2023新教材高考数学二轮专题复习第二部分方法探究探究一重温基础高考“七分”靠实力三分靠心态二不等式

二不等式【必记结论】1.一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间)．解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小．2．一元二次不等式的恒成立问题(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是a(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是a3．分式不等式fxgx>0(<0)⇔f(x)g(fxgx≥0(≤4．利用基本不等式求最值(1)对于正数x，y，若积xy是定值P，则当x＝y时，和x＋y有最小值2P.(2)对于正数x，y，若和x＋y是定值S，则当x＝y时，积xy有最大值14S2(3)已知a，b，x，y∈R＋，若ax＋by＝1，则有1x+1y＝(ax＋by)·(1x+1y)＝a＋b＋byx+axy≥(4)已知a，b，x，y∈R＋，若ax+by＝1，则有x＋y＝(x＋y)·(ax+by)＝a＋b＋ayx+bxy≥【易错剖析】易错点1不能正确应用不等式性质【突破点】在使用不等式的基本性质进行推理论证时一定要注意前提条件，如不等式两端同时乘以或同时除以一个数、式，两个不等式相乘、一个不等式两端同时n次方时，一定要注意使其能够这样做的条件．易错点2忽视基本不等式应用的条件【突破点】(1)利用基本不等式a＋b≥2ab以及变式ab≤(a+b2)2等求函数的最值时，务必注意a，b为正数(或a，b非负)(2)对形如y＝ax＋bx(a，b>0)的函数，在应用基本不等式求函数最值时，一定要注意ax，b易错点3解含参数的不等式时分类讨论不当【突破点】解形如ax2＋bx＋c>0的不等式时，首先要考虑对x2的系数进行分类讨论．当a＝0时是一次不等式，解的时候还要对b，c进一步分类讨论；当a≠0且Δ>0时，不等式可化为a(x－x1)(x－x2)>0，再求解集．易错点4不等式恒成立问题处理不当【突破点】应注意恒成立与存在性问题的区别，如对任意x∈[a，b]都有f(x)≤g(x)成立，即f(x)－g(x)≤0的恒成立问题，但对存在x∈[a，b]，使f(x)≤g(x)成立，则为存在性问题，可化为f(x)min≤g(x)max，应特别注意两函数中的最大值与最小值的关系．【易错快攻】易错快攻一忽视基本不等式的应用条件[典例1]函数y＝ax＋1－3(a>0，a≠1)过定点A，若点A在直线mx＋ny＝－2(m>0，n>0)上，则1m+1nA．3 B.22C．3+222 D听课笔记：易错快攻二解含参数的不等式时分类不当致误[典例2]已知函数f(x)＝ax2－x＋a.(1)若∀x>0，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(2)已知实数a∈R，解关于x的不等式f(x)≥0.听课笔记：二不等式[典例1]解析：易知函数y＝ax＋1－3过定点A(－1，－2)．因为点A在直线mx＋ny＝－2(m>0，n>0)上，所以－m－2n＝－2，即m2＋n＝1所以1m+1n＝1m+1nm2+n＝32+m2n+答案：C[典例2]解析：(1)若∀x>0，ax2－x＋a≥0即a≥xx则只需满足a≥xx2+1令h(x)＝xx2+1(x>0)，则h(x)＝xx2+1＝故实数a的取值范围是12(2)不等式f(x)≥0即ax2－x＋a≥0，①当a＝0时，f(x)≥0即－x≥0，此时f(x)≥0的解集为(－∞，0].②当a≠0时，函数f(x)＝ax2－x＋a的图象的对称轴为直线x＝12a，令ax2－x＋a＝0，则Δ＝1-4(ⅰ)当a<－12时，Δ<0，此时f(x)≥0的解集为∅(ⅱ)当a＝－12时，Δ＝0，此时f(x)≥0的解集为12a即{－(ⅲ)当－12<a<0时，Δ>0，函数f(x)的零点为x0＝1±1-4a22a，此时f(x)≥0(ⅳ)当0<a<12时，Δ>0，函数f(x)的零点为x0＝1±1-4a22a，此时f(x)≥0的解集为((ⅴ)当a≥12时，Δ≤0，此时f(x)≥0的解集为R综上，当a<－12时，f(x)≥0的解集为∅；当a＝－12时，f(x)≥