系统在任意K值时均处于稳定的状态。9洋/晶2币5姐/怪2轰0浊2项32各8[饰解办]损：①由印根群轨冶迹滤图灰知饥系挂统时的润开豪环另传台递涨函堂数螺为虚：单位反馈系统的闭环传递函数为：提茎示弱：①加播入岔比识例献微薯分化控设制忍后舞，闭系晌统辆增倾加上了连开厦环轿零住点订。②在菜系洁统躬中煌加刘入页零恒点晋后强，之将挽使郊根另轨杆迹策左性移焦，拼有讲利撕于讲系贡统砖的场稳骄定星性召。

②当在系统中加入比例微分控制时，开环传递函数增加了一个零点，此时：这时渐近线与实轴的夹角为：，只要渐近线与负实轴相交,系统的根轨迹就在左半S平面。因此有： ，所以 。 9浩/翼2理5青/书2蝴0摸2闻32序9从赤下翼图帮可尺以财看嘱出斗：a越舟小黎，西根李轨设迹茫越正左猴，贸稳猴定己性近越客好仍。a海<遥6时貌，印根秀轨街迹羊全锣部院在s左丹半微平肉面泉。a抗=秆6时败，旦根陆轨循迹脆有饼一颗部川分朱在东虚链轴盼上插。a弱>豆6时拴，场根往轨到迹右有底一甚部业分循在s右款半悦平摄面钩。c氏l言e亏a宗r蝇a肺l个l堂;n抗u拳m则1旗=协[反0傲0妄1映3著]勤;d誉e疲n望1眯=率[蒜1堪6修0辟0合]惜;n奴u困m缴2醉=紧[锅0夹0济1瞧5马]腔;d沾e惨n善2病=往[熄1亚6拉0匠0范]旺;n夕u庆m恩3该=诞