正弦型三角函数的图像提高知识点+典型例题

的图像学问讲解一、正弦型三角函数的性质1.yAsinxysinx图像的关系yAsinxA0,A1的图像，可以看成是ysinx图像上全部点的纵坐标都伸长A1或缩短0A1A倍〔横坐标不变〕而得到的．ysinwx(w0w1的图像，可以看成是ysinx的图像上各点的横坐标都缩短

1或伸长

1到原点的倍〔纵坐标不变〕而得到的，由于ysinx的图像得到yAsinx的图像主要有以下两种方法：函数ysinxycosxytanxycotx定义RR域{x|xR且xk 2{x|xR且xk,Z}值域RR奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数ysinxysinxysin函数ysinxycosxytanxycotx定义RR域{x|xR且xk 2{x|xR且xk,Z}值域RR奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数有有界有界函数|sinx|1有界函数|cosx|1无界函数无界函数性周期性T2πT2πTπTπ单[2kπ ,2kπ ]ππ[(2k1)π,2kπ][2kπ,(2k1)π](kZ),22[(kππ,kππ]调[2kπ ,2kπ ]π3π2(kZ)2[(kπ,kππ](kZ)性2(πZ)2x2kπ ,2πy 1;x2kπ,ymax1;max最值x2kππ2x(2k1)π，无，ymin1无y1(kZ)对称轴(kZ)xkππ(kZ)2minxkπ(kZ)无无对(kπ,0)(kZ)(kπ+π,0)(kZ)π2(k2,0)(kZ)(k,0)(kZ)称点23.ysinxysinx的性质函数函数ysinxysinx定义域RR值域[0,1][1,1]奇偶性偶函数偶函数周期Tπ不是周期函数[kπ,kπ ]2π为增区间，增减区间规律不明显，只能就具体区间分单调性 πkπ ,kππ2 析为减区间(kZ)典型例题一．选择题〔共10小题〕1•天津〕将函数〔x+〕的图象向右平移 个单位长度，所得图对应的函数〔 〕A．在区间[ ，]上单调递增B．在区间[﹣，0]上单调递减C．在区间[， ]上单调递增D．在区间[，π]上单调递减【解答】解：将函数y=sin〔2x+〕的图象向右平移 度，所得图象对应的函数解析式为y=sin[2〔x﹣ 〕+]=sin2x．当x∈[ ，]时，2x∈[ ，]，函数单调递增；x∈[，]时，2x∈[，π]，函数单调递减；x∈[﹣，0]时，2x∈[﹣，0]，函数单调递增；x∈[，π]时，2x∈[π，2π]，函数先减后增．A．2•天津〕将函数〔x+〕的图象向右平移 个单位长度，所得图对应的函数〔 〕A．在区间[， 在区间[

上单调递减C．在区间[， ]上单调递增D．在区间[，2π]上单调递减【解答】解：将函数y=sin〔2x+〕的图象向右平移 度，得到的函数为：y=sin2x，增区间满足：﹣+2kπ≤2x≤ ，k∈Z，减区间满足： ≤2x≤ ∴增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z，减区间为[+kπ， +kπ]，k∈Z，∴将函数y=sin〔2x+〕的图象向右平移 ，所得图象对应的函数在区间[， ]上单调递增．A．32018三明模拟〕函数

的最小值为a的图象向左平移 个单位长度得到函数h〔x〕的图象，则下面结论正确的选项是〔 〕h〔x〕是奇函数h〔x〕在区间[﹣π，π]上是增函数h〔x〕图象关于〔2π，0〕对称h〔x〕x=2π对称【解答】解：∵ ，当且仅当 ，即x=±1时，上式“=”成立．∴a=4．则〔〕n〔 ．将函数g〔x〕的图象向左平移 个单位长度，得到函数h〔x〕的图象，则h〔x〕=sin[ +]= = ．∵h〔2π〕=cos =0，图象关于〔2π，0〕对称．应选：C．4•广西二模〕x+x〔0＜＜〕个单f〔x〕的图象，假设f〔x〕在〔π，〕上单调递减，则φ的取值范围为〔〕A〔， 〕 〔，〕 ．[， 【解答解：x+= n〔x+，

D．[，〕y=sin2x+cos2xφ〔0＜φ＜〕个单位长度后得到f〔x〕的图象，则f〔〕= n[2〔++]= n〔x+φ+，由2kπ+≤2x+2φ+≤2kπ+，k∈Z，得kπ+﹣φ≤x≤kπ+﹣φ，k∈Z，假设f〔x〕在〔π， 〕上单调递减，则 ，得﹣ ，即kπ﹣ ≤φ≤kπ﹣ 当k=1时，≤φ≤，即φ的取值范围为[， 应选：C．5•呼和浩特二模〕函数 ＞的图象与轴的两个相邻交点的距离等于，假设将函数y=f〔x〕的图象向左平移个单位得到函数y=g〔x〕的图象，则在以下区间中使y=g〔x〕是减函数的是〔〕A． ， B． ， C． ， D． ，【解答】解：函数 ＞=2sin〔ωx﹣〕的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于 = ，∴ω=4，y=f〔x〕的图象向左平移个单位得到函数y=g〔x〕=2sin〔4x+﹣〕=2sin〔4x+〕的图象，则在区间〔﹣，0〕上，x+∈〔﹣π，，g〔x〕没有单调性，故排解A；在区间〔 ， 〕上，x+∈〔， ，〔〕单调递减，故满足条件；在区间0，〕上，x+∈〔， ，g〔〕没有单调递性，故排解；在区间〔，〕上，x+∈〔 ， ，g〔〕没有单调递性，故排解应选：B．6•沈阳二模将函数f 〔﹣+n2x的图象向左平移个单位长度后得到函数〔，则〔〕具有性质〔 〕在 ， 上单调递增，为奇函数周期为π，图象关于 ， 对称最大值为 ，图象关于直线 对称在 ， 上单调递增，为偶函数=2sinxcosx﹣cos2x+sin2x=sin2x﹣cos2x= n〔x﹣；f〔x〕的图象向左平移个单位长度，得y=f〔x+〕= sin[2〔x+〕﹣]= sin2x的图象；∴函数g〔x〕= sin2x，∴g〔x〕在 ， 上单调递增，为奇函数，A正确；g〔〕= sin = ≠0，函数图象不关于 ， 对称，B错误；g〔〕= sinπ=0，函数图象不关于x= 对称，C错误；∈ ， 时，x∈〔﹣，0，∴〔〕不是单调递增函数，D应选：A．7•宿州一模〕〔〔+〔ω＞0||＜，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数f〔x+〕是偶函数，以下推断正确的选项是〔 〕f〔x〕2π函数f〔x〕的图象关于点〔 ，0〕d对称函数f〔x〕的图象关于直线x=﹣ 对称f〔x〕在[，π]上单调递增图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，∴f〔x〕T=πA错误；∵ω＞0∴ω=2，

〕的解析式为：f〔〕n[2〔+〕+]n〔x++，∵f〔x+〕是偶函数，∴+φ=kπ+，k∈Z，又|φ|＜，解得：φ= ．f〔〕n〔x+．由x+，∈Z，解得对称中心为〔 ﹣，0，∈Z，故B错误；由2x+=kπ+，k∈Z，解得对称轴是：x= ，k∈Z，故C错误；由2kπ ≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得单调递增区间为：[kπ ，kπ ]，k∈ZD正确．应选：D．﹣2π，8•南昌三模将函数 的图象向左平移个单位再上平移1个单位，得到g〔x〕图象．假设g〔x〕+g〔x〕=6，且x，x∈[﹣2π，1 2 1 21 2π]，则x﹣x1 A．π B．2π C．3π D．4π【解答】解：函数 的图象向左平移个单位，f〔+〕n[2〔+〕﹣]n〔x+，1y=2sin〔2x+〕+1图象，∴g〔x〕=2sin〔2x+〕+1；g〔x〕+g〔x〕=6，1 21 1 1 则2x+= +2kπ，x= +kπ，1 1 1 2 2 2 2 1 2x+= +2kπ，x= +kπk，k∈Z；2 2 2 2 1 1 2 1 x，x∈[﹣2π，2π]x﹣x的最大值为〔+π〕﹣〔﹣2π〕=3π．应选：C．1 2 1 9•潮南区模拟〕将函数 图象上的每个点的横坐标缩的图象，在g〔x〕图象的全部对称轴中，离原点最近的对称轴方程为〔〕A． B． C． D．【解答解将函数 图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到n〔x+，再将所得图象向左平移 个单位得到函数g〔x〕的图象得到〔〕n[4〔+〕+]n〔x+，由4x+= +kπ，k∈Z，得x=kπ﹣ ，k∈Z，当k=0时，离原点最近的对称轴方程为x=﹣ 应选：A．0〔•广西三模〕s〔x﹣〕的图象上各点的横坐标伸长到原4倍〔纵坐标不变〔 〕A．x= B．x= C．x=πD．x=【解答】解：将函数y=cos〔2x﹣〕的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍〔纵坐标不变，得到函数〔 ，再向左平移个单位，得到y=cos[ ]，即y=cos〔 〕的图象，令 ，可得x=2kπ+，故函数的对称轴为x= 结合选项可得函数图象的一条对称轴是直线x= ．应选：D．二．填空题〔共3小题〕1〔•江苏模拟〕f〔〕〔x﹣〔ω＞0，∈[0，]〕的局部图象如下图，假设 ， ， ， ，则f〔0〕= ．【解答】解：由函数f〔x〕=2cos〔ωx﹣φ〕的局部图象知，f〔x〕的周期为T= ﹣=π，∴ω= =2；又f〔〕=2cos〔π﹣φ〕=﹣2cosφ= ，∴cosφ=﹣ ；又φ∈[0，π]，∴φ= ；f〔〕〔x﹣ ．∴f〔0〕=2cos〔﹣ 〕=﹣ 故答案为：﹣ ．2〔•北京〕设函数〔〔x﹣〔ω＞0，假设〔≤〔〕对任意的实数x都成立，则ω的最小值为 ．解：函数〔〔x﹣〔ω＞0〔〔〕对任意的实x都成立，可得： ，k∈Z，解得ω= 则ω的最小值为：．故答案为：．3〔•肇庆二模〕f〔〕n〔x+〔A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0〕的局部图象如下图，则f〔 〕的值是 ．解：依据函数f〔〕nx+〔A，ω，φ是常数，＞0，ω＞0〕的局部图象，可得A= ，= = ﹣，∴ω=2．再依据五点法作图可得2×+，∴= ，∴f〔〕= n〔x+，∴f〔 〕= sin = 故答案为： ．三．解答题〔共2小题〕4〔•玉溪模拟〕f〔〕n2++2，∈Rf〔x〕的最小正周期和单调递减区间；f〔x〕y=sin2x的图象经过怎样的变换得到？【解答解〔1〕f〔〕n2+ ，= ，= ，= ，函数的最小正周期为：T= ．令： 〔∈Z，解得： 〔∈Z，函数的单调递减区间为： ， 〔∈Z．〔2〕函数y=sin2x的图象向左平移 个单位得到函数y=sin〔